1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Значения функции У принимаются за приближенные значения исходной функции. В качестве таких приближающих функций обычно выбираются полиномы. В этом параграфе изучается хонструкция для построения близких к функции полиномов, основанная на следующем принципе. Полипом Р считается близким порядка п к функции 1', если в некоторой точке хо Е 1 выполняетсяравенство Яхо) = Р(хо) и значения всех производных полинома Р порядка не выше и равны значениям в точке хо соответствующих производных данной функции.
При этом предполагается, что степень полинома не превосходит и. Такой полипом мы называем полиномом Тейлора порядка и функции 1" в точке хо. Далее устанавливаются некоторые оценки разности между функцией и ее полиномом Тейлора в точке хо. Сначала исследуется поведение указанной разности при х, стремюцемся к хо. Затем выводятся некоторые представления для разности функции и ее полинома Тейлора, позволяющие оценить, сколь мала эта разность во всем промежутке, где определена функция. Полиномы Тейлора являются эффективным средством для построения приближенных представлений функций, удобных для вычислений. 6.1, НЕКОТОРЫЕ СВЕЛЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ ОЛНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Функция Р: Ж вЂ” + С называется полиномом степени не выше и, если существуют комплексные числа ао, аз,..., а, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что для всех х Е 2 выполняется равенство: Р(х) = ао + азх + ° ° + а„х" = ~ аьх э=о (6.1) Числа аь, где к = О, 1,..., и, называются коэдврициентами полинома Р.
Равенство (6.1) называется каноническим представлением поли- нома Р. Говорят, что степень полинома Р равна и, если коэффициент а„в равенстве (6.1) отличен от нуля. Степень полинома Р(х) обозначается символом: дея Р. Если Р есть полипом степени не вьппе и и т ) и — целое число, то Р является также полиномом степени не выше т, поскольку, полагая а +~ = а„+з = . = а = О, равенство (6.1) можно записать также в следующей форме: 346 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Функция, тождественно равная и о с т о я н н о й, отличной от нуля, является полииомом, степень которого равна нулю.
Функцию Р, тождественно равную нулю, также будем считать полииомом. В этом случае полагаем: бей Р = — оо. Отметим некото ые с в о й с т в а полиномов. 1. Пусть Рг, Рз,..., Р— произвольные полиномы степени не выше и. Тогда для любых чисел ЛыЛз,...,Л функция ЛгРг+ЛгРз+ .+Л,Р, есть полипом степени, не превосходящей и. 11. Пусть даны полиномы Р,, г' = 1, 2,..., т, причем степень Р; не превосходит п;. Тогда произведение РгРз...Р есть полипом степени не вьппе (6.2) и = из + пз + ' ' ' + пят.
' Действительно, если хотя бы один из полиномов Р; тождественно равен нулю, то и все произведение Р~Рз... Р тождественно равно нулю и, стало быть, есть полипом, степень которого равна — оо. В этом случае и сумма (6.2) равна — оо. Будем считать, что ни один из полиномов Р; не обращается в нуль тождественно. Пусть Р;(х) = айо + аьгх + + а;,,х"*', 1 =1,2,...,т, есть каноническое представление полииома Ро Перемножая почленно данные представления полиномов Р;, получим, что их произведение есть сумма конечного числа слагаемых вида .ь1+ь2+"'+ьпх аць,аз,ь,...а,ь х 1 П1.
Пусть Р есть полинам степени не вьппе п, где п ) О. Тогда, каково бы ни было вещественное число а, полипом Р может быть, и притом единственным способом, представлен в виде: Р(х) = Ье + Ь|(х — а) + + Ь (х — а)". (6.3) где й; < и, при всяком в' = 1, 2,..., т. Каждое из этих слагаемых есть полипом степени ие выше и = пз + пз +... + п . Отсюда следует, что их с у м м а есть полинам степени не выше п, что и требовалось доказать. 347 З 6.
Формула Тейлора Коэффициенты Ь;, з' = О, 1,..., и, определяются по точке а Е К и папиному Р следующими равенствами: Р~ ~(а) Ьо = Р(а), Ьь =,, 1с = 1,2,...,п. (6.4) 3 а м е ч а н и е. Равенство (6.3) называется разложением полинома Р по степенян х — а. Лодазательстно 111. Сначала установим существование представления вида (6.3) для произвольного полинома Р степени не выше и, где п > О. Пусть Р есть полинам степени не вьппе и, п > О. Зададим произвольно точку а Е К. функция $ Е К ~ Ф+ а есть полипом степени не выше 1.
В силу предложения 11, для любого целого т > О функция й Е К ~-+ (1+ а) является полиномом степени не выше т, как произведение т полиномов не выше первой степени. Пусть Р(х) = по+ азх+ . + а х" = ~) аьх есть каноническое я=о представление полинома Р. Имеем: в Р(1+а) =по+а~(1+а)+ +а (1+а)" = ,'~ аь(1+а)" в=о Рг(Ф) = 2 Ььй я=о естьего каноническое представление. Полагая здесь | = х — а и замечая, что Рг(х — а) = Р(х), получаем следующие равенства: Р(х) = ,'~ Ьь(х — а)" = Ьо + Ьз(х — а) + ° ° + Ь„(х — а)" я=о для всех х Е Й, и с у щ е с т в о в а н и е требуемого представления полиномаР установлено.
для всех 8 Е Ж, откуда следует, что Рг(Ф) = Р(~+а) есть полипом степени не выше и. Пусть 348 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функднй одной переменной Д о к а ж е м, что коэффициенты Ьь в (6.3) по данному числу а Е К для полинома Р определяются единственным образом. В равенстве (6.3) положим х = а. Тогда все слагаемые, номера которых больше О, обратятся в нуль и мы получим в результате равенство: Р(а) = Ьв. Видим, что коэффициент Ьо однозначно определяется по полиному Р. При всяком целом и > О функция х ~ (х — а)" имеет производные всех порядков. При этом т(т — 1)...
(т — т+ 1)(х — а) при т < т; 11'((х — а)™) = О при т > п1. Дифференцируя равенство (6.3) почленно, в силу последнего равенства, получим, что в случае т > и справедливо Р~"~(х) = О, а при т < п будем иметь: Р~'~(х) = ~~ Ььй(й — 1)... (й — т+1)(х — а) ь=т Положим здесь х = а. В этом случае все те слагаемые справа, номера которых больше т, обратятся в нуль. Отсюда следует, что Р~" ~(а) = Ь„т(т — 1)... 1 = т! Ь„, и, значит, Р~'~(а) Ь,= т! РОВ (а) Р(х) = ~~~, (х — а)~. (6.5) Под производной нулевого порядка функции в этой записи понимается с ам а функция, то есть мы полагаем здесь Р~ ~(а) = Р(а). Равенство (6.5) называется формулой Тейлора для полнномов.
Таким образом, мы установили, что коэффициенты дь в равенстве (6.3) определяются полиномом Р, как функцией в К, единственным образом. Предложение 111 д о к а з а н о. Подставляя выражения для коэффициентов дь, которые даются равенством (6.4), в (6.3), получим: 349 З 6. Формула Тейлора В случае а = О разложение полинома по степеням х — а превращается в его каноническое представление. Из доказанного, следовательно, вытекает, что каноническое представление полинома о д н о з н а ч н о определяется полиномом, как функцией на множестве К, и может быть записано следующим образом: (6.6) Формула (6.6) называется также формулой Маклорена для полинома Р(х).
° Лемма 6.1. Пусть Р есть полинам степени не выше и. Тогда если Р(х) = о[(х — а)"] при х -+ а для некоторой точки а Е И, то полипом Р тождественно равен нулю. Доказательство проведем индукцией по и. Пусть п = О. В этом случае Р(х) = Ао, где Ао Е С. Условие леммы в данном случае означает, что Р(х) = о(1) при х — ~ а, то есть 1пп Р(х) = О. Имеем: йш Р(х) = Ао и, значит, Ао = О и Р(х) = О. х а х а Для случая и = О лемма д о к а з а н а. Предположим, что для некоторого п > О справедливость утверждения леммы установлена.
Пусть Р есть полинам степени не выше и+ 1 такой, что Р(х) = = о[(х — а)"+~) при х — + а. Пусть Р(х) =Во+Вг(х — а)+ +В (х — а)" +В +гх"+ (6.7) есть разложение Р(х) по степеням х — а. Равенство (6.7) перепишем следующим образом: Р(х) = Во+ (х — а)Рг(х), где Рг(х) = В1+ +В„(х — а)" 1+В +д(х — а)" — полинам степени не выше и.
Из условия: «Р(х) = о[(х — а) "+~~ при х — + аз следует, что Р(х) — + О при х — ~ а и, значит, Во = 1пп Р(х) = О. х а Из предположения, сделанного относительно полинома Р, вытекает, что Р(х) = (х — а)Рг(х), где Р1 — полинам степени не выше и. Отсюда получаем, что Р(х) Р1 (х) (х а)п+1 (х а)х 350 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций слвой переменной Так как, по условию, Р(х) = о[(х — а)"+1] при х — а, то 1пп = О (х — а) "+1 и, следовательно, (х — а)'* то есть Р1(х) = о[(х — а)"] при х -+ а. Так как, по предположению, для полиномов степени не выше и утверждение леммы в е р н о, то из соотношения Р1(х) = о[(х — а)"] при х — + а следует, что Р1(х) = 0 и, стало быть, Р(х) = О. В силу принципа математической индукции, лемма доказана.
° 6.2. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ Н ФОРМЕ ПЕАНО Здесь мы докажем, что если функция, определенная на некотором промежутке, имеет в нем производную порядка и, то вблизи всякой точки хе этого пРомежУтка 1(х) отличаетск от некотоРого полинома степени не выше и на величину порядка о([х — хе[") при х — хе. Предварительно докажем следующее предложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
