1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Этого, очевидно, можно добиться, уменьшая 6, если необходимо. Пусть и — нечетно. Тогда (х — р)" < О при х < р и (х — р)" > О при х > р. Отсюда следует, что для всех х из интервала (р — б,р+ б), отличных от р, величина у(х) — Яр) = А[1+ )3(х)](х — р)" отлична от нуля и по разные стороны точки р принимает значения различных знаков.
Это позволяет заключить, что функция 1 сколь угодно близко от р принимает как значения, большие у(р), так и значения, меньшие У(р), и, значит, р н е м о ж е т б ы т ь ни точкой минимума, ни точкой максимума функции ~. Рассмотрим случай, когда и — четно. Тогда (х — р)" > О для всех х Е К.
При этом если х ф р,то неравенство строгое. Если х Е (р — б, р+ 6), причем х ~ р, то в случае А > О выполняется неравенство у(х) > у(р), а если А < О, то ~(х) < у(р). Это означает, что точка р является точкой строгого минимума функции у при А > О, а если А < О, то р есть точка строгого максимума функции У.
Лемма доказана. ° ° Теорема 7.4. Предположим, что функция У: (а, Ь) — К имеет в промежутке (а, Ь) производную порядка и > 1, и точка р Е (а, Ь) такова, что 1~")(р) ф О и ~~ )(р) = О при из = 1,2,...,и — 1. Тогда: если и — нечетно, то р не является точкой экстремума функции У; если же и — четно, то р есть точка строгого минимума функции у в случае, когда 1~")(р) > О и р есть точка строгого максимума )', если У~")(р) < О.
Доказательство. В силу теоремы о формуле Тейлора с остатпочным членом е форме Пенно (теорема 6.1, и. 6.2), имеем: и (Ь)( ) 1(х) = ~~) ~, (х — р) + о[(х — р) "] при х — + р. Принимал во внимание условия теоремы, получаем: у(п) ) )'(х) = 1(р) + (х — р)" + о[(х — р)"] при х — + р. 379 З 8. Выпуклые функции Отсюда видно, что для 1 выполняются все условия леммы 7.1 с у(п)( ) постоянной А = п! В силу леммы 7.1, отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. м 88.
Выпуклые функции 8.1. Опркдклкник выпуклой функ ии. НкрАвкнство Йкнскнл Пусть 1 = (а, Ь) есть произвольный промежуток в множестве И. Пусть даны точки х1 и хз промежутка 1 и числа Л > О и р > О тахие, что Л+ р = 1. Тогда точка х = Лхг+ рхз лежит между х1 и хз и, значит, принадлежит промежутку 1. Функция 1: 1 — ~ !йназывается выпуклой или выпуклой сверху, если для любых двух точек х1 и хз промежутка 1 и любых двух чисел Л > О и р > О таких, что Л+ р = 1, выполняется неравенство ~(Лх1 + рхз) ( Л~(х1) + р~(хз). (8.1) Если знак равенства здесь имеет место в том и только в том случае, когда хг = хз, то функция 1 называется строго выпуклой или спзрого выпуклой сверху. Функция 1: 1 -+ Ж называется вогнутой функцией или, иначе, выпуклой снизу, если для любых двух точек хг и хз промежутка 1 и любых двух чисел Л > О и р > О таких, что Л + р = 1, выполняется неравенство: 1(Лхг + рхз) > Л1(хг) + р1(хг).
Здесь будет описан некоторый класс функций, определенных на промежутках множества К, а именно, класс выпуклых функций. Понятие выпуклой функции имеет геометрическое происхождение. Концепция выпуклости является одной из фундаментальных в современной математике. Основной результат этою раздела — дифференциальный хрнтернй выпуклости функции. № определения выпуклости непосредственно следует соотношение, называемое неравенством Йенсена. В качестве его следствия мы получаем некоторые другие полезные неравенства. 380 Гл.
4. Лифферевцввльвое исчисление функций одной переменной Если знак равенства здесь имеет место в том и только в том случае, когда х1 = хг, то функция 1 называется строго вогнутой или строго выпуклой снизу. Еслифункция1 — вогнутая, то — 1есть выпуклая функпия, и в ы и у к л о с т ь функции — 1, очевидно, влечет в о гнутость функции1. В силу этого замечания, анализ вогнутых функций сводится к изучению выпуклых функций, и далее мы будем рассматривать только выпуклые функции.
Установим геомет ический смысл понятия вьш клей нк ии. Сначала определим понятие выпуклого множества на плоскости. Множество А на плоскости называется вынунаььн, если для любых двух его точек М1 и Мг отрезок [М1Мг], соединяющий эти точки, содержится в множестве А. Рис.
25 На рис. 25 мы видим пример в ы и у к л о г о множества. На рис. 26 показано некоторое н е в ы и у к л о е множество. Такие элементарные геометрические фигуры, как к р у г, т р е угольник, параллелограмм ит.д. — этопростейшне представители класса в ы п у к л ы х множеств. О к р у ж н о с т ь (именно окружность, а не круг!) есть один из многочисленных примеров н е в ы п у к л ы х множеств.
К о л ь ц о, состоящее из в с е х точек плоскости, лежащих между двумя концентричными окружностями разных радиусов, представляет собой другой пример н е в ы п у к л о г о множества. Зададим декартову ортогональную систему координат на плоскости. Точку, координаты которой х и у, будем обозначать (х, у). Пусть дана функция 1: (а, Ь) — К. Множество всех точек (х, у) на плоскости таких, что х Е 1 = (а, Ь) и у > 1(х), называется надграФином Функции 1.
Обозначим его символом Г+(1). Множество всех точек (х, у) таких, что х Е 1 и у < 1(х), называется иодграфином Функции 1. Обозначим его символом Г (1). 381 З 8. Выпуклые функции Пусть Р есть п о л о с а, состоящая из всех точек плоскости, у которых координата х принадлежит промежутку 1.
Надерафик функции состоит из всех точек М Е Р, лежащих либо на с а м о м графике функции 1, либо в ы ш е его (см. рис. 27(1)). Аналогично, нодерафик функции 1" состоит из всех точек М Е Р, расположенных либо на с а м о м графике, либо н и ж е его (см. рис. 27 (2)). ° Теорема 8.1. Для того чтобы функция 1": (а, Ь) — + И была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы ее надграфик был выпуклым множеством. Доказательство.
Напомним, прежде всею, следующий факт, известный из аналитической геометрии. Пусть М1 = (хм уг) и Мг = (хг,уг) — две произвольные точки на плоскости. Тогда о т р е з о к, соединяющий эти точки, есть совокупность всех точех М = (х, у) таких, что х = Лхг + рхг, у = Луг + дуг, где числа Л и р удовлетворяют условиям: Л > О, р > О и Л + р = 1.
Предположим, что функция 1 — выпукла, и пусть М1 = (х1, у1) и Мг = (хг,уг) — две произвольные точки ее надерафика Г+(1). Соединим точки М1 и Мг отрезком. Требуется доказать, что этот отрезок целиком содержится в множестве Г+ (1). Пусть М = (х,у) есть произвольная точка отрезка [МгМг]. Тогда имеем: х = Лхг + рхг, у = Луг + дуг, где Л > О, р > О и Л+ р = 1. Если Л = О, то М = Мг и, значит, М Е Г+(У). Если р = О, то М = Мд и, стало быть, и в этом случае М Е Г+(1). Будем далее считать, что Л > О и р > О. По условию, хг, хг к 1 = = (а, Ь). Отсюда следует, что х Е (а, Ь).
382 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Согласно определению надграудика, имеем: уд > д (хд), уг > 1(хг), откуда заключаем, что у = Лу +ау > ЛУ(хд)+р~(хг). В силу выпуклости функции 1, ЛХ(хд) + рХ(хг) > Х(Л + р* ) = Х(х). Следовательно, у > 1(х). Этим д о к а з а н о, что М = (х,у) Е Г+(1). Так как М Е [МдМг) взято п р о и з в о л ь н о, то мы, следовательно, получаем, что отрезок (МдМг] содержится в множестве Г+(1).
Тем самым в ы п у к л о с т ь множества Г+(1) установлен а. Предположим теперь, что функция 1 такова, что ее надграудик представляет собой в ы п у к л о е множество. Д о к а ж е м, что тогда функция 1 является в ы и у к л о й. Возьмем произвольно хд,хг Е (а,Ь), и пусть числа Л > О, р > 0 таковы, что Л + дд = 1. Пусть уд = 1(хд), уг = 1(хг). Точки Мд = (хд,уд) и Мг = (хг, уг) принадлежат надерафику функции 1 и, значит, точка М = (х,у), где х = Лхд + ддхг, у = Луд +,иуг, принадлежит Г+(1), то есть ЛДхд) + рУ(хг) = у > У(х) = ~(Лхд + рхг). Так как хд, хг, Л и дд, удовлетворяющие всем указанным вьпие условиям, были взяты произвольно, то тем самым выпуклость функции 1 установлена.
Теорема доказана. ° ° Теорема 8.2 (о неравенстве Йенсена). Пусть дана выпуклая функция 1": 1 -+ И, где 1 = (а, Ь). Тогда для любых точек хо, хд,..., х„ иромежутка1идлялюбых чнселЛ;,4 = 0,1,...,и, таких, чтоЛ; > 0 при каждом д, и Ло+Лд+ ° ° ° +Л„= 1, точках = Лоха+ Лдхд+ ° +Л„х„принадлежит промежутку 1, причем выполняется неравенство, называемое нерав енстпв ом 14 ел сена: У(Лохе+ Лдхд + + Л„хн) < ЛоУ(хо)+ ЛдУ(хд) + .. + Л„~(х„). (8.2) Если функция 1" — строго выпуклая, то знак равенства в (8.2) имеет место в том и тольхо в том случае, когда хо = хд = ° = х„. 383 З 8. Выпуклые функции Доказательство. Теорема доказывается индукцией по н. Пля и = 1 неравенстпво Йенсена следует из определения выпуклой функции. Предположим, что для некоторого дд Е дз теорема доказана, и пусть даны точки хо, хд,..., х„, х„.д.д промежутка Х и числа Л; > О, д = О, 1,..., н,п+ 1, сумма которых равна единице.
Пусть х = Лохо + Лдхд + ° ° ° + Л„х„+ Л„д.дх„.дд. Положим Л'„= = Л„+ Л„+д. Пусть л„ л„+, а= —,; ~3= —,; х =ах +~3х +д. Тогда а > О, ~3 > О, сд + ~3 = 1. Имеем: х = Лохо+ ' + Л~ дх~ — д + Л~(сдхп + /3хи+д) = = Лохо+ .. + Л„дх„д + Л'„х'. Числа Ло,..., Л„д, Л'„все положительны и их сумма, очевидно, равна 1. Точка х' принадлежит Х.
В силу индукционного предположения, точка х = Лохо+ . +Л дх д+Л'„х' также принадлежит промежутку Х, причем имеет место неравенство: У(х) < Ло1'(хо) + Лд Х(хд) + + Л 'Х(х ). (8.3) Х(х') = Х(ах +~3х +д) < сдХ(х )+ Я(х +д) и, значит, Л'„У(х') < Л'„(сдУ(х„) + Я(х„+д)) = Л„У(х„) + Л„+дУ(х„+д). (8.4) Подставляя это выражение в правую часть (8.3), получим: Х(Лохе + Лдхд + + Л х, + Л .ддх .~д) < < ЛоХ(хо) + Лд Х(хд) + + Л~ Х(х„) + Л„д.дХ(х~.~д). (8.5) Согласно индукционному предиоложенидо, в случае, если функция с т р о г о в ы и у к л а и в соотношении (8.3) имеет место равенство, то хо =.
= х„д = х'. В силу вьвтуклости Х, имеем: 384 Гл. 4. Дифференпиельное исчисление функций одной переменной Таким образом, установлено, что если (8.2) верно для некоторого и, то оно о с т а е т с я в е р н ы м, если и заменить на и+ 1. В силу принципа математической индукции, нераеенстео Йенсена (8.2) д о к а з а н о. Предположим, что в соотношении (8.5) имеет место знак равенства. Тогда, как видно из рассуждений выше, посредством которых получено (8.5), равенство имеет место в каждом из соотношений (8.3) и (8.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
