1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 75
Текст из файла (страница 75)
рис. 34). При этом наивысшая точка этой арки соответствует значению Ф = хт и имеет координаты (нт, 2т). Легко проверяется (мы предоставляем читателю проделать это самостоятельно), что данная дуга симметрична относительно вертикальной прямой х = ят. Для этого достаточно установить, что функция ~(х), графиком которой является рассматриваемая дуга циклоиды, удовлетворяет тождеству: у(х) = у(2тт — х). Вся циклоида Т в целом получается сдвигами ее дуги, лежащей над отрезком [О, 2ят]. 428 Гл.
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Рис. 34 Имеем: [и (1)] + (у'(1)) = (1 — соз — ) + (зш — ) = 2(1 — соз — ). Отсюда видно, что если параметр $ не является числом вида 1 = 2ятт, где и есть целое число, то (х'(4))~+ (у'(г))~ ф О, и, значит, в этом случае циклоида имеет касательную в точке: х($) = (т(Ф), у(М)). Иссл ем воп ос о с ествовании касательной уклон ы в точках соответств ю х значениям Ф = 2япг. Из соображений периодичности, достаточно рассмотреть случай $ = О. Имеем: х(0) = О, у(0) = О. Пусть е(Ф) = е(О,Ф) есть вектор, х(М) „х(й) равный в случае Ф > 0 и равный — при 4 < О. Предел е($) ~х(Ф) ~ ~х(4) ~ при 1, стремящемся к 0 справа, если таковой существует, есть правый касательный орт в точке х(0), а предел е(г) при Ф, стремящемся к 0 слева, есть левый касательный орт в точке х(0) рассматриваемой кривой.
Имеем: Ф х(4) = (4 — тзш —,г — гсоз — ) г г) з и 1 — гзш — = — + о(г~) при 1 — О, т — г сов — = — + оЯ при 4 — + О. т бгз т 2г 12 Отсюда вытекает, что ~х(1)~ = — + о(Ф~) при 4 — О. В результате 2т / 1 получаем, что если 1 > О, то е(г) = ~ — + о($), 1+ о(Ф)~, а для значений ~,Зт $ < 0 имеем: е(Ф) = ( — — + о(4), — 1+ о($)) при 4 — О.
Зг Из сказанного вытекает, что существуют пределы 1пп е(г) = (О, — 1). 1пп е(Ф) = (0,1), Это означает, что рассматриваемая кривая имеет в точке х(0) левый и правый касательные орты. з 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 429 При этом с~„(0) = (О, — 1), а с"„(0) = (0,1). Таким образом, левый и правый касательные циклоиды в точке х(0) = (О, 0) коллинеарны оси ординат и имеют различные направления.
Точка х(0), следовательно, является точкой возврата циклоиды. Пример 2. Рассмотрим параметризованную кривую на плоскости: (9.15) к(8) = (1 — 31, Ф вЂ” 2$ ), 1 Е И. Функция х(1) = г~ — 3~ имеет производные всех порядков в каждой точке $ Е И. Имеем: х'(1) = 3(г~ — 1).
Отсюда вытекает, что функция х является возрастающей в промежутке (-оо, — 1), убывающей в промежутке ( — 1,1) и, наконец, в промежутке (1,оо) она является строго возрастающей. Ясно, что х(1) = 2 при 1 = — 1, а х(1) = — 2 при 1 = 1. Из сказанного можно извлечь сл ю ю ин о м ю о с т о е- н и и ассмат иваемой к ивой см. ис. 35 . Построим на плоскости прямые х = — 2 и х = 2. Кривая разбивается на три дуги АВ, ВС и СР, каждая из которых взаимно однозначно проектируется на ось Ох.
При этом дуга АВ проектируется на промежуток ( — оо,2] и доходит до прямой х = 2 (здесь А следует понимать как обозначение для части кривой, соответствующее точке — оо). Рис. 35 Затем кривая меняет направление движения и точка х(г) движется при изменении 1 от 1 до — 1 в пределах полосы, заключенной между прямыми х = — 2 и х = 2, описывая дугу ВС. Точка В при этом лежит на прямой х = 2, С вЂ” на прямой х = — 2.
После этого точка х($), 430 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной «оттолкнувшись» от прямой х = — 2, описывает дугу СР, однозначно проектирующуюся на ось Ох и «уходящую в бесконечность». Символ Р означает бесконечно удаленную часть этой дуги кривой. Функция х является непрерывной и строго возрастающей в промежутке 11 = ( — оо, — 1]. Кроме того, х(а) — ~ — оо при 1 — ~ — оо. В силу теоремы об обратной у5ункции (см. теорему 4.3 главы 2), х отображает 11 взаимно однозначно на промежуток ( — оо, 2). П сть есть нк ия об атная к х на 1 . По теореме об обратной функции, отображение С1 непрерывно. Для всех г Е ( — оо,— 1) верно х'(1) ~ О.
Отсюда вытекает, что функция сг дифференцируема для всех х < 2. Положим: х = х . Дуга АВ изучаемой кривой является графиком функции 11(х). Исследуем функцию 1г б о л е е д е т а л ь н о. Она дифференцируема во всех точках интервала ( — оо, 2). Имеем: Уг(х) =— у'И) х'(а) где Ф = с(х). Тогда для Ф = С(х) имеет место равенство: у (ь) 4аз 4~ 4 х'($) Зга — 3 3 Отсюда видно, что для всех х Е ( — оо, 2) производная функции 11 (х) отрицательна и, значит, функция Ях) является убывающей на всем промежутке, где она определена. Из чим во ос о е е и емости нк ии х в точке х = 2.
Заметим, что при х — 2 — О будет ~г(х) — ~ Я2) = у( — 1) = — 1, а 4 г = Сг(х) — ~ — 1. Следовательно, Я(х) — ~ — — при х — + 2 — О. Соглас- 3 но следствию 2 первой теоремы Лопиталя (теорема 5.1 данной главы), отсюда вытекает, что функция 11 в точке х = — 1 имеет производную, 4 равную — — = 1пп Л(х). 3 *-з-о Теперь заметим, что у(8) — 1 оо при 8 — — оо, откуда следует, что Ях) — ~ оо при х — — оо. Для достаточно б о л ь ш и х по абсолютной величине значений х выполняется у1(х) > О. Так как 11(2) = — 1 < О, то функция у обращается в нуль для некоторого х Е ( — оо, 2). Приравнивая у(г) к нулю, получим уравнение: г4 — 2Р = О, которое имеет корни: Ф1 = $з = О и $з = — з/2, Ф4 = з/2.
Из этих корней только 432 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Вторая производная функдии уг(х) выражается через вторые производные функций х(М) и у(1) той же формулой, что и производная функдии Ях). Различие состоит только в том, что значения этих производных должны браться для й Е ( — 1, 1). По этой причине где Ф = сг(х). Видим, что функция тг(х) является вогнутой (выпуклой снизу) на промежутке [ — 2,2].
Рассмот им воп ос о том как асположены ветви из чаемой к ивой оп еляемые авнениями = х хŠ— оо 2 и = х х — 2 2 . Функция 5(х) — выпукла снизу, функция ~1(х) — выпукла сверху, и производные этих функций в точке х = 2 с о в п а д а ю т. Отсюда следует, что разность т = ~г — 5 есть функция, выпуклая в промежутке [ — 2,2], причем т'(2) = О.
Функдия т' является убывающей (и даже строго убывающей) на промежутке [ — 2,2]. Следовательно, т'(х) < 0 для всех х Е [ — 2,2]. Поэтому функция т — строго убывающая и, значит, т(х) ) 0 для всех х Е [ — 2, 2], то есть Ь(х) < ~1(х) для всех х Е [ — 2, 2]. Для завершения исследования кривой необходимо изучить ее и о— в е д е н и е для 1 Е [1,оо). Этого, однако, можно избежать, если воспользоваться следующим свойством. Для всякого 1 Е И, очевидно, имеют место равенства: х( — $) = — х(1), у( — ~) = у(~).
Отсюда следует, что если точка (х, у) принадлежит носителю изучаемой кривой, то ему принадлежит также и точка ( — х, у). Это означает, что рассматриваемая кривая с и м м е т р и ч н а относительно оси Оу. Используя этот факт, мы можем построить всю кривую по той ее части, которая нами уже построена. Кривая выглядит, как указано на рис. 35. Кривая состоит из двух ветвей, простирающихся в бесконечность, каждая из которых выпукла сверху, и выпуклой снизу дуги, соединяющей конды этих бесконечных дуг. Бесконечные дуги пересекаются в точке с координатой х = О. Уравнение х(С) = г~ — Зй = 0 имеет решения: й1 = О, йг = — ~/3 и йз = ~/3.
Очевидно, йд лежит в промежутке ( — 1,1), а точка (х(0), у(0)) = (О, 0) лежит на дуге ВС кривой. Далее, 1г Е ( — оо, — 1) и, значит, точка (х(~г),у(~г)) принадлежит дуге АВ. Имеем: х(1г) = О, у(1г) = 3. Точка (х(1з), у(8з)) принадлежит дуге СР, причем х(~з) = О, у(1з) = 3.
Следовательно, бесконечные дуги АВ и СР изучаемой кривой (9.15) пересекаются в точке (О, 3), лежащей на оси Оу. Заметим еще, что точки В и С являются точками возврата этой параметризованной кривой. 433 Задачи Задачи 4.1. Доказать равенство 4.2.
Доказать формулу « 4««1 1 „е — (х~ е*) = ( — 1)" дх" х««+1 4.3. Пусть 1: (а, Ь) -+ К вЂ” трижды дифференцируемея функция. Предположим, что для всех х Е (а,Ь) выполнено 1"(х) ф О и Х'(х) > О. Положим: и(х) = [1'(х)] ~«~, е(х) = 1(х)[1'(х)] Доказать равенство: 1 4зи 1 4зе и дхз и дхз 4.4.
Доказать, что среди всех выпуклых п-угольников, вписанных в окружность, наибольший периметр имеет правильный п-угольник, наибольшую площадь ограничивает также правильный п-угольник. 4.5. Исследовать на дифференцируемость функцию 1: х «-«[х — Ц вЂ” е]в г1. 4.6. Исследовать на дифференцируемость функцию 1: х «-«[х] з«пз их, где [х] — целая часть числа х, т. е. [х] — наибольшее целое число д, такое, что у < х.
4.7. Пусть р > Π— вещественное число. Предположим, что существует число п Е Ь~ такое, что и < р < и+ 1. Доказать, что функция 1: х «]х]Р принадлежит классу Р««(«к) и не принадлежит классу Р««+ (Й), когда р не есть четное целое число. Найти производную В~у, где 1 < Ь < и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
