1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 69
Текст из файла (страница 69)
р д~» Следовательно, ие есть н а им ель ш е е значение, а значит, и точная нижних граница функции и'И' (и)» Ф ь-+ — +— Ф» в интервале (О, оо). Следствие 2 доказано. » ° Теорема 8.6 (о неравенстве Гельдера). Пусть даны две произвольные системы из и вещественных чисел (хг, хг,..., х„); (д1, рг,, у *) и пусть р > О и а > О таковы, что 1 1 — + — = 1. р ч 392 Гл.
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тогда имеет место неравенство, называемое неравенством Гельдера: < ~ ~х,)в у )у;)» (8.14) Доказательство. Положим: Х = '~ ~ ;~' ; 1. = '~ ' ~у,~ Зададим произвольно $ ) О. Имеем: <~~1.'~ ф д=д Применяя (8.12) к каждому из слагаемых справа, получим: <-,'~ 1*'!'+ — ~Ы'= +— р Ф д=д д=д Отсюда для всякого 4 ) О будем иметь: Х" 4Р Ъ'» < — +— — р д4» »=д и, значит, согласно следствию 2 теоремы 8.6 (см.
(8.13)), д=д Полученное неравенство и есть требуемое. Теорема доказана. ° (хд,хю...,х„); (уд,ую...,у„) Следствие (о неравенстве Коши — Буняковского). Для любых двух систем из и вещественных чисел 393 8 8. Выпуклые функции выполняется неравенство (8.15) Неравенство (8.15), называемое неравенством Коши — Буняковского, есть ч а с т н ы й с л у ч а й неравенства (8.14) теоремы 8.6, получаемый, когда р = о = 2. (х1,хз,...,х„), (у1,уя,...,у„). Тогда для всякого р > 1 имеет место неравенство 1 !х;+ у,!" < ~ !х~!" + ~ !у !", (8 16) называемое неравенством Минковскоео.
Лохазательстно. В случае р = 1 неравенство Мннковскоео следует из того, что !х' + уа! < !хф! + !ув! при всех г = 1, 2,..., и. Будем считать, что р > 1. Положим о = . Тогда д > 1 и р р — 1 1 1 — + — = 1. р ч Если левая часть неравенства (8.16) равна нулю, то доказывать нечего. Будем считать, что левая часть (8.16) отлична от нуля. Имеем: !х;+у;!~ = ,') !х;+у !" !х;+у,! < < ~ !х;+ у<!" !х;!+ ,'~ !х;+ у;!" !у;!. (8.17) ° Теорема 8.Т (о неравенстве Минковского). Пусть даны системы из и вещественньгх чисел: 394 Гл. 4.
Лифферендиальное исчисление функций одной переменной Применяя неравенство Гальдера (8.14), получим: 1 1 ч и » ч н !х;+у;!" !х;! < ~~~ !х;+у»!»~" ~ у !х;!" »ьд »=1 »ьз Аналогично 1 1 и и д и У !х, + у»!~ !у;! < ~~ !х; + у,!» " 2 !у»!~ с=1 »=1 Заметим, что д(р — 1) = р. Заменяя каждую сумму в правой части (8.17) выражением, стоящим справа в каждом из последних двух неравенств, в результате получим неравенство: 1 ,'~ !х»+у»!" < '),!х»+у»!" »=1 »ьз ~~) !х!л + ~ !у!" Сокращая обе части этого неравенства на первый множитель спра- 1 1 ва и принимая во внимание, что 1 — — = —, в результате получим нера- ч р венство (8.16). Теорема доказана. ° 8.4. ТОчки пеРеГиБА ФУнк ии Введем понятие, полезное при выяснении качественных особенностей строения той или иной функции, а именно, понятие тонни перегиба 4унннии.
Приведем определение того, чтб есть точка перегиба функции, и установим некоторые критерии, позволяющие в простейших случаях эти точки находить. Пусть дана функция у: М вЂ” И, где М С Ж. Пусть хо Е М. Предположим, что хо есть внутренняя точка множества М, то есть что существует окрестность У = (хо — 6, хо + 6) точки хо, содержащаяся в множестве М. Точка хо й М называется точкой нерееиба функции у, если функция у дифференцируема в точке хо и вьшолнено следующее условие: окрестность Г7 = (хо — 6, хо + 6) С М точки хо может быть выбрана так, что часть графика функции у, соответствующая интервалу (хо — 6, хо), лежит по одну сторону касательной графика в точке Хо = 395 'З 8.
Выпуклые функции = (ха, Дхе)), а часть графика, соответствующая интервалу (хе, хе + 6), расположена по другую сторону касательной. Наглядно хе есть точка перегиба функции у, если при переходе х через хе точка Х = (х, Дх)) перемещается с одной стороны касательной графика функции на другую (см. рис. 29). Формально условие, которому должна удовлетворять точка перегиба функпин, описывается следующим образом. Точка хе Е М есть точка перегиба функции у, если хе есть внутренняя точка множества М, функция у дифференцируема в точке хе и существует окрестность П = (хе — 6, хе + 6) С М такая, что либо для всех х Е (хе — 6, хе) выполняется неравенство: У(х) > У(хо) + У'(хо)(х — хе), а для любого х Е (хе, хе + е) — неравенство: У(х) < У(хо) + У'(хо)(х — хо), либо для всех х Е (хе — б, хе) имеет место неравенство: У(х) < У(хо) + У'(хо) (х - хо), а для всех х Е (хе,хе + б) — неравенство: У(х) > У(хо) + У'(хо)(х — хо).
Рва 29 Укажем некото ые еловик позволяю е нах ить точки пе егиба ля азличных коня етных нк ий. ° Теорема 8.8. Пусть у" есть вещественная функция, определенная во всех точках интервала (а, Ь). Предположим, что точка хе Е (а, Ь) 396 . Гп. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной является точкой перегиба функции ~.
Если функция ~ имеет во всех точках интервала (а, Ь) вторую производную, то 7 (хо) = О. Доказательство. Пусть функция 7" удовлетворяет всем условиям предложения. Положим Г(х) = 7" (х) — 7'(хо) — ~'(хо)(х-хо). Тогда Функция Г имеет в интервале (а,Ь) вторую производную. При этом Г' (х) = У '(х) для всех х Е (а, Ь). Имеем: Г'(хо) = О. Если У"(хо) = Г"(хо) > О, то хо есть точка строгого минимума функции Г (см. лемму 7.2 этой главы) и, стало быть, найдется окрестность П = (хо — Ь,хо + Ь) С (а, Ь) точки хо такая, что для любого х Е У, отличного от хо, выполняется неравенство: Г(х) > Г(хо) = О, то есть У(х) > У(хо) + У'(хо)(х — хо) для любого такого х.
Это, очевидно, и р от и вор е чи т тому, что, по условию, хо есть точка перегиба функции 7". Аналогичным образом из предположения, что 7""(хо) < О, вытекает, что хо есть точка строгого максимума функции Г и, значит, У(х) < У(хо) + У'(хо)(х — хо) для всех х ф хо, принадлежащих некоторой окрестности П точки хо. Это опять-таки п р о т и в о р е ч и т тому, что, по условию, хо есть точка перегиба функции 7". Теорема доказана.
° ° Теорема В.9. Пусть везцественная функция У определена и дифференпируема во всех точках интервала (а, Ь) С К. Если точка хо Е (а, Ь) является точкой экстремума производной функции У, то хо есть точка перегиба функции г. Доказательство. Пусть хо есть точка максимума функции 7"'. Будем считать, что 7 (х) < у (хо) для всех х Е (а, Ь).
Это предположение не умаляет общности, поскольку его выполнения всегда можно добиться, уменьшая, в случае необходимости, промежуток (а, Ь). Пусть а < х < хо. По таеореме Лаеранхса о среднем значении (см. следствие 1 теоремы 4.3), найдется с такое, что У(хо) з (х) ~г(с) ~г( хо — х 397 З 8. Выпуклые функции Отсюда получаем, что для всякого х Е (а, хо) выполняется неравенство: У(хо) — У(х) < У'(хо)(хо — х) и, значит, У(х) > У(хо) + У'(хо)(х — хо) для всех таких х. Предположим, что хо < х < Ь.
Применяя теорему Лагранжа о среднем значении, получим,что У(х) — У(хо) г~(с) г.~( х — хо откуда заключаем, что в этом случае У(х) < У(хо) + У'(хо)(х — хо). Итак, мы получаем, что если производная функции у принимает в точке хо свое наибольшее значение в интервале (а, Ь), то для всякого х Е (а, хо) выполняется неравенство У(х) > У(хо) + ~'(хо)(х — хо), а для всякого х Е (хо,Ь) верно неравенство У(х) < У(хо) + У (хо)(х — хо). Согласно определению, это и означает, что хо есть юсина перегиба функции у. Случай, когда хо есть точка минимума функции у, рассматривается аналогично. Формально, он сводится к рассмотренному случаю заменой функции у на -~. Теорема доказана.
° Следствие. Пусть вещественная функция У определена и имеет вторую производную во всех точках интервала (а, Ь) С Ж. Если точка хо Е (а, Ь) такова, что У" (х) в одном из интервалов (а, хо) и (хо, Ь) — неотрицательна, а в другом — неположительна, то хо есть точка перегиба функции у. Доказательство. Действительно, если у" (х) < О для х Е (а, хо) и у '(х) > О для х Е (хо, Ь), то хо есть точка минимума функции у в интервале (а, Ь). 398 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Если же 1" (х) > 0 для х Е (а, хе) и 1 "(х) < 0 для х б (хе, Ь), то хе есть точка максимума функции 1" в интервале (а, Ь). В силу теоремы 8.9, получаем, что и в том, и в другом случае точка хе есть точка перегиба функции 1. Следствие доказано. 3 а м е ч а н и е.
В случае, описанном в следствии теоремы 8.9 вьппе, функция 1 устроена следующим образом. В одном из интервалов (а,хе) и (хе, Ь) она является функцией, выпуклой снизу, а в другом— функцией, выпуклой сверху (см рис. 30). Рис. 30 8.5. КРитеРий ВыпУклОсти ФУнк ии В ОБ ем случАе Вьппе (см. и. 8.2) было установлено необходимое и достаточное условие выпуклости дифференцируемой функции. Произвольная выпуклая функция, однако, может не быть дифференцируемой в некоторых точках своей области определения.
Здесь будет доказан критерий еььиуклости функции, не требующий каких-либо дополнительных предположений относительно самой функции. Сначала докажем некоторые неравенства, имеющие простой геометрический смысл и являющиеся следствием определения выпуклой функции. ° Лемма 8.1. Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) С К и функция 1: 1 -+ Й. Для произвольных значений Фы $г Е 1 таких, что Йг ~Е Ьг, положим: 1 (гг ) — 1 (г1) гг — гг З 8. Выпуклые фуикпяи Если функпия ~ является выпуклой, то для любых 11, 12, Фз й Е таких, что 11 < 12 < 12, выполняются неравенства: ез(З1т12) < а(З11ЗЗ) < ез(221~3) ° (8.18) При этом если функпия у — строго выпуклая, то каждое из неравенств (8.18) — строгое. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
