1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Исследование функций методами дифференциального исчисления 417 Для построения графика функции надо знать не только те х, которые являются точками экстремума, но и значения функции для этих х. К числу характерных точен функции относятся и так называемые точки перееиба функции. Знание этих точек, во многих случаях, дает полезную дополнительную информацию о строении изучаемой функции (см. з 8, и. 8.4 этой главы).
9.2. ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ Применим методы дифференпиального исчисления для классической задачи исследования лгебраических уравнений второй и третьей степени. 9.2.1. У авнения вто ой степени. Под уравнением второй степени по- нимается уравнение вида: ахз+ Ьх+с = О, (9.3) где а, Ь и с — вещественные числа, причем а ~ О. Разделив обе части данного уравнения на а, мы приведем его к виду (9.4) х +рх+д=О, Ь с гдер= — ид= —. а а Наша цель — установить, каковы должны быть числа р и д для того, чтобы уравнение (9.4) имело хотя бы одно вещественное решение, и указать, сколько таких решений будет иметь данное уравнение.
Из школьного курса алгебры читатель знает ответы на все эти вопросы. Мы покажем,как получить ответ, применяя известные нам результаты дифференциального исчисления. Производная функции г(х) = х~+рх+ 4 равна 2х+р. Она обращается в нуль в точке хо = — —. При этом Г" (х) ( О в интервале ( — со, хо) р 1 и Г'(х) > О при х Е (хе, оо).
Отсюда вытекает, что функция у' является строго убывающей в промежутке ( — оо, — — 1 и строго возрастающей в промежутке ~ — —, оо) . Р) р 21 2' Это позволяет заключить, что функция 7"(х) = х~ + рх + у в точке хе = — — принимает свое наименьшее значение. р 2 Имеем: г" (хо) = д — —. Таким образом, справедливо следующее р' 4 утверждение. 418 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функпнй одной переменной ° Теорвма 9.1. Пусть дана функция ~: х ~-~ хз + рх + ц.
Тогда: 1) если 4о — р > О, то г'(х) > 0 для всех х й И; 2) если 44 — рз = О, то функция ~ обращается в нуль в единственной точке хс = — — и ('(х) > 0 для всякого х ~Е хо; р 2 3) если 4д — р ( О, то функция ~ обращается в нуль в двух точках: х1 и хз 'таких, что х1 ( ха ( хз ° При этом: у(х) > О, если х < х1, у(х) < 0 при х1 < х < хз и, наконец, У(х) > 0 при х > хз. Доказательство. Положим 4о — р = Ь. Пусть Ь > О. Имеем: 2 Дхо) =4 — — =— 4 4 Отсюда получаем, что если Ь > О, то У(х) > У(ха) > 0 для всех х Е и'.
Пусть Ь = О. Тогда у(хе) = 0 и ~(х) > 0 при х ~ хе. действительно, пусть х ~ ха. Предположим, что х < ха. Так как функция у в промежутке ( — оо,хе] строго убывает, то в этом случае У(х) > У(хе) = О. Если же х > ха, то неравенство 0 = у(ха) < у(х) следует из того, что функция (' строго возрастает в промежутке [ха, оо). Следовательно, если Ь = О, то уравнение у(х) = 0 имеет единственное решение х = хе.
Р а с с м о т и м сл чай Ь < О. Тогда У(ха) = Ь/4 ( О. Имеем: При х — асс первый множитель справа стремится к пределу, равному оо, в то время, как множитель, заключенный в скобки, имеет пределом число 1. Отсюда вытекает, что предел функции у: х ~ хз + рх + о при х — ~ оо по промежутку ( — оо,ха] равен оо, и, стало быть, найдется х' Е ( — оо, ха] такое, что У(х') > О. Точно так же предел У(х) при х, стремящемся к оо по промежутку [хс,оо), равен оо и, значит, найдется х" Е [ха,оо), для которого ~(х") > О.
Р а с с м о т и м омеж ток х' х . Функция у в этом промежутке непрерывна. Имеем: г"(х') > О, а У(ха) < О. В силу тпеоремы Коши о промежуточных значениях (теорема 4.1 главы 2), отсюда следует, что найдется число хг такое, что х' < хг < ха з 9.
Исследование фуикций методами дифференциального исчисления 419 и /(хг) = О. Так как функция / в промежутке ( — оо, хе] строго убывает, то/(х) >Оприх<хг и/(х) <Оприхг <х<хе. Рассуждая подобным образом, получаем, что найдется хз такое, что хе < хз < х" и /(хе) = О. При этом /(х) < О при хе < х < хз и /(х) > О при х > хз. Теорема полностью доказана. ° 9.2.2. У авнения т таей степени.
Уравнением третьей степени будем называть всякое уравнение вида: ах + Ьх + сх + д = О, (9.5) где а, Ь, с, Н вЂ” вещественные числа, причем а ~ О. Разделив обе части уравнения (9.5) на а, его можно привести к виду: х +рх + ох+ т = О. (9.6) Далее / означает функцию х ~ хз +рхз+ дх+ г. Вопрос о разрешимости уравнения (9.6) сводится к исследованию функции /. Имеем: х + рх + 9х + т = х 1 + — + — +— з з Р Ч .г .з ( (9.7) Выражение в скобках в правой части равенства (9.7) при х — оо, а также при х — + — оо стремится к пределу, равному 1. Ясно, что х — ~ оо з при х — оо, а х -+ — оо при х — ~ — оо.
Отсюда вытекает, что з йш /(х) = — оо, 1пп /(х) = оо. /'(х) = Зх + 2рх + д = 3 (х~ + (2р/3)х + о/3~ . В силу свойств пределов, установленных в главе 2, найдется число Кг Е К такое, что /(х) < О для любого х < Кг, и точно так же можно указать число Кз Е К такое, что если х > Кз, то /(х) > О. Отсюда, в частности, следует, что найдутся числа х' и х" такие, что /(х') < О, а /(х") > О.
Функция / непрерывна и потому, как следует из теоремы Коши о промежуточных значениях, найдется х Е яь, лежащее между х и х и такое, что /(х) = О. Таким образом, авнение т етьеб степени всег а имеет по к айней ме о но ве ественное шение. Дифференцируя функцию /, получим: 420 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Итак, пусть РЦ) < О. Имеем: /" (х) = бх + 2р. Производная У" обращается в нуль в точке хе = — —. Более того, У" (х) < 0 при х < хе, 3' а У"(х) > О при х > хе. Это показывает, что точка хе имеет существенное значение для характеристики данной функции У. Именно, функция Х является еогиуглоб в промежутке ( — оо, хо] и выпуклой в промежутке [хс, оо).
Точка Р графика функции /, соответствующая значению х = хс = = — р/3, является точкой верееиба кривой у = /(х). Часть этой кривой, лежащая слева от точки Р, направлена выпуклостью вверх, тогда как ее часть, расположенная справа от Р, направлена выпуклостью вниз. Дальнейшие рассуждения существенно упрощаются, если произвести замену переменной по формуле: х = 4+ хс = 4 — р/3. Геометрически это равносильно преобразованию, состоящему в том, что график фунхции / смещается в направлении, параллельном оси Ох так, чтобы его точка перегиба оказалась лежащей на оси ординат. Положим: /(г — р/3) = Р(4).
Тогда з з Р(4) = 4 — — ) +р~~ — — ) +д((4 — — ) +с=в — р~ + — 4 — — + 3 27 +р 4 — — 4+ — + де — — + т = 4 + Р4+ Я, /, 2р рз~ рд з 3 9) 3 (9.8) где Р=- — +д, Я= — — — +г. рз 2рз рд 3 ' 27 3 Заметим, что коэффициент Р полинома Р(4) = /(Ф вЂ” р/3) РЦ)/3. Согласно предположению, Щ/) < О и, значит, Р < О. равен Положим: р1 = 2р/3, дг = д/3. Поведение функции /, как следует из сказанного в предыдущем разделе, полностью определяется величиной: Ь| = 4дг — рз.
Подставляя сюда выражения для рг и д1, получим: 4д1 — рз = 4д/3 — 4р /9. Из соображений удобства, вместо Ь1 будем рассматривать величину РЦ) = Зд — рз, отличающуюся от Ь1 положительным множителем. Если О > О, то также и Ь1 > О, и, значит, как показано выше при рассмотрении полиномов второй степени, функция /' неотрицательна для всех х б К. Она обращается в нуль, самое большее, — в одной точке. Отсюда следует, что в данном случае функция / является строго возрастающей. Следовательно, если для функции / имеет место неравенство: РЦ) > О, то уравнение (9.6) имеет в точности одно решение.
Наша з ача тепе ь — иссл рвать сл чай Р < О. з 9. Исследование функций методами дифференциальною исчисления 421 Для функции Г имеем: Г'(Ф) = 3гз+Р. Твк как Р < О, то уравнение Г'(Ф) = О имеет два вещественных корня: 11 = — с/ — Р(3> $2 = ~/ — Р/3. Применяя результаты исследования, проделанного выше, для полиномов второй степени, заключаем, что Г'(Ф) > О при Ф < Фг, Г'(8) < О при Ф~ < $ < 1з и, наконец, Г'(Ф) > О при 8 > Фю Отсюда следует, что функция Г является возрастающей, причем строго возрастающей в промежутке ( — оо, й~), строго убывающей на отрезке (г~, $з) и строго возрастающей в промежутке (зз, оо). Видим, что точка Ф~ есть таочка максимума, а 1з — точка минимума функции Г.
График функции Г показан на рис. 33. Рис. 33 Н "ем значения нк ии Г вееточкахэкст м ма Ф и Получим: Г(~,)= ( ) Р +Я= +Я, 3)~ 3 ~ 3 3~ 3 Г(„) =( ~у +Р~ +Я= ~ +Я. 3)~ 3 ~/ 3 3~ 3 Предположим, что Г(йд) > О. Имеем: 1пп Г(Ф) = — оо и, значит, Ф оа найдется М' < 1д такое, что Г(М') < О. Отсюда, в силу теоремы Коши о промежуточных значениях (теорема 4.1 главы 2), следует, что в данном случае уравнение Г(1) = О имеет, по крайней мере, одно значение, лежащее в промежутке ( — оо, $~). 422 Гл. 4. Дифференциальное исчисление Функций одной переменной Так как функция Г в этом промежутке является строго возрастающей, то такое значение 4 — е д и н с т в е н н о.
Допустим, что для функции Г имеет место неравенство: Г(йз) < О. Функция Г является строго возрастающей в промежутке [гз, оо) и при й -+ оо будет Г(4) -+ оо. Кроме того, при сделанном допущении уравнение Г(4) = О имеет решение, лежащее в промежутке [8з, оо), и такое решение единственно. Если Г(41) < О, то уравнение Г(4) = О имеет в точности один корень. Справедливость этого легко усматривается геометрически. А н а л и т и ч е с к и это также нетрудно показать. Так как функция Г является строго возрастающей в промежутке ( — оо,41] и строго убывающей в промежутке [41,4з], отсюда ясно, что Г принимает в точке 41 свое наибольшее значение на промежутке ( — оо, Фз], и, значит, для всех 4 Е ( — оо,4з] выполняются неравенства Г(4) < Г(41) < О.
Поэтому все корни уравнения Г(8) = О лежат в промежутке [4з,оо). В этом промежутке функция Г строго возрастает и, следовательно, уравнение Г(4) = О имеет в нем не более одного корня, а, стало быть, в точности один корень. П положим что Г Г > О. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что функция Г в промежутке [г1, оо) принимает свое наименьшее значение в точке 8з, и, значит, при сделанном предположении, Г(4) > О для всех 4 Е [41, оо).
В промежутке ( — оо, 11] функция Г является строго возрастающей и, следовательно, уравнение Г(4) = О имеет в точности одно решение. Тепе ь ассмот имсл чай ког аГ4 >О аГ4 <О. Принимая найденные выше значения для Г($1) и Г(гз), получим, что данные неравенства равносильны следующим: (О.О) Из условия Г(11) > О, как показано выше, следует, что уравнение Г(4) = О имеет, по крайней мере, один корень, лежащий в промежутке (-оо, 41]. Так как Г(41) > О > Г(4з), то, согласно теореме Коши о промежуточиыя значениях (теорема 4.1 главы 2), уравнение ГЯ = О имеет в промежутке [4м 8з] хотя бы одно решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
