1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Так как функция Г в этом промежутке является строго убывающей, то это решение е д и н с т в е н н о. з 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 423 Поскольку Р(гз) > О, то уравнение Р(г) = О имеет, и притом только одно, решение, лежащее в промежутке [гз,оо). Итогом проделанных рассуждений является следующая теорема. ° Теорема 9.2. Пусть дано уравнение: У(х) = х + рх + дх + г = О.
Пусть величины Р н Я выражаются через р, в, г равенствами (9.8). Если для величин Р и Я выполняются неравенства (9.9), то существуют числа х1 и хз такие, что — оо < х1 < хз < оо, н в каждом из трех промежутков ( — оо, х1], [хг, хз] и [хг, оо) рассматриваемое уравнение имеет в точности одно решение. Если же для Р и Я хотя бы одно из неравенств (9.9) не выполняется, то уравнение /(х) = О имеет единственное решение х Е ж. Доказательство. Числа хг и хз выражаются через указанные выше значения 1г и 1з по формулам: х1 = Фг — р/3, хз = Фз — р/3. Решения уравнения /(х) = О, лежащие в промежутках ( — оо,хг] и [х1,хз], могут совпадать. Очевидно, это будет иметь место в том и только в том случае, когда /(хг) = О и правое из неравенств (9.9) обращается в равенство. Решения уравнения /(г) = О, лежащие в промежутках [х1,хз] и [хз, оо), также могут совпадать. Это будет в том и только в том случае, когда левое из неравенств (9.9) обращается в равенство.
Если каждое из неравенств (9.9) является строгим, то все три корня уравнения /(х) = Π— различны. Теорема доказана. ° 9.3. ИССЛЕЛОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ КРИВЫХ 9.3.1. Рассмот им за ач о пост ренин носителя плоской па амет и- 22 ий.Вмик Если о параметризованной кривой известно только, что она непрерывна, то носитель плоской параметризованной кривой может оказаться множеством достаточно с л о ж н о й природы. Все сказанное далее относится к случаю параметризованной кривой: х($) = (хЦ),у(Ф)), где Ф Е (а,о) и функции х и у имеют производные первого и второго порядка. 424 Гл.
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Пост ение носителя плоской па амет изованной к ивой и и этих п положениях состоит из сл ю э т а п о в. 9.3.2. П ив ем о м л ы кото ые мог т быть полезными на заключительной см. 3 части иссл ования носителя па амет изо- 2~ Ю2~~ й. Дифференцируя равенства х[((х)] = х, у(х) = у[С(х)], получим: х'фх)]~'(х) = 1, ~ (х) = у [~(х)]~ (х). (9.10) П е р в о е из этих равенств позволяет заключить, что производная функции ~ имеет тот же знак, что и производная функции х. Из второго равенства следует, что если функциях(Ф) является в о з р а с т а ю щ е й в промежутке [а,)3], то для х Е [р,д] знак производной у'(х) с о в п а д а е т со знаком производной у'(4) в точке 1 = ((х). Если функция х является у б ы в а ю щ е й в промежутке [а,Я, то знак производной у'(х) и р о т и в о п о л о ж е н знаку производной у'(г) в точке 4 = С(х).
Наконец, если в точке Ф = С(х) имеет место р а в е н с т в о у'(Ф) = О,то также справедливо и равенство У (х) = О. 1) Первый шаг исследования состоит в том, что область определения параметризованной кривой разбивается на промежутки, в каждом из которых либо функпия х, либо функция у строго монотонна. 2) Второй шаг. Предположим, что указан промежуток [а, )3] С (а, Ь) такой, что, скажем, функция х в этом промежутке строго монотонна и не является таковой ни на каком промежутке, содержащем [а, ~3].
Тогда функция х отображает этот промежуток на некоторый отрезок [р, д] и, по гпеореме об обратной Функции (см. теорему 4.3 главы 2), существует непрерывная обратная функпия: С = х ': [р, о] -+ [а, р]. Если функция х во всех точках промежутка (а, Ь) дифференцируема и ее производная нигде не обращается в нуль, то функция с дифференпируема в промежутке (р, 9). Подставляя Ф = С(х) в выражение х(Ф) = (х(4), р(Ф)), получим, что ч а с т ь носителя параметризованной кривой, отвечающая значениям 4 Е [а,)3], может быть представлена уравнением: у = у(х), где у(х) = рфх)].
3) Дальнейшее исследование этой части носителя сводится, таким образом, к исследованию функции у(х) и может быть выполнено уже имеющимися в нашем распорюкении средствами (см. выше п. 9.1). З 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 425 Выражение для производной У'(х) во всякой точке х, для которой производная с'(х) определена и конечна, может быть представлено в виде: у [~(х)] у (г) х'[6 ')] х'(~) ' (9.11) где 1 = с(х). П иве ем о м л ы ля вычисления и оизво ных вто ого по ка нкции х = х Дифференцируя соотношения (9.11), получим: 9 = х [~(х)][~ (х)]я + х «~(хЯ (х), ~ (х) = у [с(х)][с'(х)] + у'[с(х)]с"(х), откуда у" (х) =, (х'[~(х)]у" [С(х)] — у'[~(х)]ха[~(х)]) .
х'[Ях)] 1 Заметим, что С'(х) = . Тогда последнее равенство можно запи*% )Г сать в следующей форме: 1" (х) =, ] х'[С(х)]ул[~(х)] — у'[С(х)]хл[Дх)]) . (9.12) Из равенства (9.12) видно, в частности, что знак второй производной ~" в точке х полностью определяется знаком производной х'(г) и знаком выражения *'Р)у"(~) — у'( ) "( ) в точке 1 = ь(х).
Равенство (9.12) может быть представлено также в следующей фор- ме: У" (х) =,, [х'(~)у" (~) — у'(~)х" (~)~ (9.13) где 1 = с(х). Заметим еще, что при изучении носителя параметризованной кривой разумно предварительно попытаться упростить данную параметризованную кривую выбором надлежащей системы координат. При определении носителя параметризованной кривой полезно выяснить наличие у данной параметризованной кривой каких-либо дополнительных геометрических свойств типа симметричности и т. ц.
426 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной 9,3.3. Рассмот им некото ые п и м е ы. 27ример 1. Пусть параметризованная кривая определяется уравнениями: х(1) = 1 — г аш —, у(Ф) = т — т соа —. (9.14) т г Ланная параметризованная кривая есть ц и к л о и д а. Обозначим ее носитель символом Т.
Циклоида представляет собой траекторию точки, лежащей на ободе круглого колеса, катящегося без скольжения по оси Ох системы координат на плоскости К~. Из равенств (9.14) следует, что для всякого целого и имеют место равенства: х(1 + 2япт) = х(1) + 2япт, у(г+ 2хпт) = у(1). Отсюда видно, что часть рассматриваемого множества Т, соответствующая значениям $ Е [2япт,2я(п+ 1)т], получается из той ее части, которая отвечает значениям параметра 1 Е [0,2ят], преобразованием (х,у) ~ (х+ 2птт,у), тоесть параллельным переносом вдольосиОхнавектор и = (2пят, 0).
Поэтому для того чтобы изобразить множество Т, достаточно нарисовать ту его часть, которая соответствует значениям параметра Ф из промежутка [О, 2ят]. Последовательными параллельными переносами вдоль оси Ох на расстояние, равное 2тя, получим все множество Т. Лопустим, что 0 < г < 2тк. Имеем: х (е) = 1 — соз— / и, значит, х'(1) > 0 для всех $. При этом х'(1) > 0 для всех 1 Е (О, 2ят) и, стало быть, функция х является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й. Имеем: х(0) = О, х(2ят) = 2яг и, следовательно, х отображает промежуток [О, 2ят] на себя.
По теореме об обрагпной 4ункпии (глава 2, теорема 4.3), существует обратная функция С = х ~. Лля х Е [0,2ят] величина С(х) есть тб значение 1 Е [О, 2ят], для которого х(1) = х. Подставляя ~ = Дх) в (9.14), получим, что дуга кривой Т, соответствующая отрезку [0,2ят], допускает параметрическое представление (х[С(х)], у[С(х)]) = (х, у[С(х)]), то есть эта дуга является графиком функции Дх) = у[С(х)]. функция с непрерывна в замкнутом промежутке [О, 2яг] и дифференцируема во всех точках интервала (0,2яг).
Отсюда следует дифференцируемость функции г(х) в интервале (0,2ят). В силу равенства (9.11), имеем: г (х) = —, у'(~) х'(1) ~ 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 427 где 1 = с(х). Поскольку х'(Ф) > О для всех 1 Е (О, 2кт) и у (8) = згп —, т то у'(Ф) > 0 при 0 < 1 < хт и у'(Ф) < 0 при ггт < 1 < 2хт. Пусть теперь х(ггт) = хт. Тогда с(хт) = лт.
Следовательно, производная функции у'(х) и о л о ж и т е л ь н а для Ф е [О, ит) и о т р иц а т е л ь н а для $ Е (тт, 2хт]. Отсюда вытекает, что функция ~(х) является возрастающей в промежутке [О, лт] и у б ы в а ю щ е й в промежутке [ят,2нт], а в точке х = ят принимает свое н а и б о л ь ш е е з н а ч е н и е. Имеем также: г" (0) = г(2нт) = О. Иссл ем нк ию х на выл клость. Согласно формуле (9.13), имеем: где Ф = С(х).
Множитель, стоящий перед скобками си р а в а, положителен. Простые вычисления позволяют заключить, что х'(1)у" (1) — у'(Ф)х' (г) = — соз — — 1 т~ т Отсюда следует, что у"(х) < 0 для всех х Е (0,2хт), и, значит, функция,г(х) выпукла снизу. Дуга циклоиды Т, отвечающая значениям параметра ~ Е [0,2нт], таким образом, имеет форму архи, концы которой лежат на оси Ох, и которая направлена выпуклостью вверх (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
