1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 19
Текст из файла (страница 19)
множества Ъа, 1 < 1 < т, образуют покрытие множества 1(Х). Открытое покрытие Я)Еен множества ДХ) было выбрано произвольно. Таким образом, мы получаем, что из всякого открытого покрытия множества г(Х) можно извлечь конечное подпокрытие. Согласно определению это означает, что ДХ) есть компактное множество. Теорема доказана. ° Задачи 9.1. Пусть г': К" — ~ К есть непрерывная функция. Предположим, что г'(х) стремится и оо при ~х~ — оо.
Доказать, что в этом случае на всяком непустом замкнутом множестве А пространства К" функция г' принимает свое наименьшее на этом множестве значение, т. е. существует точка хо Е А такая, что ('(хо) = 1в1 ~(х). эЕА 9.2. А С К" — замкнутое множество, хо Е К". Доказать, что найдется точка уо Е А такая, что (хо — уо~ = 1п1 (хо — у~. эеА 9.3. Пусть А и  — непересекающиеся замкнутые множества в метрическом пространстве М с метрикой р.
Доказать, что если А компактно, то найдется число б > 0 такое, что р(х,у) > б для всякого х Е А и любого у Е В. Доказать, что в этом случае существует точка хо Е А такая, что р(хо, у) = = 1вг р(х,у). тЕА Задачи 89 9.4. Пусть М есть метрическое пространство и (Ае)„й1ч — последовательность непустых подмножеств М. Предположим, что каждое из множеств А„ компактно и последовательность А„является убывающей, т. е. при каждом и выполняется включение А„Э А„+м Доказать, что тогда существует точка хо е М, принадлежащая всем множествам А„.
9.5. Пусть (Мы р|), (Мз, рз) — компактные пространства, (М, р) — их декартово произведение. Пусть !': М вЂ” К вЂ” непрерывное отображение. Для всякого х б М! положим Е(х) = !п1 у(х,у). Доказать, что функция х г'(х) непрерывна. зевеке 9.8. Пусть Š— компактное множество на плоскости, не лежащее в одной прямой. Доказать, что среди всех содержащих его треугольников есть треугольник наименьшей площади. 9.7. Пусть А с К" есть компактное множество, содержащее по крайней мере две различные точки. Доказать, что среди всех замкнутых шаров в К", содержащих А, есть шар наименьшего радиуса.
9.8. Пусть (М,р) компактно и у: М - М вЂ” отображение такое, что РУ(х) Пу)! > Р(х У) для любых х у б М. Доказать что )' есть изометрическое отображение М на себя, т. е. У(М) = М и РУ(х) Пу)! = Р(х У) для любых х, у б М. 9.9. Пусть (М,р) есть компактное метрическое пространство и у: М— М есть отображение пространства М на себя такое, что р®х), у(у)) < < р(х, у) для любых х, у б М. Доказать, что у есть изоМетрическое отображение пространства М.
9.10. Ланы метрические пространства М1 и Мз и отображение )': М1 — Мз. Рассмотрим прямое произведение М1 х Мз, и пусть Гу есть график отображения у', т. е. множество всех точек (х, у) б М! х Мз таких,что у = у'(х). Доказать, что если пространство М1 компактно, то для того, чтобы отображение у было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы множество Гу было компактным подмножеством М1 х Мз. 9.11.
Пусть (М, р) есть метрическое пространство. Для произвольных множеств А с М и В С М положим р(А,В) = !п1 р(х,у). (Наглядно: ейл,зйВ р(А, В) — длина самого короткого моста, соединяющего А и В.) Доказать, что если для любых двух замкнутых множеств А и В пространства М, не имеющих общих точек, величина р(А, В) > О, то пространство М компактно. 9.12. Функция у: М -+ К в метрическом пространстве М называется полу- непрерывной снизу в гаечке хо б М, если для всякого е > О можно указать такое б > О, что для всех х б М, для которых р(х,хо) < б, выполняется неравенство у(х) > 1(хо) — е.
Функция !': М вЂ” К называется пелунепрерывной снизу на М, если она полунепрерывна снизу во всех точках множества М. Функция Р: М вЂ” К называется полунепрерывной сверху, если функция х й М вЂ” у(х) полунепрерывна снизу. Доказать, что для того, чтобы функция !': М вЂ” К была полунепрерывной снизу в точке хо б М, необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности (хн)„й1ч точек пространства М, сходящейся к хо, выполнялось неравенство у'(хо) < !цп 1(хн). 90 Гл. 9. Компактные множества и гопологичесние пространства 9.13.
Пусть М компактно. Доказать, что для того, чтобы функция г': М -~ К была полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (1»: М вЂ” К)»йн непрерывных функций такая, что числовая последовательность (1„(х))»нн является возрастающей при каждом х Е М и 1»(х) — 1(х) для всех х Е М. 9*14. Доказать, что для того, чтобы функция у: М вЂ” К была полунепрерывна снизу на М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого й Е К множество (х Е М: 1(х) < 6) было замкнутым. 9.15. Доказать, что для того, чтобы множество Н С М было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была полунепрерывна снизу.
9.1б. Доказать, что для того, чтобы множество А С М было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была полунепрерывна сверху. 9.1Т. Доказать, что если пространство М компактно, то всякая полунепрерывная снизу функция принимает на М свое наименьшее значение. 9.18. Пусть (М, р) есть компактное метрическое пространство, (х»)„йн есть последовательность точек этого пространства.
Доказать, что если для всякого х Е М существует предел !пп р(х„х), то последовательность х, явля»-~со ется сходящейся. 9.19. Пусть дано метрическое пространство М с метрикой р. Доказать, что если всякая непрерывная вещественная функция, определенная на М, принимает свое наибольшее значение, то М компактно. 9.20. Пусть (М, р) — метрическое пространство. Положим а(М) = вцр р(х, у). »»М,я»М Показать, что если (М, р) компактно, то а(М) конечно и существуют точки хо Е М и уо е М такие, что р(хо, уо) = И(М).
(И(М) называется диаметром пространства М.) 9.21. Пусть (М, р) — компактное метрическое пространство, У(е) — наименьшее число элементов, которое может иметь е-сеть пространства (М, р). Система множеств Аы Аз,..., А, в пространстве (М, р) называется е-различимой, если диаметр каждого из этих множеств не превосходит е и множества А; попарно не пересекаются. Наибольшее число элементов, из которых может состоять е-различимая система в (М, р), обозначается через К(е). Число 1обз Н(е) = Н(е, М) называется а-энтропией, число 1ойз К(е) = С(е, М) называется е-емкостью пространства (М,р).
Доказать, что для всякого е > О выполняется неравенство Н(2е, М) > С(е, М). 9.22. Построить конечную е-сеть в единичном кубе Ч = [О, 1] х [О, 1]х х [О, 1] пространства К". Доказать, что Н(е, ь1) = п 1п —, + 0(1) при е О. 9.23. Пусть Х = К0оо. Топологию в Х определим посредством базы Я, элементами которой являются, во-первых, всевозможные интервалы (а,6) с К и, во-вторых, всевозможные множества вида (оо)! !(-оо, а)й(Ь, оо). Доказать, что пространство Х, определенное таким образом, гомеоморфно окружности ((хы хз) б К ] х! + хз — — 1).
Глава 10 ОСНОВЫ ГЛАДКОГО АНАЛИЗА ° Обшад теорема о сходимости метода последовательных приближений (принцип сжимаюших отображений) ° Абстрактная теорема об обратной функции ° Геометрическое представление процесса построения последовательных приближений ° Теорема о локальной обратимости гладкого отображения а дифференциальные свойства обратного отображения ° Понятие о произвольной системе координат в пространстве К~ а Системы координат в К" а Теорема о неявных функциях ° Первая и вторая теоремы о выпрямляюшем диффеоморфизме ° Теорема о ранге (обшая теорема о выпрямлении) ° Понятие о функционально зависимых и независимых системах функций ° Понятие Ь-мерного подмногообразия класса С" в пространстве К" ° Отображение класса С" с произвольной областью определения ° Понятие касательной плоскости в точке многообразия ° Строение множества решений системы уравнений с условием невырожденности ° Множества, определяемые системой уравнений и одним неравенством ° Теорема о локальной представимости многообразия системой уравнений ° Правило нахождения точек экстремума функции на множестве (метод множителей Лагранжа) ° Распознавание точек условного экстремума ° Приложения к задаче о собственных значениях симметрической матрицы ° Теорема Морса о невырожденных критических точках функции ° 92 Гл.
10. Основы гладкого анализа 9 1. Общая теорема о разрешимости уравнений 1.1. ПРИН ИН СЖИМАЮ ИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1.1.1. Пусть даны метрическое пространство (М, р), множество А С М и отображение д: А -л М. Точка х е А называется неподеиясной точ- кой отобрахсеиия ~р, если х совпадает со своим образом, т. е. выпол- няется равенство (1.1) х = у(х). Решение разного рода уравнений часто может быть сведено к отысканию неподвижных точек некоторого отображения. Задачи о нахождении неподвижных точек отображения представляют интерес, в частности, потому, что для их решения может быть применен прием, известный под названием метода последовательных приближений и состоящий в следующем.
Пусть дано отображение х: А -+ М такое, что <р(А) С А, и требуется найти его неподвижную точку. Лля этого сначала выбираем некоторую точку хэ, а затем строим по ней последовательность точек (х„)„еи пространства (М, р), полагая хэ —— ~р(хэ), хэ —— ~р(хэ), и вообще, х„+~ — — ~р(х„) при каждом и. Дл» функций одной переменной (см. КМА, часть 1, книга 1, глава 2) была доказана теорема, устанавливаюшая достаточные условия сушествования непрерывной обратной функции. Здесь мы докажем аналогичный результат для функций многих переменных. Один из известных способов приближенного решения уравнений есть так называемый метод последовательных приближений.
Он заключается в следуюшем. Уравнение, которое требуется решить, представляется в виде х = г'(х). Сначала задается некоторое значение хы а затем строится последовательность значений (хэ)„ЕН такая, что при каждом и величина х„+э определяется по х„равенством х„+~ = Е(х„). Если функция Г непрерывна и построенная таким образом последовательность (х„)„ен сходяшаяся, то ее предел и будет решением уравнении х = Г(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
