1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Следовательно, хо = х1 = . = х' — в силу предположения индукции и х = х +1 — — х' — в силу строгой выпуклости Х и, значит, хо = х1 = = х„= х„+1. Отсюда следует, что знак равенства в (8.5) имеет место в том и только в том случае, когда все числа х; равны между собой. Теорема доказана. ° 8.2. КРИТЕРИИ ВЫПУКЛОСТИ ФУНК ИИ ° Теорема 8.3. Пусть даны промежуток 1 = (а,5) и функция Х: 1 -+ К.
Предположим, что функция 1 дифференцируема в 1. Если функция Х является выпуклой, то для любых х 6 Х и р 6 Х выполняется неравенство: У(х) > У(р) + ( - р)Х'(р) (8.6) При этом если функция Х вЂ” строго выпуклая, то при х ф р неравенство строгое. Обратно, если функпия Х вЂ” дифференцируема и для любых х Е 1 и р 6 1 выполняется (8.6), то функция Х вЂ” выпукла. При этом если при х ~ р неравенство (8.6) — строгое, то функция Х вЂ” строго выпуклая. Перед доказательством отметим следующее.
3 а м е ч а н и е. Равенство у = Х(р)+(х-р)Х'(р) — это ураенение касательной графика Яункции Х е точке М = (р, 1(р)) (см. и. 2.1). Рагв 386 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Теперь предположим, что У есть функция класса Ю'(1) такая, что для любых х,р Е Х выполняется неравенство: У(х) > У(р)+( -р)У'(р). Зададим произвольно точки хд, хг е 1 и числа Л > О и р > О такие, что Л + д = 1. Положим р = Лхд + рхг. Имеем неравенства: У(хд) > У(р) + (хд — р)У'(р); У(хг) > У(р) + (хг — р)У'(р).
(8.8) Умножая обе части п е р в о г о из этих неравенств на Л и обе части в т о р о г о неравенства на дд и складывая полученные неравенства, в результате будем иметь: ЛУ(хд)+ддУ(хг) > (Л+ дд)У(р)+ [Лхд +ддхг — (Л+ р)р)У(р) = У(р). (89) Так как точки хд Е Х и хг Е1 взяты произвольно, то в ы п у класть функцииУ доказана. Предположим, что при всяком х ф р выполняется неравенство У(х) > У(р) + (х — р)У'(р) (неравенство строгое!). Если хд ~ хг, то р = Лхд+рхг не совпадает ви с одним из чисел хд и хг. Значит, в этом случае каждое из неравенств (8.6) является с т р о г и м. Это позволяет заключить, что (8.9), получаемое отсюда, т а к ж е с т р о г о е. Теорема доказана. ° Следствие.
Дпя того чтобы функция У: (а, Ь) -+ Ж класса Тд'(Х) была вогнутой, необходимо и достаточно, чтобы дпя любых х,р Е Х выполнялось неравенство: У( ) < У(р)+ (х — р)У'(р) Доказательство. Действительно, данное утверждение очевидным образом следует из того, что если функция У вЂ” в о г н у т а я, то функция Уд = — У является в ы п у к л о й. Обратно, выпуклость Уд влечет вогнутость Следствие доказано. Ъ' ° Теорема 8.4. Для того чтобы функция У: 1 = (а, Ь) — К, принадлежащая классу Р~(1), была выпуклой (соответственно, строго выпуклой), необходимо и достаточно, чтобы ее производная быль возрастающей (соответственно, строго возрастающей) функцией.
8 8. Выпуклые функции Доказательство. Необходимое т ь. Пусть 1: 1-+ Весть в ы и у к л а я функция, 1 Е Р (1). Возьмем произвольно точки Х1, хз Е 1 такие, что х1 < хз. Полагая в неравенстве (8.6) х = хз, а р = Х1, получим: 1(хз) ) 1(Х1) + (хз — Х1) 1 (Х1). Полагая в (8.6) х = Х1, а р = Х2, прийдем к неравенству: 2 (Х1) ) 1(Х2) + (Х1 — Хз)Х (Х2).
(А) (в) Складывая полученные неравенства почленно и принимая во внимание, что Х1 — хз = — (хз — Х1), будем иметь: ,Х(хз) + Х(х1) ) Х(х1) + Х(хз) + (х2 — х1)[Х (х1) — Х (х2)]. (С) Отсюда О > (хз — Х1)(У'(Х1) — 1'(Хз)] и, наконец, О > 1 (Х1) — 1 (хз), то есть 1 (хз) > У (х1). У(х) > У(Р) + ( — Р) У'(Р). Зададим произвольно точку р Е Х и для х Е Х положим: и(х) = Х(х) — Х(р) — (х — р) 1 (р). Так как точки хг,хз Е Х такие, что х1 < хз, были взяты произвольно, этим доказано, что функция 1' — в о з р а с т а ю щ а я. Если функция 1 — строго выпукла, то, согласно теореме8.3, каждое из неравенств (А) и (В) — с т р о г о е и, значит, неравенство (С), получаемое из них, т а к ж е является с т р о г и м, то есть функция 1'является строго возрастающей. Необходимость условия теоремы д о к а з а н а.
докажем достаточность. Пусть 1 есть функция класса З~(1). Предположим, что ее производная является возрастающей функцией. Покажем, что для функции 1 выполняется условие теоремы 8.3, то есть для любых х,р Е Х справедливо неравенство: 388 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций анной переменной Очевидно, и(р) = О. функция и, определенная так, принадлежит классу Р~(1).
Для всех х Е 1, очевидно, имеем и'(х) = 1'(х) — 1'(р). Так как функция 1', по условию, в о з р а с т а ю щ а я, то и(х) <Оприх<рии(х) >Оприх>р. Отсюда следует, что функция и является у б ы в а ю щ е й — в промежутке (а,р] и в о з р а с т а ю щ е й — в промежутке [р, Ь). Пусть х Е 1, х ~ р. Если х < р, то и(х) > и(р) = О, в силу того, что функция и является у б ы в а ю щ е й — в промежутке (а,р].
Если же х > р, то О = и(р) < и(х), в силу того, что в промежутке [р, Ь) функция и в о з р а с т а е т. И в том, и в другом случае мы получаем, что 1(х) > 1(р) + (х — р)У (р). Так как точка р Е 1 была выбрана произвольно, то тем самым д о к а з а н о, что для функции У выполнено условие теоремы 8.3 и, следовательно, функция 1 является в ы и у к л о й. Если производная функции 1 является с т р о г о в о з р а стающей функцией,топрих<р и~(х) = 1 (х) — 1 (р) < О, а при х > р будет и'(х) > О. Это позволяет заключить, что функция и является с т р о г о у б ы в а ю щ е й в промежутке (а, р] и с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й в промежутке [р, Ь). И в том, и в другом случае получаем, что при х ф р 1(х) — 1'(р) — (х — р)Х (р) > О, то есть при х ~ р У( ) > У(р) + ( — р)1'(р) На основании теоремы 8.3 отсюда вытекает, что функция 1 является строго выпуклой.
Теорема доказана. ° Следствие 1. Пусть 1: 1 = (а,Ь) — К есть функция класса З~(1). Тогда для того чтобы функция 1" была вогнутой, необходимо и достаточно, чтобы ее производны у"' была убывающей фун«цией. Доказательство — очевидно. 389 З 8. Выпуклые функции Следствие 2. Пусть 1': 1 = (а,Ь) — й есть функция класса З~(1). Для того чтобы функция 1" была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы ее вторая производная У" была неотрнцательна во всех точках интервала (а, Ь). функция 1" является строю выпуклов в том и только в том случае, если ее вторая производная неотрицательна и во всяком интервале (а, 3) С 1 существует точка х, для которой 1 "(х) > О.
Данное предложение следует из теоремы 8.4 и критерия монотонности дифференцируемой функции (см. п. 4.3 этой главы). У Доказанныездесь критерии выпуклости функции относятся к случаю д и ф ф е р е н ц и р у е м ы х функций. В связи с этим заметим, что произвольная выпуклая функция, вообще говоря, можетбыть не дифференцируемой внекоторыхточках промежутка, в котором она определена.
пиала,Фу *ей ~ ~ у ы. В =0 она не имеет производной. 8.3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА АНАЛИЗА Вьшисывая явно неравенство (8.1), определяющее условие выпуклости функции, и неравенство Йенсена для различных конкретных функций, можно получить большое чиспо полезных неравенств. Для доказательства выпуклости рассматриваемых функций мы будем применять результаты предыдущего раздела. ° Теорема 8.5 (неравенство Коши для среднего арифметического и среднего геометрического). Пусть даны числа Л1 > О, Лз > О, ..., Л„> 0 такие, что Л1 + Лз + ° ° ° + Л = 1.
Тогда для любой системы из п неотрицательных чисел х1, хз,..., х„выполняется неравенство: Л1х1+ Лзхз+ + Л„х„> х,'хз~...х„". (8.10) Знак равенства здесь имеет место в том и только в том случае, если хг=хз= . =х„. 3 а м е ч а н и е. Левая часть неравенства (8.10) называется взвешенным средним арифметическим чисел х1, хз,..., х„относительно весов ЛыЛз,..., Л„, правая часть неравенства (8.10) называется взвешенным средним ееометрическим арифметических чисел относительно тех же весов. л1охазательстио теоремы. Предположим, что величины Л;, з = 1,2,..., и, удовлетворяют всем условиям теоремы.
Пусть х1, хз,..., х суть произвольные неотрицательные числа. 390 Гл. 4. Днфференцнапьное исчисление функций одной переменной Если хотя бы одно из чисел х; обращается в нуль, то правая часть неравенства (8.10) обращается в нуль, а левая — неотрицательна, так что в этом случае (8.10) верно. При этом если не все х; равны нулю, то неравенство строгое. Далее будем предполагать, что х; > 0 для каждого ч = 1, 2,..., п. 1 Вторая производная функции х ь — 1пх равна — и, стало быть, хг положительна для всех х > О. Отсюда вытекает, что эта функция в ы п у к л а (и даже с т р о г о в ы и у к л а) в интервале (О, оо).
Применяя к функции х ь — 1пх неравенство Йенсена, получим, что для любых чисел хд > О, хг > О, ..., х„> 0 выполняется неравенство: -Лд1пхд-Лг1пхг — .— Л„1пх„> — 1п(Лдхд+Лгхг+ +Л„х„). (8.11) Отсюда получаем: 1п(Лдхд + Лгхг + . + Л„х„) > Лд 1п хд + Лг 1пхг + .. + Л„1п х„ и далее Лдхд + Лгхг + + Л„х„> хддхг'... х~". Неравенство (8.10) д о к а з а н о. Если х;, д = 1,2,...,и, таковы, что в правой части неравенства (8.10) имеет место равенство, то в силу строгой выпуклости функции х ь — 1пх, отсюда вытекает, что хд = хг = .
= х . Теорема доказана. ° Следствие ь (о неравенстве Юнга). Пусть числа р > 0 и д > 0 таковы, что 1 1 — + — = 1. р я Тогда для любых х Е 2 и р Е й выполняется неравенство, называемое нерве енс те ом Юнга: — + — > хр. ~в ~ ~я (8.12) р я Доказательство.
Это есть ч а с т н ы й с л у ч а й неравенства (8.10) теоремы 8.5, получаемый при и = 2, если взять хд = ~х~"; ч. хг = !р~ч; Лд = —; Лг = — и заметить, что (хр~ > хр. р ч Следствие 1 доказано. 381 З 8. Выпуклые фувкпви Следствие 2. Для любых двух чисел и > О и е > О справедливо равенство: (8.13) Доказательство. Если и = е = О, то доказывать нечего.
Если только одно из чисел и, е равно нулю, то в правой части равенства (8.13) будем иметь степенную функцию переменной 1 с положительным коэффициентом, и ее точная нижнях граница на множестве (О, оо) равна О = ие. Пусть и > О и е > О. Применяя неравенство Юнга (8.12) (см. следствие 1 теоремы 8.5) для х = и1 и у = е/Ф, получим, что для всякого Ф Е (О, оо) имеет место неравенство: и'М е» вЂ” + — > ии. аИ х еР При Ф = —, имеем: и» ив~У и» вЂ” + — = иэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
