1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Отсюда следует, что в этом случае 1'(хо) < О. Точка хо Е 1 взята произвольно и тем самым д о к а з а н о, что производная функции Хнеотрицательна, если функция 1 возрастающая, и неположительна, если функция 1 — убывающая. Необходимость условия теоремы установлена. Покажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что функпия 1: 1 — К непрерывна и в каждой точке х Е (а, Ь) дифференцируема. Пусть х1, хг — две произвольные точки промежутка Х такие, что х1 < хг. Тогда всякая точка х такая, что х1 < х < хг, принадлежит, очевидно, интервалу (а, Ь) и, значит, функция 1 — дифференцируема во всех точках интервала (х1, хг).
На основании теоремы Лагранжа о среднем значении (см. следствие 1 теоремы 4.3), найдется С такое, что х1 < ( < хг, и У(хг) — У(х ) = Х'(с)(хг — * ). (4.3) Если производная 1'(х) во всех точках интервала (а, Ь) неотрицательна, то из (4.3) следует, что в этом случае 1(хг) — Х(х1) > О, откуда ,1 (х1) <,1 (хг) Так как точки х1, хг Е 1 такие, что х1 < хг, взяты произвольно, то тем самым д о к а з а н о, что функция 1 в данном случае является возрастающей. Если Х'(х) < О для всех х Е (а, Ь), то равенство (4.3) позволяет заключить, что в этом случае Дх1) > Дхг) для любых х1, хг Е Х таких, что х1 < хг, то есть функция У является убывающей.
328 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Достаточность условия теоремы тем самым также установлена. Теорема доказана. И Следствие. Пусть функция Х: (а, Ь) — К непрерывна и дифференцируема в каждой точке х Е (а, Ь). 1) для того чтобы функция Х была строго возрастающей в промежутке 1 = (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрнцательна н в каждом интервале (а,Д) С 1 содержалась точка 4 такая, что Х (с) > О; 2) для того чтобы функция Х была строго убывающей в Х, необходимо н достаточно, чтобы ее производная была неположительна и во всяком интервале (а„В) С 1 можно было указать точку С такую, что У'(с) < О. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь.
Предположим, что функция Х: Х вЂ” ~ К является строго возрастающей. Тогда, согласно теореме 4.5, ее производная всюду неотрицательна. Пусть дан произвольный интервал (а, б) С 1. Так как функция Х строго возрастающая, то Х(а) < Уф). По теореме Лаераижа о среднем значении (следствие 1 теоремы 4.3),найдется точка ( такая, что а < С < р',и Так как Х(б) — Х(а) > О, Д вЂ” а > О, то Х'(~) > О и, таким образом, д о к а з а н о, что в интервале (а, р) существует точка С такая, что Х'(~) > О. Если функция Х строго убывающая, то точно так же доказывается, что в любом интервале (а,б) С Х найдется точка 4, для которой Х'(~) < О.
Необходимость условия следствия установлена. Докажем достаточность. Пустьфункция Х:1- 14 непрерывна в промежутке 1 = (а, Ь) и дифференцируема в интервале (а, Ь), причем ее производная неотрицательна, и во всяком интервале (а, р) С 1 имеется точка С такая, что Х'(~) > О. Требуется доказать, что функция Х является с т р о г о в о з р ас т аю щей. Так как функция Х(х) — н е о т р и ц а т е л ь н а, то, в силу теоремы 4.5, функция Х вЂ” в о з р а с т а ю щ а я. Предположим, вопреки доказываемому, что Х не является строго возрастающей. Тогда найдется пара точек хг, хз Е 1 такая, что хз < хз и Х(х~) = Х(хз). Так как Х есть возрастающая функция, то для любого х, лежащего между хз и хз, имеем: У( ' ) < У(х) < У(хз) 329 З 4.
Теоремы о среднем значении и поскольку 1(хг) = У(хг), то 1(х) = 1(хг) = 1(хг) для всех х Е (хг,хг) Функция У, таким образом, на отрезке (хг, хг) п о с т о я н н а. Отсюда следует, что 1 (х) = О для всех х Е (хг,хг). Это, однако, противоречит тому, что, согласно условию, существует точка с Е (хм хг) такая, что 1'(с) > О.
Полученное противоречие д о к а з ы в а е т, что если хг < хг, то 1(х~) < 1(хг), тоесть | является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й функцией. Аналогично устанавливается д о с т а т о ч н о с т ь условия того,чтофункция 1 — строго убывающая. Следствие доказано. я 4.5. ОслАнлкнный кгиткгий монотонности функ ии 4.5.1. Далее мы покажем, что условия критерию монотонности функнин, который содержится в теореме 4.4, в некоторых случаях могут быть ослаблены. (Результат, доказываемый здесь, будет использован далее при изучении понятия интеграла, см. далее п.
1.3 главы 5.) Введем некоторую вспомогательную функцию и, полагая для х Е К е* 1 ех+ 1 1+ е — и' (4.4) Таккакх~-+1+е *есть строго убывающая функция, то функция и является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й. Имеем: п(х) -+ О при х — ~ — оо и п(х) — 1 при х — оо. Полагаем: и(-оо) = О, п(оо) = 1. (4.5) Функция и, определенная равенствами (4.4) и (4.5), имеет областью определения множество Й и является непрерывной в каждой точке х Е Й. Функция и дифференцируема в интервале ( — оо, оо) = К. При этом для вснк х Е К сх " (х) ( и + цг > О' (4.6) ° Теорема 4.6.
Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) С Й и функция 1": 1 — + К. Предположим, что функция 1" непрерывна и существует не более чем счетное множество Е С (а, Ь) такое, что в каждой точке х Е (а, Ь) ~ Е функция 1 имеет левую производную. Тогда: если в каждой точке х ф Е справедливо Д(х) > О, то функция 1" является возрастающей; ззо Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной если же в каждой точке х ф Е выполняется )'~'(х) < О, то 7" есть убывающая функция.
3 а м е ч а н и е. Утверждение теоремы также остается верным, если в ее формулировке вместо левой производной рассматривать правую. Доказательство теоремы. Докажем, что если производная Д(х) — неотрицательна при каждом х Е (а,б), не принадлежащем Е, то функция 1 является возрастающей. Предположим сначала, что функция 7" удовлетворяет более сильному условию, а именно, — в каждой точке х Е (а,б) 1 Е л е в а я производная Д(х) функции 7" — не только неотрицательна, но и отлична от нуля, то есть Л (х) > О для всех х Е (а, о) ~ Е. Возьмем произвольно точки хм хг б Х такие, что х1 < хг.
Требуется доказать, что 7(х1) < ((хг). Предположим, напротив., что 7(хх) > 7"(хг). Пусть А = 7"(Е), По условию, множество Е не более чем счетно. Согласно предложению 7.2 главы 1, для любого отображения образ не более чем счетного множества всегда есть не более чем счетное множество и, значит, А не более чем счетно. Пусть числа р и д таковы, что 7(хг) < р < д < ((хх). Согласно теореме 3.4 главы 2, промежуток ]р, д] представляет собой несчетное множество и, значит, найдется, по крайней мере, одно значение Й Е [р, д], не принадлежащее А.
Функция ф: х 7'(х) — (с — непрерывна. При этом ф(х1) = 7" (х1)— — (с > д — а > О, а ф(хг) = 7'(хг) — а < р — а < О. По теореме Хоши о разрешимости уравнения 7"(х) = О (теорема 4.1 главы 2), найдется точка с Е (хм хг) такая, что 4(с) = О, и ~(х) > О при хх < х < с (см.
рис. 21). (хс ((х,р (х О саЕ х, х, Рис. 2( Имеем: 1(с) = й. Точка с не принадлежит множеству Е, ибо в противном случае точка л была бы элементом множества А = 7" (Е), что противоречит выбору л. З 4. Теоремы о среднем значении Так как с ф Е, тофункдия 1 имеет в точке с левую производную, причем, согласно предположению, Д(с) > О.
Имеем: Д(х) — Х(с) > О и х — с < О при хз < х < с. Отсюда вытекает, что для всех х Е (хы с) 1(х) — 1(с) Переходя в этом неравенстве к пределу при х, стремящемся к с слева, получим: Д(с) < О. Это, однако, и р о т и в о р е ч и т тому, что, по условию, Д(с) > О. Итак, допустив, что для данных точек хм хг имеет место неравенство 1(х1) > 1(хг), мы пришли к противоречию и, следовательно, 1(х1) < Х(хг).
Так как точки х1 и хг такие, что х1 < хг, были взяты произвольно, то тем самым нами доказано, что 1 является в о з р а с т а ю щ е й функцией, — пока, однако, только в предположении, что при каждом х Е (а, б) ~ Е производная Д(х) отлична от нуля. Тепе ь освобо имея от этого и положения. Зададим произвольно 4 > О. Положим 1 = 1+ й~. В каждой точке х б (а,б) ~ Е функция Х имеет л е в у ю производную.
При этом Д(х) = Д(х) + 4О~(х) > О. В силу доказанного, функция 1 является в о з р а с т а ю щ е й. Возьмем произвольно точки хг Е 1 и хг б Х такие, что х1 < хг. Имеем: У(х1) + гп(х1) = Х(х1) < Х(хг) = Х(хг) + Фп(хг). (4.7) Здесь г > Π— п р о и з в о л ь н о.
Переходя в (4.7) к пределу при $ — ~ О, получаем: Дх1) < 1(хг) и тем самым у с т а н о в л е н о, что функция Х является возрастающей. Предположим, что Д(х) < О для всех х Е (а,б) ~ Е. Положим д = — Х. Тогда д,'(х) = — Д(х) > О для всех х Е (а,б) ~ Е и, значит, функдия д является в о з р а с т а ю щ е й. Отсюда следует, что в данном случае функция 1 = — д — у б ы в а ю щ а я. Теорема доказана.
И Справедливость замечания, предшествующего доказательству теоремы, устанавливается применением результата теоремы к функдии д(х) = 1( — х). Мы предоставляем читателю рассмотрение всех деталей. Следствие 1. Пусть даны промежуток Х = (а, б) н непрерывная функция 1: 1 — 2. Предположим, что существует такое не более чем счетное множество Е С (а, б) = 1', что в каждой точке х Е 1' ~ Е будет Д(х) = О. Тогда функция 1 является постоянной в промежутке 1. 332 Гл. 4.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Доказательство. Действительно, пусть Х удовлетворяет условиям следствия. Тогда получим, что для всякой точки х Е 1' 1 Е о д н о в р е м е н н о Д(х) > О и Д(х) < О. Значит, согласно теореме 4.6, функция Х является о д н о в р е м е н н о в о з р а с т аю щ е й и у б ы в а ю щ е й и, следовательно, для любых х1,хз Е 1 справедливы неравенства: Х(х1) < Х(хг) и Х(х1) > Х(хз). Отсюда следует, что Х(х1) = Х(хз). Фиксируем произвольно хе 6 Х. Тогда, полагая х1 = х, хз = хе, получим, что для всякого х Е 1 выполняется равенство Х(х) = Х(хе). Это и означает, что функция Х вЂ” п ос т о я н н а на множестве 1.
Следствие 2. Пусть даны промежуток Х = (а, Ь) С Й и функция Х: 1 — + К. Предположим, что функция Х непрерывна и существует не более чем счетное множество Е С (а, Ь) такое, что в каждой точке х Е (а, Ь) 1 Е функция Х имеет левую производную, причем для всякого х ф Е справедливо Х,'(х) > О и для любого интервала (о„б) С 1 существует точка ~ Е (о, ~3) такал, что С ф Е и ДЯ) > О. Тогда функция Х является строго возрастающей. Если и каждой точке х ф Е справедливо неравенство Я(х) < О и во всяком интервале (а,р) С 1 существует точка С Е (а, р) такал, что С ф Е и ЯЯ < О, то Х есть строго убывающая функция. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
