1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В частности, он не содержится в множестве б~,. С другой стороны, для каждой точки х Е В имеем р(х, хо) < р(х, уь) + р(уь > хо) < бо/2 + бо/2 = бо > и, значит, всякая точка х шара В принадлежит шару В(хо, бо) С УГ,. Мы получаем, что В С П~,. Это противоречит тому, что, как было сказано, шар В не содержится ни в одном из множеств У~, где б Е Б. Итак, допустив, что утверждение теоремы неверно, мы приходим к противоречию. Теорема доказана. ° Отметим спе иально о ин частный сл чай тео емы Лебега. Следствие. Пусть А есть компактное множество в метрическом пространстве (М, р). Тогда для всякого открытого множества У .> А существует число б > О такое, что для любого х Е А имеет место включение В(х, б) С У. Действительно, если открытое множество У содержит в себе компактное множество А, то тем самым определено некоторое открытое покрытие А, состоящее из одного элемента — множества У.
Пусть б > О есть число Лебега этого покрытия. Для всякой точки х Е А шар В(х, б) содержится в некотором множестве данного открытого покрытия, т. е. в множестве У, поскольку это покрытие не имеет элементов, отличных от с>. Следствие доказано.
з' 2.4. ТеОРемА Богиня ов откгытом покгытии ° Теорема 2.4 (теорема Бореля об открытом покрытии). Пусть А есть компактное множество в метрическом пространстве (М, р), (У~)~ен — произвольное открытое покрытие множества А. Тогда найдется такое конечное множество Ф = (б,бз,...,~,) С Е, что всякая точка х Е А принадлежит ло крайней мере одному из множеств Уг„ Й = 1,2,...,г. з 2. Критерий лредкомлактностк. Теоремы Лебега и Бореля 57 3 а м е ч а н и е. Конечное семейство множеств (У~), = ~м сз,..., с„, очевидно, является покрытием множества А. Теорема утверждает, таким образом, что из всякого открытого покрытия компактного множества А можно извлечь конечное подпокрытие.
Доказательство теоремы. Пусть А — компактное множество в метрическом пространстве (М, р), (У~) ~ен — открытое покрытие множества А. По гпсореме Лебееа об открытпом покрытии (теорема 2.3) найдется число б > О такое, что для всякой точки х Е А шар В(х, 6) содержится в одном из множеств У~, где с Е Е. Так как множество А компактно, то оно предкомпактно и, значит, по теореме 2.1 вполне ограничено. Следовательно, найдется конечное множество Н = (хм хз,..., х„), которое содержится в множестве А и является его б-сетью. Пусть ~ь б Е таково, что шар В(хм 6) содержится в У~„. Покажем, что множества У~,, У~„..., У~ образуют покрытие множества А.
Действительно, возьмем произвольно х Е А Так как Н является б-сетью множества А, то найдется хь е Н такое, что р(х, хь) < б. Имеем х Е В(хь, б), и так как В(хм б) С Ус„, то х Е У~„. Мы получили, таким образом, что всякая точка множества х Е А принадлежит одному из множеств У~,, так что множества УС,, к = 1, 2,..., г, образуют покрытие множества А. Теорема доказана. ° (2.1) 1пп р(х,х„) = т(х). Определенная так функция г: М Е неотрицательна н непрерывна. Доказательство.
Пусть выполнены все условия леммы. Полнота пространства М не предполагается, так что последовательность (х„),еп может вообще не иметь предела. Возьмем произвольно точку х Е М. Для любых номеров пз и из выполняется неравенство ~р(х, х„) — р(х, х„,)~ р(х„„х„,). (2.2) По условию, последовательность (х„)„еи фундаментальнал. Это означает, что для всякого е > О найдется номер р Е М такой, что для любых х„„х„, > Р выполняется неравенство р(х„„х„,) < е. В силу неравенства (2.2) отсюда вытекает, что для числовой последовательности (р(х,х„))„еп выполнен критерий сходимосгпи Коши — Больцапо (см.
главу 2) и, значит, предел йщ р(х,х„) = г(х) ° Лемма 2.2. Пусть (М, р) есть метрическое пространство н (х„) Еп — фундаментальная последовательность точек пространства М. Тогда для всякой точки х Е М существует конечный предел 58 Гл. 9. Компактные множества и топологические пространства существует и конечен для всякого х Е М.
Так как р(х, х„) > О для всех и Е Х, то по тиеореже о предельном переходе в неравенстве (см. гла- ву 2) г(х) > О, каково бы ни было х Е М. Зададим в М произвольно точки х' и х". При всяком и б Х имеем )р(х',х„) — р(х",х„)) < р(х',х"). Переходя в этом неравенстве к пределу при и оо, получим ~г(х') — г(хн)~ < р(х',х"). (2.3) Из неравенства (2.3), очевидно, следует непрерывность функции т. Лемма доказана. ° ° Теорема 2.$. Пусть А есть множество в метрическом пространстве (М, р).
Тогда если кз любого открытого покрытия (У~)~ек множества А можно извлечь конечное покрытие множества А, то множество А компактно. Доказательство. Пусть множество А в метрическом пространстве (М, р) удовлетворяет условию теоремы. Сначала докажем, что А предкомпактно, т. е. любая последовательность точек множества А имеет фундаментальную подпоследовательность. Зададим произвольно е > О. Рассмотрим семейство шаров (В(х,е)),ел. Каждое из множеств В(х, е) является открытым, и всякая точка х Е А принадлежит по крайней мере одному из них, а именно, х Е В(х,е).
В силу сделанного предположения из данного открытого покрытия можно извлечь конечное покрытие, т. е. найдется конечное множество К = (хы хз,..., хр) точек множества А такое, что всякая точка х множества А принадлежит по крайней мере одному из шаров В(х;, е). Множество К является е-сетью множества А. Действительно, возьмем произвольно точку х Е А. Для нее найдется х; Е К такое, что х Е В(х;, е). Имеем р(х, х;) < е. Так как х Е А было взято произвольно, то тем самым доказано, что К есть е-сеть множества А.
Число е > О было взято произвольно. Таким образом, мы получаем, что для всякого е > О множество А имеет конечную е-сеть, т. е. Теорема Бореля устанавливает некоторое свойство, которое имеет всякое компактное множество в метрическом пространстве. Покажем, что этим свойством компактные множества в метрическом пространстве полностью характеризуются. Именно, справедливо следующее предложение.
З 2. Критерий лрелкомлактности. Теоремы Лебега и Бореля 59 множество А вполне ограничено. В силу теоремы 2.2 отсюда вытекает, что А предкомпактно. Пусть (х„) „ен есть произвольная фундаментальная последовательность точек множества А. Покажем, что она является сходящейся, причем ее предел принадлежит А. Предположим, вопреки доказываемому, что никакая точка х Е А не является пределом этой последовательности.
Заметим, что полнота пространства М не предполагается, так что последовательность (х„)„ен может вообще не иметь предела. Согласно лемме 2.1 для всякого х Е М существует предел йт р(х,х„) = т(х). Вещественная функция т, определенная таким образом, неотрицательна и непрерывна. Если т(х) = 0 для некоторой точки х, то это означает, что р(х, х„) — 0 при»» — оо, и, значит, точка х является пределом последовательности (х„)„еи.
Согласно предположению никакая точка х Е А не является пределом х„при»» — оо, и, значит, т(х) > 0 для всех х Е А. Зададим произвольно е > 0 и найдем номер Р Е»"» такой, что для любого и > р выполняется неравенство р(хя, х„) < е/2. Переходя в этом неравенстве к пределу при»» — оо, получим, что т(хя) < е/2 < е. Все члены последовательности (х„)„ен принадлежат множеству А. В частности, ха Е А. Мы получаем, таким образом, что для любого е > 0 найдется точка х Е А, для которой т(х) < е.
Для 1 > 0 обозначим через У» множество всех точек х Е М, для которых выполняется неравенство т(х) > ~. Множество Ц открытое. Таким образом, мы получаем некоторое семейство (У»)»>о открытых множеств пространства (М,р). Данное семейство покрывает множество А. Действительно, пусть х Е А. Тогда т(х) > 0 и, как следует из определения множеств У», х Е У» для любого 1 Е (О, т(х)). Мы получили некоторое открытое покрытие множества А. Из покрытия (»»»)»>о нельзя извлечь конечное покрытие множества А. Действительно, пусть дано конечное множество (11~~2~ >1») значений 1 > О. Пусть ~ есть наименьшее из них.
Имеем ~ > О. По доказанному, найдется х Е А такое, что т(х) < Е Эта точка х не принадлежит ни одному из множеств У»», » — — 1,2,...,1, и, следовательно, мы получаем, что никакое конечное подсемейство семейства (У»)»>о не может образовывать покрытие множества А. 60 Гл. 9. Компактные множества и топологнческне пространства Таким образом, мы приходим к противоречию с тем, что, по условию, любое открытое покрытие множества А содержит в себе конечное подпокрытие. Итак, мы пришли к следующему заключению: допущение, что никакая точка х б А не является пределом последовательности (х„)„ен, приводит к противоречию. Значит, найдется х б А такое, что т= 1пп х„. и-~оо Таким образом, мы получаем, что из любой последовательности точек множества А можно извлечь фундаментальную подпоследовательность и любая фундаментальная последовательность точек множества А имеет пределом некоторую точку множества А.
Компактность множества А тем самым установлена. Теорема доказана. ° й 3. Понятие топологического пространства В этом параграфе вводится общая концепция топологнческого врос транства, включающая в качестве частного случая понятие метрического про- странства. Результаты этого параграфа за исключением тех, которые приводятся в и. ЗЛ, в дальнейшем изложении не используются. Мы включаем его сюда потому, что понятие топологическогс пространства есть одна нз основных общих концепцвй современной математвкн. Его введение позволяет придать изложению некоторых тем более общую форму. В дальнейшем там, где воз- мохэно, мы попытаемся это показать.
3.1. ВСНОМОГАТЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ Докажем предварительно некоторые простые теоретико-множественные соотношения. Будем предполагать фиксированным некоторое непустое множество Х. Пусть дано множество Е С Х. Множество Г С Х называется дополнением множеспзеа Е в Х и обозначается символом Сх.Е или просто СЕ, если множества Е и Г не имеют общих элементов и любое х б Х принадлежит хотя бы одному из множеств Е и Г. Иначе говоря, Г есть дополнение Е, если выполняются соотношения ЕпГ=в, ЕОГ=Х. з 3. Понятие топологического пространства Множества Е и Р входят в данное определение равноправным образом. Поэтому если Г есть дополнение Е, то, в свою очередь, Е является дополнением г', так что имеет место равенство С(СА) = А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
