1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если п достаточно велико, то число х„может рассматриваться как приближенное значение решения данного уравнения, Ниже доказывается обшал теорема, укаэываюшая некоторые достаточные условия сходимости метода последовательных приближений, которую мы будем именовать принципом сжимаюшнх отображений. С помошью этого принципа далее устанавливается некоторал абстрактная теорема об обратимости непрерывного отображения. 93 з 1. Общая теорема о разрешимости уравнений Если эта последовательность сходится, а отображение у непрерывно, то предел последовательности (т„)„ен является искомой неподвижной точкой отображения у.
Действительно, пусть а = 1цп т„. Тогда также а = Бш т„+1. Переходя к пределу в равенстве х„+~ —— = р(х„), в силу непрерывности функции у получаем а = у(а), что и требовалось доказать. На рис. 1 метпод последовательных приближений иллюстрируется на примере функций одной переменной. Здесь пространство (М, р) есть множество всех вещественных чисел К, у — непрерывная функция.
Рис. 1 Неподвижные точки отображения р: К вЂ” К есть абсциссы точек пересечения графика функции ~р с прямой ~3 = ((х, у) ~ ж = у) — биссектрисой первого координатного угла. 1.1.2. П о есс пост оения посл овательных п иближений оп скает сл ю ее геомет ическое и е ставление. Пустьдано первое приближение т1. Обозначим через Р1 точку (ты и1) прямой ~3 (см. рис. 1). Через точку Р1 проведем прямую, параллельную оси Оу. Эта прямая пересекает график функции в некоторой точке ч'1. Ордината этой точки есть в т о р о й член хз = у(я1) последовательности (т„)„ен. Чтобы найти т р е т и й член последовательности, необходимо сначала найти точку, абсцисса которой равна выражению тз = = ~р(х1).
Для этого из точки Я~ проведем прямую, параллельную оси Ож. Точка Рз, в которой она пересечет прямую,9, и будет требуемой. Первый ш а г метода последовательных приближений геометрически заключается в построении ступеньки РЯ, Рз. 94 Гл. 10. Основы гладкого анализа Чтобы выполнить следующий ш а г, надо проделать те же построения начиная с точки Рз. Из точки Рз нужно провести прямую, параллельную оси ОУ, а затем из точки Яз, в которой эта прямая пересекает график функции, провести прямую, параллельную оси ОХ, до пересечения с прямой ~3 в точке Рз и т.
д. В случае, изображенном на рис. 1, точки Р„и Я„, как нетрудно видеть, сходятся к точке пересечения графика функции у с прямой Д, так что последовательность (х„)„ен оказывается сходящейся и метод последовательных приближений в этом случае действительно р е ш а е т задачу отыскания неподвижных точек функции ~р.
В случае, представленном на рис. 2, процесс оказывается расходящимся, как бы ни была выбрана точка х~. 1.1.3. окажем об ю тео ем о схо умести мет а посл оватепьных п иближений. Эта теорема представляет один из самых простых и вместе с тем один из наиболее важных результатов, касающихся метода последовательных приближений. Пусть даны метрическое пространство (М, р) и множество А С М. Отображение <р: А -~ М называется сжимающим, если существует постоянная д такая, что 0 < д < 1, и для любых х', х" Е А выполняется неравенство р) р(х ), ~р(х~~)) < цр(х, ха).
Ксли у удовлетворяет этому условию, то функция м(1) = ф, очевидно, есть его модуль непрерывности (см. п. 1.5 главы 9). Мы получаем, следовательно, что всякое сжимающее опзобразхение непрерывно (и даже равномерно непрерывно!). ° Теорема 1.1. Всякое сжимающее отображение имеет не более одной неподвижной точки. з 1. Общая теорема о разрешимости уравнений Доказательство. Пусть даны метрическое пространство М с метрикой р, множество А С М и отображение <р: А -+ М. Предположим, что <р есть сжимающее отображение. Это означает, согласно определению, что существует постоянная д такая, что 0 < и < 1, и для любых двух точек х', х" Е А р[~р(х ), у(х~~)] < др(х~, хп).
Если у отображения <р вообще нет неподвижных точек, то для него утверждение теоремы верно. Пусть а Е А есть неподвижная точка отображения у. Предположим, что Ь Е А также есть неподвижная точка у. Тогда а = у(а), Ь = <р(6). Отсюда р(а, Ь) = р[<р(а), <р(6)] «1р(а, Ь) и, значит, (1 — <1)р(а, Ь) < О. Так как, по условию, и < 1, то 1 — о ) О, откуда получаем, что р(а, 6) < 0 и, следовательно, р(а, Ь) = 0 и а = Ь.
Таким образом, установлено, что если Ь есть неподвижная точка отображения у, то Ь = а и, значит, в этом случае <с имеет в точности одну неподвижную точку. Теорема доказана. ° ° Теорема 1.2 (принцип сжимающих отображений). Пусть (М, р) есть полное метрическое пространство, А — замкнутое множество пространства (М,р), ~р: А -~ М вЂ” сжимающее отображение. Тогда если р(А) С А, то <р имеет неподвижную точку, принадлежащую мнох<еству А. Всякая последовательность (х„)„ен точек множества А такая, что при каждом и б г1 выполняется равенство х„+1 = у(х„), является сходящейся, и ее предел есть неподвижная точка отображения <р.
Доказательство. Пусть А есть замкнутое множество пространства (М,р) и ~р: А — М вЂ” сжимающее отображение множества А в себя. Предположим, что число о таково, что 0 < о < 1, и для любых х', х" б А выполняется неравенство р[у(х'), ~р(хп)] < др(х', хп). Определим по индукции последовательность (х„)„ен точек множества А. Точку х1 зададим произвольно. Если для некоторого и точка х„ определена, то полагаем х„ез —— ~р(х„). Последовательность (х„)„ен этим полностью определена. Получена последовательность вида, указанного в формулировке теоремы.
Любая такая последовательность получается данным построением. Гл. 10. Основы гладкого анализа Докажем, что построенная последовательность (х„)„ен является фундаментальной. Положим р(х1, хз) = р(х1, ~р(х1)) = 1. Покажем, что для любого и Е Х р(х„+1, х„) < 1д" (1.2) Для п = 1 это неравенство верно. Предположим, что неравенство (1.2) выполняется для некоторого п. Тогда имеем Р(Хи+2~ Хл+1) — Р(Зт(Хе+1) ~ ~О(Хтт)) < ЧР(Хе+1~ Ха) < 1!1 Таким образом, если неравенство (1.2) выполняется для некоторого п, то, заменяя п на и+ 1, мы получаем верное неравенство.
В силу принципа математической индукции из сказанного вытекает, что неравенство (1.2) верно для всех п. Пусть п б ! ! и те Е ! ! произвольны. Тогда, применяя неравенстиво Ломаной, получим ь ь р(х„,х„~ь) < ~т р(х„+; 1,х„+;) < ~ 1д"+' 1. т=1 Отсюда ци-!(1 е) 1 а-1 1 — о 1 — !1' 1=! а-1 ибо, по условию, О < в < 1. При п — оо имеем -т О. Ч 1 — д Зададим произвольно е > О, и пусть й е М таково, что если п > й, а-1 то < е. Тогда для любого и > и и любого те Е 1! имеет место 1 — д неравенство р(х„, х„+ь) < е.
В силу произвольности е > О тем самым доказано, что последовательность (х„)„ен является фундаментальной. Так как согласно условию пространство (М, р) является полным, то существует а Е М такое, что а = Бтп х„. а еа Так как множество А замкнуто, то а Е А.
Отображение у непрерывно. Имеем х„+1 —— ~р(х„). Переходя в этом равенстве к пределу при п — оо, получим а = !р(а), т. е. а есть неподвижная тиочка отпображения !р. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е 1. При доказательстве теоремы 1.2 установлено неравенство и-1 !т р(х„, х„+1) < 1 — д З 1. Общая теорема о разрешимости уравнений 97 Устремляя х к бесконечности, получим следующую оценку отклоиеиия и-го члена построенной последовательности (х„)„еи от ее предела,: о-1 р(х„,а) < —. Я 1 — д Согласно теореме 1.2 а есть неподвижная точка отображения у. Напомним, что1 здесь есть расстояние между точками х1 и хз.
Отсюда следует, что, зная расстояние между двумя первыми приближениями х| и хз и коэффициент сэхатия9 для отображения р, мы можем сказать, на каком шаге можно остановить п о есс пост оения послеовательных и иближений чтобы получить точку, отстоящую от искомой неподвижной точки на расстоянии, зав омо меньшем произвольного заранее заданного числа е > О. 3 а м е ч а н и е 2. Условия замкнутости множества А и полноты пространства (М, р), а также требование у(А) С А не могут быть отброшены, как показывают следующие примеры. Пример 1.
Пусть М = К, р(х, у) = )х — у~, А = (0,1], у(х) = х/2 для всякого х Е А. Условие х(А) Е А здесь выполняется. Отображение ~р, очевидно, является сжимающим. Для всякого х Е А имеем х > 0 и, значит, х > х/2 = у(х). Отсюда видно, что в данном случае отображение ~р не имеет неподвижных точек. В этом примере пространство (М, р) является полным, а множество А незамкнуто. Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
