1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 62
Текст из файла (страница 62)
° Лемма 6.2 (лемма об интегрировании асимптотических соотношений). Пусть 1 = (р, а) есть цроизвольвъш интервал н 1': 1 — С— функция, определенная и дифференцируемая в этом интервале. Предположим, что для некоторой точки а Е 1 выполняются равенства 1(а) = 0 и 1'(х) = о[[х — а[ь] прн х — а, где Л > О. Тогда 1(х) = о[[х — а[к+ ] при х -~ а. Доказательство. Рассмотрим отношение У(х) (6.8) [х а[А+1 Требуется доказать, что при х -+ а оно имеет предел, равный О. Так как функция 1 дифференцируема, то она непрерывна в 1, и, значит, при х -+ а справедливо 1(х) -+ 1(а) = О.
Величина [х — а[~+~ также стремится к нулю при х — а. Отношение (6.8), таким образом, представляет собой неопределен- О ность типа —. О Применим первую теорему Лопиталя (теорема 5.1 этой главы), полагая в ней д(х) = [х — а[~+~. Имеем: д'(х) = — (Л+ 1)[х — а[к при 351 'З 6. Формула Тейлора х ( а и д'(х) = (Л+ 1)]х — а]» при х > а. В силу условия леммы, получим: 1пп, = — 1пп У'(х) . У'(х) „=О -о д'(х) а-о (Л + 1) [х — а]" ж а+о д'(х) ж а+о (Л + 1) [х — а]" Отсюда вытекает, что У'(х) 1па, = О.
В силу первой теоремы Лопитпаля, это позволяет заключить, что 11ш = О. ]х — а[ "+' Лемма доказана. ° ° Лемма 6.3. Пусть Х = (р,д) и функция Х: Х -~ С является и- кратно дифференцируемой в промежутке Х, причем для некоторой точки а Е Х будет Х(а) = 0 и лри всяком л = 1, 2,..., и выполняется Х~ "1(а) = О. Тогда Х(х) = о[(х — а) "] лри х — а.
Доказательство. Лемма доказывается индукцией по и. Пусть и = 1. Согласно определению того, чтб значит, что функция Х дифференцируема в точке а (см. п. 1.1), имеем: Х(х) = Х(а) + Х (а) (х — а) + о(х — а) при х -+ а. Отсюда вытекает, что если Яа) = 0 и Х'(а) = О, то У(х) = о(х — а) при х -+ а, так что для и = 1 утверждение леммы в е р н о. Предположим, что для некоторого и Е 1'1 лемма д о к а з а н а и функция Х является (и + 1)-кратно дифференцируемой в интервале Х, причем Х(а) = 0 и для всякого й = 1,2,...,п,п+ 1 справедливо Х~ ~(а) = О. Положим Г = Х'. Функция à — и-кратно дифференцируема в промежутке Х, Г(а) = Х'(а) ='0 и при каждом к = 1, 2,..., и выполняется ГОО(а) = Х1"+~1(а) = О. В силу индукционного предположения, Г(х) = о[(х — а) "] при х — а.
Таким образом, для функции Х имеем: Х(а) = 0 и Х (х) = Г(х) = = о[(х — а)"] при х — ~ а. На основании леммы 6.2, из этого вытекает, что Х(х) = о[(х — а)"+ ] при х -+ а. Лемма доказана. ° 352 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Пусть даны интервал Х = (р, д) и функция 1: Х вЂ” С, п-кратно дифференцируемая в этом интервале. Возьмем произвольно точку а Е 1. Пусть Р есть полипом степени не вьппе п..Будем называть его полиномом Тейлора порядка и функции Х в тонне а, если 1(а) = Р(а) и Х~"~(а) = Р~"~(а) для всякого и = 1, 2,..., и. Пусть Р есть полинам Тейлора порядка и функции Х в точке а. Применяя формулу Тейлора для мноеочленов (равенство (6.5) предыдущего раздела),получим, что Р допускает представление: Р(х) = 1(а) + (х — а) + (. — а) + + (х — а)" = Под производной нулевоео порядка функции, как и ранее, понимается сама функция.
Пусть Р— это полином Тейлора порядка п функции Х в точке а Е 1 = (р, д). Р а з н о с т ь 1(х) — Р(х) = В„(х,а) называется остаточным членом формулы Тейлора. Следующая теорема характеризует поведение остаточного члена формулы Тейлора функции в точке а при х — а. ° Теорема В.1. Пусть даны промежуток 1 = (р,о) и функция 1: 1 — С, и-кратно дифференцируемая в промежутке Х. Тогда при х — + а для всякой точки а Е 1 справедливо асимптотическое соотношение: Х (а) Х" (а) Х(х) = 1(а) + , (х — а) + , (х — а) + .. + , (х — а) + о[(х — а) ]. Х~"~(а) Перед доказательством отметим следующее.
3 а м е ч а н и е 1. Асимптотическое соотношение, устанавливаемое этой теоремой, называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеона. 3 а м е ч а н и е 2. Утверждение этой теоремы означает, что если Р есть полинам Тейлора порядка и функции 1 в точке а Е 1, то 1(х) = Р(х) + о[(х — а)"] при х — + а. 353 6 6. Формула Тейлора 3 а м е ч а н и е 3.
Частный случай формулы Тейлора, соответствующий значению а = О, называется формулой Маклорена. Доказательство теоремы. Предположим, что выполнены все условия теоремы. Пусть Р есть полинам Тейлора порядка п функции 1 в точке а Е 1. Согласно определению полинома Тейлора, это означает, что степень Р не превосходит п, Р(а) = 1(а) и при всяком й = 1, 2,..., п выполняется равенство ~РО(а) = РРО(а). Положим В(х) = 1(х) — Р(х). Функция В, очевидно, и-кратно дифференцируема в промежутке 1. При этом В(а) = 1(а) — Р(а) = О и при каждом к = 1,2,...,п будет В~"~(а) = ~ОО(а) — РРО(а) = О.
На основании леммы 6.3, отсюда следует, что В(х) = о[(х — а) "] при х — а, что и требовалось доказать. ° ° Теорема 6.2. Пусть даны интервал 1 = (р, е) и функция ~: 1 — С. Предположим, что функция 1 является п-кратно дифференцируемой в интервале 1. Пусть Р есть поливом степени не вьппе и. Если для некоторой точки а Е 1 выполняется соотношение ~(х) = Р(х)+о[(х — а)") пря х — а, то Р есть поливом Тейлора порядка п функции 1 в точке а. Доказательство. Пусть функция 1 и полинам Р удовлетворяют всем условиям теоремы.
Обозначим через Ре полипом Тейлора порядка и функции 1" е точке а. Тогда, согласно теореме 6.1, 1(х) — Ре(х) = о[(х — а)") при х — а, то есть ~(х) — Р.(х) (х — а)" По условию, при х -+ а имеем: 1(х) — Р(х) = о[(х — а)"). Это означает, что ~(х) — Р(х) х л (Х вЂ” а)н Отсюда, очевидно, следует, что при х — а Р(х) — Ре(х) О. (х а)н Разность Р— Ре есть иолином стаеиени не еьпие п и, значит, согласно лемме 6.1, Р(х) — Рд(х) = О и Р(х) = Ре(х). Теорема доказана.
° 354 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 6.3. О кыки остаточного члкнА еормулы ТкйлорА Теорема 6.1 дает некоторую характеристику поведения разности между функцией и ее полиномом Тейлора порядка и в точке а при х — + а. Из этой теоремы, однако, невозможно извлечь какую-либо информацию о величине этой разности на всей области определения функции или хотя бы в какой-либо фиксированной окрестности точки а. Здесь мы докажем теоремы, которые позволяют получать информацию такого рода. При этом приходится налагать на изучаемую функцию требования, более ограничительные по сравнению с теоремой 6.1.
° Лемма ВА (основная лемма). Пусть даны интервал 1 = (р, 9) н функция 1: 1 — + С, принадлежащая классу Р"+ в промежутке 1. Зададим произвольно точку х Е 1 н положим: (6.9) Тогда функция г„переменной Ф Е 1 днфференцнруема в промежутке 1 и для всех Ф Е 1 имеет место равенство: (6.10) ляохазательстио. Пусть функция 1 удовлетворяет всем условиям леммы. Так как, по условию, У Е Р"+, то каждое из слагаемых в правой части (6.9) дифференцируемо, как функция переменной Ф. Дифференцируя выражение для г„почленно, получим: При )с > 0 имеем: Производная слагаемого в правой части (6.9), соответствующего значению й = О, равна 1'(Ф). Отсюда получаем: 355 З б.
Формула Тейлора Принимая в первой сумме за индекс суммирования величину з = й + 1 и меняя затем обозначения, получим: П е р в а я сумма справа отличается от второй единственным слагаемым, а именно тем, номер которого равен и + 1. Так как остальные слагаемые входят в первую и во вторую суммы с р а з н ы м и знаками, то после сокращения подобных членов мы получим: что и требовалось доказать. ° Основной ез льтат этого аз ела с о м ли ем в в х ва иантах: пе вый относится к сл чаю нк й со значениями в С вто ой касается ве ественных нк й.
° Теорема В.З. Пусть 1 = (р, а) и 1: 1 -+ С есть функция класса Ю"+ в промежутке 1. Зададим произвольно число Л такое, что 1 < Л < п + 1, и пусть х и а суть точки из промежутка 1. Положим: Яу„~(х,а) = зпр (1 — д)" "+'Ц'"+Ц(а+д(х — а)]~. о<я<~ Тогда: 1) имеет место неравенство: Бу,а,~(х, а) ] Лп! 2) в случае, когда ~ есть вещественная функция, найдется такая точка д Е (0,1), что У~")(а) ( ь (1 — д)" "+'У~"+Ц(а+ д(х — а)] „+, Лоипзательство.
1) (П е р в ы й в а р и а н т.) Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно точку а Е 1, и пусть х Е 1. 356 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной т„(а) т„(а) т„(х) — т„(а) ]х — а]л у(а) д(х) — д(а) Отношение производных функций т„и д в произвольной точке С, заключенной между а и х, то есть такой, что либо а < с < х, либо а>С >х,равно у(и+1)(д( ~)и оЛ]х 4]л-лп! где о = -1 при х < а и о = 1 при х > а.
Положим с — а = В. х — а Тогда, как легко проверяется, О < В < 1. Имеем: С = а+ В(х — а), х — С = (1 — В)(х — а) и, значит, т„'(с) (1 — В)" ~+~~!"+~!(а+ В(х — а)](х — а)" д'Ы) откуда следует, что Л] — а]л и! ! т„(~) Бань»(х, а) ] ] -л+л д~(~) 1 — Лп! для всякого С, заключенною между х и а. В силу теоремы Коши об оценке приращения для комплексных !Вднкпиб (следствие 3 теоремы 4.3), отсюда вытекает, что ! т (а) ~ ти(х) — т (а) ~ < отпил(х,а)] ] л+л ]х — а]л ~ д(х) — д(а) ~ Лп! и, следовательно, ], (а)] < Бань»(х,а)]х а]„+ Таким образом, для случая комплексных функций все д о к а з а н о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
