1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

При этом если предел у(х) равен оо, то говорят, что прямая х = а является асимптотой графика 4ункции в направлении у -+ 00. Если предел у(х) при х — а равен — оо, то говорят, что прямая х = а является асимптотой гра4ика функции у" в направлении у — > — Оо. Если функция У, определенная на промежутке (а, оо), имеет конечный предел при х — со и 1 есть величина этого предела, то прямая у = 1 является асимптотой графика функции Дх).

410 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Аналогичное заключение верно также в случае, когда функция ~ определена на промежутке ( — оо, а) и существует конечный предел: 1пп У(х) = 1. Из оп еления асимптоты непос отвеине вытекает с и о с о б отыс- кания асимптот г ика нк ии если таковые с еств ют. Пусть функция У определена в интервале 1, один из концов которого есть или оо, или — со. Чтобы найти асимптоту графика функции, у(х) следует сначала рассмотреть отношение —. Предположим, что зто х отношение при х — со (или при х — — со) стремится к конечному пределу, равному х. Напомним, что асимптотой графика функции может быть только прямая вида у = кх +1.

алее сл ет ассмот ть азность х — хх. Если эта разность имеет конечный предел при х -+ со (при х — — оо) и 1 — значение этого предела, то прямая у = Йх+ 1 является асимптотой графика данной функции в направлении оо (соответственно, в направлении — оо). П ив ем п и м е ы нахож ения асимптот г а ика нк ии. 1 ХХримнр 3. Рассмотрим функцию 1: х ~ —.

Областью опредех ления данной функции является множество К '1 (О). Имеем: йт У(х) = — оо, 11щ У(х) = оо, а -О а +О 1иц 1(х) = О, 1пп 1'(х) = О. Отсюда следует, что ось Оу является асимптотой графиха данной функпии 1 как в направлении у — оо, так и в направлении д — — оо, а ось Ох есть асимптота графика функции у(х) как в направлении х — + оо, так и в направлении х -+ — оо. Следующие примеры 4 и 5 касаются более тонких ситуаций и содержат утверждения общего характера. Пример 4. Пусть У(х) = ™~/Р(х), где и > 2 — целое число, а функция Р(х) есть полипом степени п, Р(х) = аах" + аз х" ~ + ° + а„гх + а„, где ао > О.

з 9. исследование функций методами дифференциального исчисления 411 При х -+ оо Р(х) аг а„г а„ = ао+ — + + + — — ао. х" х х" " х" у(х) „Р(х) х Ч х" при х -+ оо. Теперь рассмотрим р а з н о с т ь У(х) — фаеох. Имеем: У(х) — фаох = фаох — 1 . (9.1) Воспользуемся формулоа Тейлора с остаточным членом е форме Пеано (см. и. 6.2, теорема 6.1).

Имеем: К+и=1+ — — — и +о(и ) при и-+О. 'и и — 1 2 з и 2па Положим в этом равенстве: аг аз а„1 Гаг аз а„ нхоф(Х) — + —,+ "+ — ~ — + — + "+ аох аохз аох" х 'гас аох аох" г 3 Очевидно, и(х) = — — + о~ — ), [н(х)] = о~ — ) при х — оо. В резульаох х ~х~ тате получим: аг /1~ 1+ +о~ — ) при х — оо. паех ~ х~ Подставляя это выражение в равенство (9.1), получим, что У(х) — Каеох = Маох [ +он~ = +о(1) паох х пас Отсюда следует, что найдется число К > О такое, что при х > Х Р(х) будет — > О и, следовательно, Р(х) > О для всех х > К'. Выясним сначала, существует ли предел Бпз —.

Имеем: У(х) х-~оо Х 412 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной при х — оо. Отсюда следует, что существует конечный предел: 1пп [~(х) — фаоох] = д д а- у Из доказанного вытекает, что график рассматриваемой функции У(х) имеет асимптоту в направлении х — + оо. Таковой является прямая: Я1 у = 7уоох+ вао Пример 5. Исследуем поведение при х — ~со произвольной рациональной функции г" (х).

Функция Дх) переменной х Е Й называется рациональной, если она является отношением двух полиномов, то есть (9.2) для всех х е В таких, что Щх) ~ О. Здесь Р(х) = аох +агх + +а гх+а и Я(х) = Ьох"+ +Ь1х" ~+ . +Ьи гх+Ь, где т, и — натуральные числа, а коэффициенты ао, аы..., а ы а и Ьо, Ьы..., Ь„д, Ь„суть вещественные числа, причем ао ф О и Ьо ф О Область определения рациональной пункции ~(х), заданной равенством (9.2), есть множество тех х Е К, для которых Я(х) ~ О. Предположим, что степень т числителя дроби (9.2) не превосходит степень и ее знаменателя.

Предполагая, что х ~ О, запишем полиномы Р(х) и Я(х) в следующей форме: Р(х) = аох Р1 ( — ), Я(х) = Ьох" Я1 ~ — ), где Рг(~) = 1+ — 1+ ° + — ~, Яг(~) = 1+ — 1+ ° + — ~". а1 отп Ь Ь„„ ао ао Ь Ь При й -+ О выполнено Р1(й) — + 1, Яд(М) — + 1 и, значит, найдется б > О такое, что если Щ ( 6, то Яг(г) > О. 1 Положим: В = —. Если [х[ > В, то Я(х) ~ О. Следовательно, функция Х определена в каждом из интервалов ( — оо, — В), (В, оо). Имеем: 414 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной степень полинома а(х) не превосходит единицы, и прямая у = а(х), в соответствии с данным выше определением, является а с и м п т о т о й графика рассматриваемой функции у(х) как при х — ~ оо, так и при х -+ — 00.

9.1.3. При исследовании графика функции необходимо выяснить, является ли данная функция периодической или нет, и проверить функцию на четность или нечетность. Напомним, что функция У, определенны на некотором подмножестве М множества И, называется периодической, если существует число Т ф О такое, что при условии х Е М точки х — Т и х + Т принадлежат множеству М и имеет место равенство: у(х + Т) = у(х). Число Т ф О при этом называется периодом 4ункции у. Лля того чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на о т р е з к е, длина которого равна Т. График в с е й функции получается из части, соответствующей этому отрезку, последовательными сдвигами влево и вправо вдоль оси Ох.

функция у: М вЂ” ~ И называется четной, если для всякого х Е М верно, что — х Е М, и выполнено равенство: Дх) = У( — х). Говорят, что ~: М вЂ” К есть нечетная 4ункция, если для всякого х Е М точка — х лежит в М, причем Д вЂ” х) = — )'(х). Предположим, что функция 1 четва. Тогда ее график симметричен относительно оси Оу. действительно, пусть Х = (х, у) = (х, у(х)) есть точка графика функции У. Точка Х' = ( — х,)'(х)) симметрична Х относительно оси Оу.

Так как, в силу четности функции ~, ~(х) = у( — х), то Х также принадлежит графику функции ~, что и требовалось доказать. допустим, что ~ есть нечетная функция. П о к а ж е м, что в этом случае ее график с и м м е т р и ч е н относительно начала координат. Действительно, пусть Х = (х,у(х)) есть произвольная точка графика функции У. Тогда точка Х', симметричнал Х относительно начала координат, имеет координаты: ( — х, — Дх)). Так как функция у, по условию, нечетна, то — у(х) = Д вЂ” х), откуда вытекает, что точка Х' = ( — х,Д вЂ” х)) принадлежит графику функции у.

Поскольку точка Х, принадлежащая графику функции г, была выбрана произвольно, то тем самым установлено, что график данной функции у симметричен относительно начала координат. Т бр, фу ., Хр.дав~~л~ ения г а ика остаточно знать его часть соответств ю значени- З 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 415 ~яя ю. о * .р ~ ванным выше, п сотым геомет ическим и еоб азованием: либо симмет ней относительно оси О либо симмет ней относительно начала коо инат. 9.1.4.

Пусть (а, Ь) есть интервал, содержащийся в области определения функции у. Предположим, что вопрос о непрерывности функции на этом отрезке решен, найдены все точки разрыва функции в этом интервале, если таковые имеются. Предположим, что функция имеет в данном интервале конечное число точек разрыва. Эти точки делят промежуток на конечное число частичных интервалов. другой вопрос, который должен быть рассмотрен, — это вопрос о дифференцируемости функции У. Следует указать все точки, в которых функция у не дифференцируема. При этом если функция У непрерывна, но не дифференцируема в некоторой точке х Е (а, Ь), то ее поведение в этой точке следует изучить более внимательно.

П ив ем и уме иллюст и ю й х а а к т е особенностей кото ые и этом мог т вст етиться. Пример 6. Пусть Дх) = ~(х~ — а ) ~, где а > О. Тогда мы будем иметь: Дх) = (х — аОх + а(. функция у дифференпируема в каждой точке х ~ ха. Имеем: у(а) = Д-а) = О, откуда ясно, что для того, чтобы изучить вопрос о дифференцируемости функции у в точке а, например, следует )х — а) рассмотреть отношение ~х+ а~. Нетрудно видеть, что х — о Ыпз (х+ а! = — 2а, (х — а! *--о х — а 1пп )х+ а( = 2а. ~х — а! в а+о х — о Следовательно, мы получаем, что Д(а) = — 2а, у,'(а) = 2а и, аналогично, в точке х = — а левая производная функции у равна -2а, а правая равна 2а.

График функции у имеет изломы в точках х = — а и х = а. Чтобы построить график данной функции, можно применить следующее дополнительное соображение. Сначала построим график функции д(х) = х~ — а~. Этот график является параболой, пересекающей ось Ох в точках А = ( — а, О) и В = (а, О). 416 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Рис. 32 График функции у совпадает с графиком функции д на промежутках ( — оо, — а] и [а, оо). Та часть графика функции 7", которая соответствует промежутку [ — а,а], получается из дуги [АВ] графика функции д зеркальным отражением относительно оси Ох (см.

рис. 32). 9.1.5. Рез льтаты и нктов 4.4 4.5 этой главы ают все с е ства необ- хо имые ля оп еления и омеж тков монотонности нк ии. Предположим, что функция у определена на промежутке (а, Ь) и дифференпируема в каждой точке этого промежутка.

В каждом промежутке [хг, хз] С (а, Ь), в котором производная 1" имеет постоянный знак, функция у является монотонной. При этом если производная функции 7" неотрицательна в данном промежутке, то 7' является в промежутке [хыхз] неубывающей, а если 7"'(х) < 0 для всех х Е [хыхз], то функция У является невозрастающей в промежутке [хм хз]. Справедливость сказанного вытекает из теоремы 4.5 этой главы. Исследование функции включает в себя такой важный момент, как казание некото ых ха акте ных точек нк ии. К их числу относятся, во-первых, точки пересечения графика функции с осями координат, то есть точки (О, У(0)) (это есть точка пересечения графика функции с осью Оу) и точки х, такие, что ~(х) = 0).

Нахождение этих точек требует умения вычислять значения функции и решать уравнение Дх) = О. В простейших случаях характерные точки данного типа могут быть вычислены явно. В общем случае их нахождение требует применения методов численного решении уравнений. Характерными точками функции являются также ее точки экстремума. Вопрос об определении точек экстремума для функций одной переменной был достаточно полно рассмотрен в З 7 этой главы и мы не будем к этому вопросу более возвращаться. з в.

Характеристики

Список файлов книги