1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть х есть произвольная точка пространства М такая, что р(х,р) < б. Тогда х Е Вм(р,б), т. е. х е ~ '(У) и, следовательно, Дх) Е У. По условию, У есть шар Вк(д,с). Из условия Дх) Е У поэтому следует, что о[Дх), д] < с. Число с > 0 было задано произвольно. Мы получаем, таким образом, что для всякого с > 0 найдется б > 0 такое, что если р(х, р) < б, то пах), д] < с. Таким образом, нами доказано, что 1пп о[Дх), о] = О. х р Это, по определению, означает, что д = Др) = 1пп Дх).
Тем самым у р установлено, что функция г непрерывна в точке р. Лемма доказана. ° Свойство непрерывного отображения, устанавливаемое леммой 4.2 для случая метрических пространств, принимается за исходное при определении непрерывности в точке отображений топологических пространств. Пусть даны топологические пространства Х и У и отображение ~: Х вЂ” У.
Говорят, что отображение 7" непрерывно в точке р Е Х, если выполнено следующее условие. 76 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства Какова бы ни была окрестность У точки д = Г"1р) в топологическом пространстве У, ее полный прообраз ~ ~(У) является окрестностью точки р. ° Теорема 4.1. Пусть Х, У и Я вЂ” произвольные топологические пространства.
Предположим, что заданы отображения 7': Х вЂ” У и д: У вЂ” Я. Тогда если отображение ~ непрерывно в точке р Е Х, а отображение д непрерывно в точке д = Яр), то сложная функция Ь = д о ~ непрерывна в точке р. Доказательство. Предположим, что отображения 7" и д удовлетворяют всем условиям теоремы. Зададим произвольно окрестность И~ точки д(д) = Ь(р). Пусть У = д '(И') и П = ~ з($'). Так как отображение д непрерывно в точке д, то У есть окрестность точки д.
Так как ~, по условию, непрерывно в точке р, то П есть окрестность точки р. Равенство (3.11) леммы 3.2 позволяет заключить, что П = Ь '(И ). Окрестность В" точки Ь(р) была выбрана произвольно. Мы получаем, таким образом, что полный прообраз любой окрестности точки Ь(р) относительно отображения Ь является окресптоспзью точки р, и тем самым непрерывность отображения 7' в точке р установлена.
Теорема доказана. ° Пусть Х и У есть произвольные топологические пространства. Отображение ~: Х вЂ” У называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х Е Х. ° Теорема 4.2, Пусть даны топологические пространства Х и У. Для того чтобы отображение ~: Х вЂ” У было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы для всякого открытого множества У пространства У его полный прообраз 7' 1(П) относительно отображения 7' был открытым множеством пространства Х.
Доказательство. Докажем н е о б х о д и м о с т ь. Пусть У есть произвольное открытое множество пространства У, П = 7" ~(Ъ'). Возьмем произвольно точку х Е П. Пусть у = Дх). Точка у принадлежит множеству У. Так как, по условию, У есть открытое множество, то У является окрестностью каждой своей точки, в частности, У есть окрестность точки у. Так как отображение 7' непрерывно, то согласно данному здесь определению непрерывного в точке отображения пространства Х в пространство У множество П = 7" з(У) является окрестностью точки х. Точка х Е П была взята произвольно.
Мы получаем, таким образом, З 4. Непрерывные отображения топологических пространств 77 что множество Н является окрестностью любой своей точки, откуда в силу леммы 4.1 вытекает, что множество Н' открытое. Необходимость условия теоремы доказана. Докажем его д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что отображение У: Х -+ У таково, что для всякого открытого множества У пространства У множество ~ '(У) открытое. Возьмем произвольно точку р Е Х, и пусть д = Др). Пусть С С У есть произвольная окрестность точки д. Согласно определению окрестности точки найдется открытое множество У с 0 такое, что д Е У.
Множество о' =,г з(У) согласно предположению является открытым. Имеем у Е У и Н С г ~(6). Отсюда следует, что множество г '(6) является окрестностью точки р. Окрестность С точки д была выбрана произвольно. Мы получаем, таким образом, что полный прообраз всякой окрестности С точки д = Др) является окрестностью точки р.
Значит, согласно определению отображение г непрерывно в точке р. Так как точка р Е Х была выбрана произвольно, то тем самым непрерывность отображения г' установлена. Теорема доказана. ° Следствие. Для того чтобы отображение 7: Х вЂ” У топологического пространства Х в пространство У было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы полный прообраз всякого замкнутого множества был замкнутым множеством. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что г": Х вЂ” У есть непрерывное отображение. Пусть Р с У есть замкнутое множество.
Тогда множество У = Сг(Р) есть открытое множество. Согласно теореме 4.2 множество г" з(У) открытое. В силу следствия леммы 3.2 множество ~ '(Р) является дополнением в пространстве Х множества ~ 1(У), и, следовательно, г" з(Р) есть замкнутое множество. Необходимость условия следствия доказана. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия. Пусть отображение г": Х -~ У таково, что полный прообраз всякого замкнутого множества в пространстве Х есть замкнутое множество в пространстве У.
Пусть У С У есть открытое множество в пространстве У. Тогда множество Р = Су(У) является замкнутым. В силу сделанного предположения множество г" 1(Р) замкнутое. Из следствия леммы 3.2 множество г' ~(У) является дополнением в пространстве Х множества '(Р), и, следовательно, У '(У) есть открытое множество. Таким образом, мы получаем, что полный прообраз всякого открытого множества пространства У при отображении г является открытым в Х, и, значит согласно теореме 4.2 отображение г" непрерывно.
Следствие доказано. ч 78 Гл. 9. Компактные множества и топологическне пространства Оп елим понятие п ела ля отоб ажений топологических ЯВС~2ВЖ~. Пу * * Р Р * Х. Т пространства Х называется его предельной точкой, если любая окрестность 6 точки р содержит точки, отличные от р. Пусть р есть предельная точка пространства Х. Предположим, что заданы топологическое пространство У и функция 1 со значениями в У такая, что величина Д х) определена для всякого х Е Х, отличного от р. В самой точке р функция У может быть определена, а может и не иметь никакого определенного значения.
Точка а пространства У называется пределом Дх) при х, стремящемся к р, в обозначениях д = 1пп Дх), если функция 1*: Х вЂ” У, определенная соглашением ~'(х) = 7(х) при х ~ р и Др) = а, является непрерывной в точке р. В общем случае невозможно гарантировать даже единственность предела. Для того чтобы это имело место, на пространство У должно быть наложено следующее дополнительное ограничение. Топологическое пространство М называется отделимым или хаусдорфовььа пространством, если оно удовлетворяет следующему условию. Т4 (а к с и о м а о т д е л и м о с т и). Для любых двух точек р Е М и а Е М таких, что р ф д, можно указать окрестность П точки р н окрестность У точки а так, чтобы множества с7 н У не имели общих точек.
° Лемма 4.3. Всякое метрическое пространство является отделимым пространством. Доказательство. Действительно, предположим, что М есть метрическое пространство, и пусть р есть его метрика. Зададим произвольно точки р и а пространства М такие, что р ~ а. Тогда р(р, д) > О. 1 Положим б = — р(р,а). Очевидно, б ) О. Пусть П = В(р,б) и У = В(д, 6). Множество У является окрестностью точки р, У есть окрестность точки д. Докажем, что о' и У не имеют общих точек. Действительно, предположим, что нашлась точка х Е У П У.
Так как х Е с7, то р(р, х) < 6, и так как х Е У, то р(х, д) < б. В силу неравенства треугольника отсюда вытекает, что р(р, а) < р(р, х) + р(х, в) < б + 6 = 26 = р(р,д). З 4. Непрерывные отображения толологических пространств 79 Допущение, что множества с7 и У имеют общую точку, таким образом, приводит нас к противоречию. Значит, П П У = И. Лемма доказана. ° ° Теорема 4.3. Пусть даны топологические пространства Х и У, и пусть р есть предельная точка пространства Х.
Предположим, что дана функция 7 со значениями в У, определенная на множестве Х ~(р). Тогда если пространство У является отделимым, то функция ~ имеет не более одного предела лри х, стремящемся к р. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Предположим, что дз —— 1пп 7'(х) и дз = Бт ~(х). Й вЂ” ~я х р Положим )1(х) = Ях) = Дх) при х ф р и Яр) = ды )з(р) = дз.
Функции 7з и (з непрерывны в точке р. Так как, по предположению, д1 ф дз, то найдутся окрестность У точки дз и окрестность 1'з точки дз, не имеющие общих точек. Поэтому пересечение У1 П Уз есть пустое множество. Пусть (7з — — (, ~(Уз) и Гг —— ,(з ~(Уз). Множества Уз и Пз представляют окрестность точки р.
Положим У = Уз П о'з. Покажем, что множество б' является окрестностью точки р. Действительно, согласно определению окрестности существуют открытые множества бз Сс71 и 6з СПз, каждое из которых содержит точку р. Множество 6 = 61 П 6з открытое и р Е 6 и 6 с П. По определению, это и означает, что с7 есть окрестность точки р. Так как р есть предельная точка пространства Х, то согласно определению предельной точки найдется точка х Е о' такая, что х ф р. Имеем х Е с71 и одновременно х Е Уз, откуда следует, что г(х) Е У и в то же время у(х) Е Уз.
Это, однако, противоречит тому, что, по условию, множества У1 и Уз не имеют общих элементов. Итак, допущение, что отображение 7" имеет два различных предела, приводит к противоречию. Теорема доказана. ° Типичной является ситуация, когда функция определена на некотором подмножестве топологического пространства. Этот случай, однако, формально сводится к случаю, когда это подмножество совпадает с самим пространством. Пусть даны множество А С Х и точка р Е Х.
Положим А' = = А 0(р), А' есть множество, получаемое из А присоединением точки р. Снабдим А' топологией Уя, индуцированной из Х. Это означает, что открытыми множествами в А' считаются такие и только такие 80 Гл. 9, Компактные множества и толологические пространства множества 0 С А', которые могут быть представлены в виде 6 = УПА', где У есть открытое множество в Х. Точка р называется предельной точкой множества А, если р есть предельная точка топологического пространства (А',,У;р). Пусть дано топологическое пространство У и функция ) со значениями в У, определенная на множестве А С Х.
Пусть р есть предельная точка множества А. Тогда определено пространство А' — подпространство Х. Предположим, что д Е У есть предел функции )' как отображения пространства А' в У при х, стремящемся к р. В этом случае мы будем говорить также, что д есть предел ~(х) при х, стремящемся к точке р к х 1щ(А) по множеству А, и писать Пусть Х и У вЂ” произвольные топологические пространства. Отображение ~: Х вЂ” У называется гамеомврфиэмвм пространств Х и У, если ~ биективно и каждое из отображений ) и ( ~ является непрерывным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
