1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 18
Текст из файла (страница 18)
!!х!! !!у!! Мы получаем, таким образом, что если х есть решение уравнения (4.1), то т!у! х = — у. !!у!! ' Легко проверяется, что данное х действительно является решением уравнения (4.1). Таким образом, нами установлено, что ~р есть непрерывное биективное отображение. Обратное отображение ~р ~ при этом определяется следующим образом: ,р-'(о) = о, и при у ~ 0 р (у) = — у. т!у! !!у!! ' Как нетрудно показать, отображение у 1 непрерывно и, следовательно, у есть гомеоморфизм пространства К". При этом у отображает множество А на шар В(0, 1) пространства К", откуда вытекает, что множества А и В(0, 1) гомеоморфны. з 4.
Непрерывные отображения топологических пространств 85 4.2. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОГО МНОЖЕСТВА В ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Оп елим понятие компактного множества в топологическом И2аСХрщаХ~ 3 д, б у, р * е г компактных метрических пространств, которое было получено в итоге определенного, достаточно кропотливого исследования и содержится в теореме Бореля об открытом покрытии (см. Я2, теорема 2.4). Пусть дано топологическое пространство Х и множество А с Х.
Напомним, что семейство (Е4 С Х)4ен множеств пространства Х называется покрытием множества А, если объединение множеств этого семейства совпадает с Х. Иначе говоря, (Ег С Х)ген есть покрытие множества А, если всякая точка х Е А принадлежит по крайней мере одному из множеств Ег. Если (Ег)ген есть покрытие множества А и Е С Е таково, что объединение множеств ЕГ, соответствующих значениям ~ Е Е, содержит А, то мы будем говорить, что (Е4)4ее есть подпокрытие покрытия (ЕгДуен множества А. Покрытие (Уг)ген называется открытым, если множества Уг, ~ Е Е, все открытые.
Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если для всякого открытого покрытия (УГ)4ен множества А существует конечное множество (~1,~ю ...,~ ) такое, что множества УГ,, образуют покрытие множества А, т. е. А С Ц УГ,. 1=1 Топологическое пространство Х называется компактным, если для него выполняется аксиома отделимости Т4 и множество всех его точек Х удовлетворяет условиям предыдущего определения.
Иначе говоря, топологическое пространство Х компактно, если оно отделимо и для всякого открытого покрытия (У4)4ен пространства можно указать конечное множество (~1,~ю...,~ ) такое, что множества У4,, образуют покрытие пространства Х, т. е. Х = Ц Уг,. 1=1 ° Теорема 4.4. Если топологическое пространство Х удовлетворяет условию отделимости, то всякое компактное множество в нем является замкнутым. Локазательство. Пусть Х есть отделимое топологическое пространство и А — произвольное компактное множество в Х. Возьмем произвольно точку р Е Сх(А). Тогда если х Е А, то х ф р, и, значит, в силу условия отделимости пространства найдутся открытые множества У, и У, такие, что х б У„р б Ъ'„и множества У и Ъ; не имеют 86 Гл.
9. Хомпактные множества н топологнческне пространства общих точек. В частности, мы получаем семейство открытых множеств (У,) еА. Для всякой точки х б А существует множество этого семейства, которому точка х принадлежит. Например, множество У, удовлетворяет этому условию. Это означает, что семейство (У,),еА образует открытое покрытие множества А.
Так как, по условию, множество А компактно, то найдетсЯ конечнос множество 1хытз,...,к ) такое, что множества У... г = 1,2,..., т, образуют покрытие множества А. П1 Пусть г' = П Ъ",, Точкарпринадлежиткаждомуиз множеств Р,, $=1 и, следовательно, р Е У. Множество 1' открытое как пересечение конечного числа открытых множеств. Для всякой точки х Е А существует з, 1 < 1 < пз, такое, что х б У,, и, значит, з ф $~,, Отсюда следует, что никакая точка з множества А не принадлежит множеству $" и, значит, Ъ' С СхА. В частности, мы видим, что множество СхА является окрестностью точки р.
Так как р б СхА было взято произвольно, то мы получаем, что множество СхА является окрестностью любой своей точки и, значит, СхА есть открытое множество. Из доказанного следует, что А = Сх(СхА) есть замкнутое множество. Теорема доказана. ° ° Лемма 4.6. Пусть А есть компактное множество в топологнческом пространстве Х. Тогда всякое замкнутое множество, содержащееся в А, является компактным множеством. Доказательство. Пусть А С Х есть компактное множество, и пусть Е С А есть замкнутое множество.
Пусть (У~)~ен есть произвольное открытое покрытие множества Е. Положим У = Сх(Е). Множества У и У~, где ~ Е Б, образуют открытое покрытие множества А. Действительно, если з р Е, то х Е У. Если же х б Е, то х принадлежит одному из множеств У~. В силу компактности множества А из покрытия множества А, образованного множествами У и У~, можно выбрать конечное ппдпокрытие. В это конечное подпокрытие, возможно, будет входить множество У = Сх(Е).
Так как У не содержит точек множества Е С А, то это подпокрытие не может состоять из одного множества У и, значит, в него обязательно войдут множества У~,, для некоторых значений ~;бБ,1=1,2,...,тп. Всякая точка х б Е принадлежит по крайней мере одному из множеств У~„ибо в противном случае выбранные множества У, Об, 1 = 1, 2,..., т, не будут образовывать подпокрытие множества А Э Е.
Таким образом, мы получаем, что из всякого подпокрытия множества Е можно извлечь конечное подпокрытие, что согласно определению означает, что множество Е компактно. Лемма доказана. ° з 4. Непрерывные отображения топологических пространств 87 ° Теорема 4.$. Пусть Х есть хаусдорфово топологическое пространство и (Ас)сен есть семейство компактных множеств пространства Х. Предположим, что для любого конечного множества Яы ~ю..., Я ь значений с Е Б пересечение П А~з непусто. Тогда непусто пересечение 1=1 всех множеств данного семейства. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Требуется доказать, что существует точка х Е Х, принадлежащая всем множествам данного семейства (А4)4еи. Предположим, что такая точка не существует. Выберем произвольно множество Ао = А4,. Положим Ле = СхА~. Согласно теореме 4.4 каждое из множеств Ас является замкнутым и, значит, множества Лс являются открытыми. Так как согласно предположению н е с у щ е с т в у е т точки, принадлежащей всем множествам А4, то для всякой точки х б Ао найдется С Е Е такое, что х ф Ая и, значит, з Е Л4. Отсюда вытекает, что множества Ля образуют покрытие множества Ао = АС,.
Так как Ао компактно, то найдется конечное множество значений 6,сз,...,с такое, что множестваЛб, г = 1,2,...,т, образуют покрытие множества Ао. В силу условия доказываемой теоремы существует точка р Е Х, принадлежатцая множествам Ао — — Аг„А~„Ас.„..., Ас . Точка р принадлежит, в частности, множеству Ао. При каждом 4 = 1,2,...,т точка р Е Аб и, значит, для всех этих значений г точка р не принадлежит множеству Лс, = СхА~; Множества Л~„однако, образуют покрытие множества Ао, и поэтому всякая точка множества Ао, в том числе и точка р, должна принадлежать хотя бы одному из них. Итак, допустив, что не существует точки, принадлежащей всем множествам данного семейства, мы приходим к противоречию. Следовательно, такая точка существует. Теорема доказана. ° ° Теорема 4.6, Пусть даны топологические пространства Х и У и непрерывное отображение 7": Х вЂ” У.
Тогда если пространство Х компактно, то ДХ) есть компактное подмножество пространства У. Доказательство, Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно открытое покрытие (У~)~ни множества Е = ДХ). Положим Ле = у Я). Отображение 7', по условию, непрерывно, и каждое из множеств 3 4 является открытым. В силу теоремы 4.2 отсюда следует, что каждое из множеств Л~ является открытым. Мы получаем, таким образом, некоторое семейство (Ля)яе- открытых множеств пространства Х. 88 Гл. 9.
Компактные множества и топологические и ест листва Возьмем произвольно точку х Е Х. Имеем Г"(х) Е Г"(Х), и так как семейство множеств Я)бен является покрытием множества ДХ), то найдется ~ Е К такое, что 1(х) Е Ъ~ для данного х . Отсюда следует, что х Е ~ ~($'б) = УЕ. Точка х Е Х была выбрана произвольно. Таким образом, мы получаем, что всякая точка пространства Х принадлежит хотя бы одному нз множеств Уб. Это означает, что семейство множеств (У~)бен является покрытием пространства Х. По условию, пространство Х компактно. Согласно определению компактного множества (см.
выше) отсюда вытекает, что найдется такое конечное множество (~ы ~э,...,~„) значений ~ Е Е, что множества У~„з = 1,2,..., т, образуют покрытие множества Х. Отсюда следует, что множества 1'а, 1 = 1, 2,..., т, образуют покрытие множества г"(Х). Действительно, возьмем произвольно точку у Е ДХ). Тогда найдется х Е Х такое, что у = 1(х). Так как множества Уа составляют некоторое покрытие множества Х, то найдется номер 1, 1 < 1 < т, такой, что х Е У~,. Отсюда следует, что у = Г(х) Е Ъа. Итак, каждая точка множества ДХ) принадлежит по крайней мере одному из множеств $а, 1 = 1,2,..., т, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
