1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть М = Я+ есть множество всех неотрицательных рациональных чисел, р(х, у) = ~х — у~. Положим А = М = Я+. Пусть 1 ~р(х) = — для х Е Я+. Для любых х, у имеем х+2 Ь-х! < 1 (у + 2)(х + 2) 4 так что у есть сохи иающее отображение множества Я+. Предполо- 1 жим, что х Е Я~ есть неподвижная точка у, т. е. х = . Тогда х+2 имеем хз + 2х = 1. Полученное уравнение, однако, н е и м е е т р е ш е н и й в множестве рациональных чисел! Действительно, если х есть корень этого уравнения, то (х+1)з = 2, и мы получаем противоречие с фактом, что квадрат рационального числа не может быть равен 2. В данном примере А есть совокупность всех точек пространства (М, р) и, стало быть, есть замкнутое множество пространства.
Однако пространство (М, р) само не является полным! Таким образом, теорема 1.2 перестает быть верной, если в ее формулировке опустить условие полноты пространства (М, р). Гл. 10. Основы гладкого анализа 98 1.2. АБстРАктнАЯ теОРемА ОБ ОБРАТЯОЙ ФУнк ии Пусть Х есть произвольное банахоео просозрансглво. Согласно определению это означает, что Х есть полное нормированное векторное пространство. Символ ~х~ означает норму вектора х б Х.
Во всяком метрическом пространстве (М,р) для всякой точки а б М и любого т > О замкнутый шар В(а,г) в пространстве (М,р), т. е. множество всех точек х, для которых выполняется неравенство р(х, а) < г, представляет собой замкнутое множество (глава б, п. 5.1).
Пусть даны множество А С Х и отображение 1: А — Х. Будем говорить, что ~ есть отображение класса 1(д), где д > О, если функция и(х) = 1(х) — х такова, что для любых х',х" б А выполняется неравенство )и(х') — и(х )~ < д(х' — х" (. (1.3) Всякое отображение класса Х(д) непрерывно. Действительно, предположим, О < д и функция и: х ~ 1(х) — х такова, что для любых х',х" Е А выполняются неравенства (1.3). Возьмем произвольно точки х', х" Е А. Тогда имеем у(х') — 1(хл)/ < !х' — х"~+ !и(х') — и(х")/ < (1+ д)~х' — х"!, Из этого неравенства, очевидно, следует непрерывность отображения ~.
Если д < 1, то всякое отображение класса 1(д) взаимно однозначно. Действительно, пусть 1 Е 1(д), где О < д < 1. Тогда 1(х) = х+и(х), где функция и такова, что для любых х', х" выполняется неравенство (1.3). Имеем х' = 1(х') — и(х'), х" = 1(х") — и(х"), откуда (х' — х") < фх') — 1(хв))+ )и(х') — и(хл)( < (дх') — дхл))+ д(х' — х"). Отсюда следует, что Щх') — 1(хл)~ > (1-д))х' — х" ( для любых х', х" б А.
Предположим, что х' ~ х". Тогда ~х' — х"~ > О и, значит, также и ~Дх') — 1(хл)~ > О, т. е. 1(х') ~ 1(х"). Это означает, что отображение 1 взаимно однозначно. ° Лемма 1.1. Пусть 6 есть замкнутый шар В(а,г) и 1: с' -+ Х есть отображение класса Цд), причем О < д < 1. Тогда множество 1(6) содержит в себе шар В(Ь, з), где Ь = ~(а), а з = (1 — д)г. Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Требуется доказать, что 1(с') Э В(Ь,з), т. е. для всякого у Е В(Ь,з) найдется х б С такое, что Дх) = у. Для всякого у б В(Ь,з) имеем ~у-Ь~ < з = (1 — д)г.
Для произвольного х Е С положим С„(х) = у-и(х). З 1. Общая теорема о разрешимости уравнений 99 Если у = 1(х) = х+ и(х), то х = у — и(х) = 6'„(х), т. е. х есть иеиодвихсиая тпочка отображения С„. Нетрудно видеть, что и, обратно, если х есть неподвижная точка отображения с„, то 1(х) = у. Таким образом, чтобы доказать, что существует х Е 6 такое, что У(х) = у, мы должны показать, что отображение С„имеет неподвижную точку. Покажем, что если у б В(6, з), то отображение с„удовлетворяет условиям теоремы 1.2.
Для любых х', х" Е В(а, т) имеем так что сз есть сжимающее отображение. Теперь докажем, что С„преобразует шар В(а, т) в себя. Возьмем произвольно точку х б В(а,т). Полагая в неравенстве (1.3) х" = х и х' = а, получаем, что ]и(х) — и(а)[ < д]х — а]. Имеем Ь = Ца) = а+и(а) и, значит, а = 6 — и(а). Отсюда [~„(х) — а[ = [у — и(х) — Ь+ и(а)] < < ]у — Ь] + [и(х) — и(а)] < (1 — д)т + д]х — а] < т.
Следовательно, если ]х — а] < т, то имеет место неравенство ]С„(х) — а] < т, т. е сз(х) Е В(а, т). Таким образом, установлено, что Ь„отображает В(а, т) в себя. Шар В(а,т) является замкнутым множеством полного метрического пространства Х.
Применим теорему 1.2, полагая в ней А = = В(а,т), ~р = с„, где у б В(6,(1 — д)т). Все условия теоремы 1.2 здесь выполняются и, следовательно, для всякого у б В(6, (1 — д)т) отображение С„имеет неподвижную точку. Лемма доказана. ° ° Лемма 1,2. Пусть 1: А -~ Х есть отображение класса 1(д), причем 0 < д < 1. Пусть и(х) = 1(х) — х, Е = 1(А). Тогда обратное отображение д = 1 ~: Е -+ Х принадлежит классу 1(д), где д = —. Ч Я Локазательстио. Пусть |(х) = х + и(х), где функция и такова, что для любых х',х" Е А выполняется неравенство (1.3). Полагая в равенстве 1(х) = х + и(х) и х = д(у), получим у = 1[д(у)] = д(у) + +и[д(у)]. Отсюда д(у) = у+ и(у), где и(у) = — и[д(у)].
Возьмем произвольно точки у', у" б Е. Имеем ]д(у') — д(у")] < ]у'-у" ]+]и[д(у')] — и[д(у")]] < [у' — у" ]+ 9]д(у') — д(у")[, 100 Гл. 10. Основы гладкого анализа откуда [д(у') — д(у")! < [у' — у"!. Отсюда получаем [и(у') — е(ув)! = ]и[д(у')] — и[д(у")]! < д[д(у') — д(у")! < ]у' — у" ], — 1 — д и тем самым лемма доказана. ° ° Лемма 1.3, Пусть А С Х и ~: А — Х есть отображение класса 1(д), 0 < д < 1, ид = ~ ~, и(у) = д(у) — у для всех у Е Е = ДА). Тогда если для некоторой точки а Е А имеем и(а) = 0 и ]и(х)! = о([х — а!) при х — а, то 1(а) = а и ]и(у)! = о(]у — а!) при у -«а.
Локазательство. Пусть отображение 1": А — Х удовлетворяет условиям леммы. Равенство г(а) = а очевидно. Для всякого у Е Е = ДА) имеем у = г[д(у)] = д(у)+ и[у(у)], откуда получаем, что и(у) = — и[д(у)]. Положим о(х) = и(хфх — а! при х ~ а, о(а) = О. Тогда и(х) = = о(х)[х — а! для всех х Е Х и о(х) — 0 при х — а. Имеем и(а) = О, [и(у)! = ]и[д(у)]! < ]о[д(у)]]]д(у) — а! = 1 = ]о[д(у)]]]д(у) — д(а)! < [о[д(у)]]]у — а!. (1.4) При у — «а получаем д(у) — д(а) = а и, значит, о[д(у)] — 0 при у -«а. Из неравенств (1.4) поэтому следует, что ]и(у)! — «О при у — «а, ]у- ! т.
е. и(у) = о(]у — а!) при у — а, что и требовалось показать. Лемма доказана. ° Результаты лемм 1.1, 1.2 и 1.3 можно резюмировать в виде следующего предложения. ° Теорема 1.3 (абстрактная теорема об обратном отображении). Пусть даны замкнутый шар А = В(а, г) в балахоном пространстве Х и отображение 1": А -«Х. Предположим, что функция и: х 1(х) — х удовлетворяет следующему условию. Существует число д такое, что 0 < д < 1, и для любых х', х" Е А выполняется неравенство ]и(х') — и(х")! < д]х' — х"!. Тогда отображение ~ непрерывно и взаимно однозначно, множество Е = ('(А) содержит в себе шар В(Ь, (1 — д)т), где Ь = Да), и обратное отображение д = ~ ~ таково, что для любых у', у" Е Е выполняется неравенство ]д(у') — д(уп)! <, ]у' — у"!.
Если и(а) = 0 и и(х) = о(]х — а!) прн х — а и е(у) = д(у) — у, то Ь = а, е(а) = 0 и е(у) = о([у — а!) при у — «а. Доказательство теоремы содержится в леммах 1.1-1.3 (см. выше). ° г 2. Теорема об обратной функции й 2. Теорема об обратной функции В этом параграфе доказывается теорема о разрешимости уравнения у = Дх) для случая, когда г есть функция со значениями в И~, определенная на некотором открытом подмножестве пространства К~. Из алгебры известен следуюший результат. Пусть В: К" — ~ К" есть линейное отображение. Тогда для того, чтобы уравнение у = Дх) было разрешимо для любого у Е К", необходимо и достаточно, чтобы определитель линейного отображения Ь был отличен от нуля.
Предположим, что отображение г: У - К~, где У вЂ” открытое множество в пространстве К~, дифференцируемо в точке хо е У. Наглядно, определение дифференцируемости означает, что дпя х, близких к хо, разность Дх) — Дхо) является функцией, «почти линейной» относительно х — хо. Пусть ь есть дифференциал функции г в точке хо. Предположим, что линейное уравнение А(х) = у разрешимо для нсех у е И". Тогда для любого у, принадлежашего некоторой окрестности точки уо = Дхо), уравнение Дх) = у имеет, и притом только одно, решение, лежашее в окрестности точки хо. Поскольку «почти линейность» разности Ях) — 1(хо) имеет место только в случае, когда х дос таточно близко к хо, то утверждать однозначную разрешимость уравнения Дх) = у для любого у е К", вообше говоря, невозможно. Здесь устанавливаются некоторые теоремы о дифференциальных свойствах обратного отображения.
В связи с этим вводится понятие диффеоморфного отображения или диффеоморфизма открытого множества пространства К". Определяется обгцее понятие криволинейной системы координат в пространстве К . Рассматриваются некоторые примеры таких систем. 2.1. ТБОРемА О локАльной ОБРАтимОсти ГлА КОГО ОТОБРАЖЕНИЯ Пусть У есть открытое множество в пространстве К", г": У вЂ” К есть отображение, днфференцируемое в точке р б У, и пусть 4'(р) есть дифференциал отображения ) в точке р.
По определению, это означает, что ф(р) есть линейное отображение Ь: К" — И такое, что имеет место равенство Дх) = Др) + Цх — р) + а(х)~х — р~, где - дУ а(х) — 0 при х -+ р. Имеем ф(р) = 2 — (р)пх;, где ах; есть линейные г дх; функции, определенные условием ах;(х) = х, для любого вектора х = = (яы хг,..., яа) Е К". Матрица отображения ф(р) имеет вид д~г дЛ д~г дхг дхг дх„ д~г дЬ дЛ дхг дхг дх„ д)' дУ ду дх1 дхг дх„ Гл.
10. Основы гладкого анализа 102 где значения частных производных берутся в точке р Е У. Отметим особо частный случай т = 1, когда ~ есть вещественная функция, определенная на множестве У. Предположим, что функция 7" дифференцируема в каждой точке х Е У. Тогда для всякого х Е У опре/ д7" дУ д7" делен вектор ~ — (х), — (х), ..., — (х) . Этот вектор называется 1,дх1 ' дхз ' ' дх„ градиентом функции 7" в озочке х и обозначается одним из символов бган~(х) или ч" г(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
