1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 76
Текст из файла (страница 76)
4.8. Доказать, что функция х «соя из/ж принадлежит классу Сз«. 4.9. Построить функцию 1: К -+ И класса С1 (класса Сз, класса Сз, класса С", где и — произвольное натуральное число), такую, что 1(х) = — 1 при х < — 1, 1(х) = 1 при х > 1. 4.10. Пусть даны функции 1: (а, Ь) — «К и д: (а,Ь) — «И.
Положим: и(х) = шак(1(х),д(х)); е(х) = шшЦ(х),д(х)). Доказать, что если 1 и д имеют конечные левую и правую производные в каждой точке х Е (а, Ь), то функции и и и также имеют конечные левую и правую производные в каждой точке х б (а, Ь). 4.11. Дана функция 1: х «-«х ~соя — ~. Определить левую и правую производные 1«(х) и 1«(х). 434 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной РЦ11з х ..
х 1««) = (РЯ1з х х 1„+ 11(Щз) х х 1„+... и +,~1~в х х Р~и =,) ~~,~1 ~з х х ~й 1(Р~й) ~й+1 х х ~и. 4.15. Функдия 1: ( — 1,1) — «К принадлежит множеству Ри1( — 1,1)]. Пусть ДО) =ао, 11~1(0) = а~, из = 1,2,..., п«д(х) = 1(хз). Найти производные: д'(О), ди(0),..., д1и1(0). 4.16. Построить график и найти производные функций 1Ри: Х Е Й «-«ППП(Х, а), «1«и: х е к «-«п1ак(х, а), где а.Е Й. Найти производные функций (х — а)+ и (х — а) Воспользоваться результатом для того, чтобы выразить д«и(х) и «1«и(х) через (х — а)+ и (х — а) 4.1Т. Показать, что функция 1: х «(вд(х — а))~р(х), где о«непрерывна в точке а и «р(а) ф О, не имеет производной в точке а.
4.18.Построить график функции 1 — хзи х «-«1пп и оо 1+хви 4.19. Вычислить суммы Йв1пхх, Е й=1 й сов Йх. й=1 и йтй-1 "), йзсйи йи1 й=1 4.20. Определить суммы ~ййз й„-й Е и й=о Сйипи Е и й=о Сйьз й„ Е и й=о 4.12. Исследовать на дифференцируемость, построить график функции 1, оп)в1пх! ределенной условиями: Дх) = при х ф О, 1(0) = 1. )х) 4.13.
Функция 1' определена и дифференцируема при всех х Е Ж. Определить, каким должно быть выбрано 6 > О, чтобы из неравенства )х) < 6 следовало, что ~Дх) — ДО)! < в, если известно, что (~«(х)) < М при всех х. 4.14. Показать следующее правило дифференцирования произвольного числа множителей: 435 Задачи 4.21. Пусть функции 1 : (а,Ь) — + К и д: (а,Ь) -+ й принадлежат классу Ю" Иа, Ь)). Показать формулу: 4.22. Функция 1' определена в интервале (а — Ь, а + 6) и представима в виде Дх) = (х — а)у(х).
Какому условию должна удовлетворять функция х для того, чтобы ( была дифференцируема в точке а? 4.23. Функция 1 определена равенством Дх) = (х — а)ву(х), где у определена в некоторой окрестности точки а и имеет там производную порядка (п — 1). 1 Доказать, что если у~" Ц(х) = о при х — ~ а, то производная ~(х — а)" ~/ Х~"~(а) существует и найти эту производную. 4.24.
Пусть ?: (а, Ь) — ~ К вЂ” функция, принадлежащая множеству ь "((а, Ь)), и пусть хо Е (а, Ь). Положим Ь",~(хе) = ~ ( — 1)" С~а~(хо+йй). Показать, что ь=а =~ОП( ) О "|(хо) ь 0 ла 4.25. Локазать,что если у' дифференцируема и и натуральное,то 1пп и [~ (х + — ) — Дх)~ = ~'(х). Верно ли, что если для у существует указанный предел, то у дифференцируема? 4.26. Функция 1:[О,оо) -+ Ж определяется из условий: для любого х Е [О,оо) у = Дх) есть решение уравнения уд + у = х (р > 1). Показать, что производная 1'(х) — зто монотонная функдия, причем ~'(х) — ~ О при х — ~ оо. 4.27.
Лан многочлен Р: х ~-~ хг + ахз + Ь, где р и д — натуральные числа, р > д, а и Ь вЂ” произвольные вещественные числа. Сколько, самое большее, вещественных корней может иметь многочлен Р? Указать необходимые и достаточные условия для того, чтобы количество вещественных корней многочлена было равно атому максимальному числу. Какие условия необходимы и достаточны, чтобы многочлен Р имел, по крайней мере, один вещественный корень? хз хп 4.28.
Показать, что уравнение 1 — х+ — + + (-1)" — = О имеет один 2 и вещественный корень, если п нечетно, и ни одного, если п четно. 436 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной х хз х" 4.29. Доказать, что полипом Р(х) = 1+ — + — + ° . ° + — не имеет веще- Ц 2! и! ственньпс корней при и четном, и имеет ровно один вещественный корень, если и нечетно.
4.30. Пусть х Е Й. Доказать, что если х > О, то е* > 1+ х+ — *, + + ~„, при любом и. Доказать, что если х < О, то при п четном хг хв е* < 1+х+ — + ° + —, 2! п!' при п нечетном— хз х ех >1+я+ — + ° ° ° +— 2! п! 4.31. Доказать, что функция х ~-+ !их — С~в !п(х+ 1) + Сз 1п(х + 2) + + ( — 1)" !п(х + п) неположительна при всех х > О, возрастает на полуоси (О, оо) и стремится к нулю при х — со. 4 32.
Функция ~: (а-6, а+6) -+ Ж принадлежит множеству функций С"+з((а — б, а+ В)). Имеем по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: Ьч Ьв+1 у(а+ Ь) = у(а) + ~(а)Ь+ ° ° + ХОО(а) — + у(~ь~!(а+ ВЬ) п! (и+ 1)! Доказать, что при Ь -~ 0 будет  — ~ 1/(п + 2), если у !"+з)(а) ф О. 4.33. Найти все дифференцируемые функции у: Ж вЂ” ~ Ж, для которых число В в формуле у(х+ Ь) — у(х) = Ь1'(х + ВЬ) не зависит от Ь. 4.34.
Найти все дифференцируемые функции у: Н вЂ” К, для которых число В в формуле 1(х+ Ь) — У(х) = Ьу'(х + ВЬ) не зависит от х. 4.36. Функция у: [О, со) -+ И принадлежит классу С ([О, оо)), и существует конечный предел йш [у(х) + у'(х)] = !. Доказать, что при х -+ со будет у(х) 1, ~'(х) -+ О. 4.36. Дана функция Р: И вЂ” ~ !к, дифференцируемая на К и такая, что [Р'(х)[ < < Л < 1, Л = сопз$, для всех х > 0 и Р(0) > О. Доказать, что уравнение Р(х) = х имеет единственный положительный корень.
Доказать, что этот корень есть предел последовательности (х~) р!, где хг ~ Р(0) и х~~г = Р(х„) при всяком и. 4 ЗТ. Для и Е !з! и у Е й пусть у р Н„(р) =1+у+ — +" + —. 2! и! 437 Задачи Доказать, что для всякого х > 1 уравнение Ев(у) = х имеет и при том единственное решение у = Вв(х).
Доказать,что функция В„ является вогнутой в промежутке [1,оо). Найти предел йпс Х„(х). 4.38. А. Определим функцию 1: Ж -+ й, полагал 1 ~е * при х>0; 0 при х (О. Доказать, что 1 й Ю" (К) при любом и й М. В. Пусть Р: Н -+ й — непрерывная функция. Предположим, что Р принадлежит классу С~ в каждом из промежутков ( — со, 0) и [О, со). Показать, г что тогда функция сг: х — ~ Р(е ~с* ) при х ф О, <р(0) = Р(0) принадлежит классу С"' на всем множестве Н.
4.39. Пусть х1, хг,..., хв — положительны. Для вещественного С ф 0 полагаем с с ... с 1УС Х1+Хг+ +Ха г... ~,.у ... г ~р> = сии-.—..'т;. с о Доказать, что функция сс является возрастающей на Й. 4.40. Дана параметризованная кривая Х: С с [а, Ь] ~-~ (х(С~,у(С)). Предположим, что функции х и у дифференцируемы на [а, Ь] и [х'(С)] + [у'(С)]2 ф 0 для всех С Е [а,Ь]. Доказать, что если касательные во всех точках параметризованной кривой проходят через одну и ту же точку М[р, д], то кривая лежит на одной прямой (т. е.
существуют числа А, В и С такие, что Аг+Вг ф 0 и Ах(С)+Вр(С)+ +С = 0 для всех С й [а, Ь]). 4.41. Функция 1: [а, Ь] -+ К дифференцируема на [а, Ь]. Оценить разность У(х+Ь)-У(х) .,( )~ — У'(х) ф через модуль непрерывности функции — на отрезке [а, Ь], если известно, что — непрерывна на [а, Ь]. ех 4.42.
Пусть функция 1: (а, Ь) -+ й непрерывна на (а, Ь). Предположим, что существуют непрерывные функции 11: (а, Ь) -+ К и Яа, Ь) — ~ й такие, что для любого С Е (а, Ь) ,((х) = у(с) + (х — с),6(с) + уг($) + е(х, с)(х — с), (х С)2 2 где е(х, С) — ~ 0 при х — ~ С. 438 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Доказать, что тогда функция У дважды дифференцируема на (а, Ь) и 4У АУ вЂ” = Уы — = Уг. Их ' 4хг 4.43. Функция У: [О, оо) -+ К дифференцируема в [О, оо).
Доказать, что если У( а) существует последовательность (х„) ь1такал, что х„ -с оо и — -+ О,то найдется последовательность (у ) этакая, что уа -+ со и У'(уа) — ~ 0 ~ри и -+ со. 4.44. Пусть У: [О, оо) — й — функция класса З" ([О, со)). Доказать, что если У(х) — -+ 0 пРи х — ~ оо, то найдетсЯ такал последовательность точек (х~)„еь1, хг что х„-+ со и УОО(х„) — ~ 0 при п -+ оо. 4.45. Пусть функдия У: [О, оо) -~ [к принадлежит классу с'([О, со)), где т > 1.
Предположим, что У("1(х) > 0 для всех х с [О, оо). Доказать, что существует У(х) ' конечный или бесконечный предел Нсп хг-Ъ 4.46. Функция У: [а, Ь] -+ Ж принадлежит классу Са([а, Ь)). Оценить разность П у(х) — ~~1 у("1(с) через модуль непрерывности функции у(а). 4.4Т. Функция У: [О,оо) — Ж дифференцируема и [У'(х)[ < Мхс с, где М < со, 6 > 0 для всех х с [О,оо). Доказать, что если У(,/й) — ~ 0 при п -+ оо, то У(х) - 0 при х — ~ оо. 4.48. Функция У: [О, оо) -+ й непрерывна и дифференцируема на [О, со), причем У'(х) ф 0 для всех х й [О, со). Доказать, что если У(~/й) — ~ 0 при п -+ со, то 11щ У(х) = О.
4.49. Функция У: [О, Ь) -+ К принадлежит классу Ра([0, Ь]), У(0) = 0 и У("1(0) = 0 для всех Ь = 1,2,...,п. Доказать, что если А < У1 1(х) < В для всех ха хсс х й [О, Ь), то А —, < У(х) <  —, для любого х й [О,Ь]. 4.50. Функция У: [О, со) — 1к принадлежит классу Юг([0, со)). Доказать, что если У'(х) -+ 0 при х — ~ со, то для любого Ь > 0 разность У(х+ Ь) — У(х) — 0 при х -с оо. 4.51. Функция У: [а,Ь) — ~ 1к дифференцируема на отрезке [а,Ь). Пусть Ес = (х Е [а, Ь] [ У(х) = с). Доказать, что если У'(х) ф 0 в каждой точке х й Ес, то множество Ес конечно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
