1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Предположим, что функция Х непрерывна и для всех х Е (а, Ь) 1.Е (Е не более чем счетно) Х,'(х) > О и во всяком интервале (о, ~3) С 1 существует С ф Е такое, что У,'(ф) > О. Из теоремы 4.6 следует, что Х вЂ” в о з р а с т а ю щ а я функция. Предположим, что Х не является строго возрастающей.
Тогда найдутся точки хыхз Е 1 такие, что х1 < хз и Х(х1) = Х(хз). Для всякого х Е (хм хе) имеем: Х(х1) < Х(х) < Х(хз) и, значит, функция Х в промежутке (хы хз) — п о с т о я н н а., Отсюда вытекает, что Х (х) = О для всех х Е (х1, хз). Это, однако, п р о т и в о р е ч и т тому, что в интервале (хы хз), согласно условию, существует точка С такая, что Д(~) > О.
Итак, допустив, что функция У не является строго возрастающей, мы получаем п р о т и в о р е ч и е. П е р в о е утверждение следствия тем самым д о к а з а н о. В т о р о е утверждение доказывается аналогично. Следствие 3. Если функция Х: 1 — К непрерывна в промежутке Х = (а,Ь) С В идифференцируемав интервале (а,Ь) иХ (х) = О для всех х Е (а, Ь), то функция Х постоянна на множестве 1. Данное утверждение есть очевидный частный случай каждого из следствий 1 и 2.
~ 4. Теоремы о среднем значении В качестве примера на приложение теоремы 4.6 приведем доказательство оценок приращения функции, полученных ранее как следствия теоремы Коши о среднем значении (см. теорему 4.3). ф Предложение 4.1. Пусть 1 = [а,Ь], 1: 1 — й, д: 1 — 2 — непрерывные функции, каждая из которых имеет в (а, Ь) конечную левую производную всюду, кроме точек, образующих не более чем счетное множество. Предположим, что производная д~(х) неотрицательна в промежутке (а, Ь) и существует число К Е К такое, что Ях) < Кд[(х) (Ях) > Кд,(х)) для всех х Е (а, Ь), исключая точки, образующие не более чем счетное множество. Тогда имеет место неравенство: 1(Ь) — 1(а) < К(д(Ь) — д(а)) (соответственно, неравенство: 1(Ь) — 1(а) > К(д(Ь) — д(а)). Доказательство.
Пусть неравенство 1'(х) < Кд'(х) выполняется в основном в промежутке (а, Ь). Тогда функция Г: х 1(х) — Хд(х) непрерывна и Г'(х) < 0 в промежутке (а, Ь) в основном. Отсюда, в силу теоремы 4.6, следует, что функция Г является убывающей в промежутке [а,Ь], и, следовательно, Г(а) < Г(Ь), то есть ~(Ь) — Кд(Ь) < У(а) — Кд(а), откуда 1(Ь) — 1(а) < Кд(Ь) — Кд(а) и неравенство, относящееся к случаю, когда Ях) < Кд,'(х), доказано.
Второе неравенство доказывается аналогичным образом. Предложение доказано. Ф 4.5.2. Сл стане 1 тео емы4.6 позволяет найти все ешения некото ых и е ен альных авнений ассмот енных в п. 2.4 этой главы. Сначала рассмотрим уравнение: х (Ф) = Йх(г), (4.8) где й — постоянная. Любая функция х(~) вида х(Ф) = Ае"', очевидно, является решением этого уравнения. Докажем, что других решений данное дифференциальное уравнение не имеет. Для этого достаточно установить, что если х($) есть решение уравнения (4.8), то функция х(Ф)е "' является постоянной.
334 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Итак, пусть функция х(В) определена и непрерывна в промежутке (а, Ь) С И и дифференцируема в каждой точке интервала (а, Ь). Рассмотрим вспомогательную функцию у(В) = х(В)е '. Имеем: д (В) = е ~~х~(В) — Йе ~~х(В) = е ~[х (В) — Йх(В)] = О. Мы получаем, таким образом, что производная функции р(Ф) тождественно равна нулю. Следствие 1 теоремы 4.6 позволяет заключить, что эта функция постоянна в промежутке (а, Ь), и, значит, х(В) = Се~' для всех $ из этого промежутка. Таким образом, доказано, что если функция х(В) удовлетворяет в промежутке (а, Ь) дифференциальному уравнению (4.8), то она задается формулой: (~) Аеы где А — постоянная.
(Полагая х(й) = пз(й), А = то, получим формулу (2.16) в и. 2.4.) Пусть функция х(й) определена и непрерывна в промежутке (а, Ь), имеет вторую производную в каждой точке Ф Е (а, Ь) и удовлетворяет дифференциальному уравнению: х' (В) = Йх(Ф), Й ~ О. (4.9) УВВ.В~ случаю 1) Й)Ои2) Й(О. Рассмот им п е в ы й сл чай. Положим Й = Лз. В результате уравнение принимает вид: х" (1) — Лзх(Ф) Нетрудно видеть, что функции сЬЛФ и зЬЛФ удовлетворяет этому уравнению. Отсюда следует, что также и любая функция вида: АсЬ Л$ + В зЬ Л$ также является решением данного уравнения. Покажем, что других решений данное уравнение не имеет. Если х(М) = АсЬЛФ+ВзЬЛ~, то х'(й) = ЛАзЬЛМ+ЛВсЬЛФ. Из этих равенств следует,что АЛ = х(й) сЬ ЛФ вЂ” х'(Х) зЬ Л1, ВЛ = -Лх(й) зЬ Лй + х'(М) сЬ Лй.
335 З 4. Теоремы о среднем значении Предположим теперь, что х(4) есть произвольная функция, удовлетворяющая уравнению (4.9) в промежутке (а, Ь) для случае й = Лг > О. Введем вспомогательные функции: иЯ = Лх($) сЬЛФ вЂ” х (4) вЬЛФ, е(4) = — Лх(4) яЬЛ4+ х (й) сЬЛ4. Покажем, что каждая из эти функций тождественно постоянна в промежутке (а, Ь). Имеем: и'(й) = Лх'(4) сЬ ЛМ + Л~х(4) зЬ Л4 — х" (4) вЬ Л4 — Лх'(М) вЬ ЛФ. Замечая, что х" (4) = 7сх(й) = Л~х(4), после очевидных преобразований получим, что и'(1) = О. Отсюда следует, что функция и в промежутке (а, Ь) — постоянна, и и($) = С1 Е Ж.
Аналогичным образом устанавливается, что также и е'($) = О для всех 4 Е (а, Ь), и, значит, е($) ив в Сг е К. Решая систему уравнений Лх(в) сЬЛ4 — х'(Х) вЬЛФ = См — Лх(Ь) вЬЛФ+ х'(М) сЬЛг = Сг относительно х(4) и х (М), получим: х(й) = АсЬЛХ+ ВзЬЛХ, С1 Сг где А = —, В = —, А и  — постоянные. Л' Л' Пля случая 1) общий вид решения уравнения (4.9), таким образом, установлен. Рассмот им в т о о й сл чай.
Предположим теперь, что х есть решение уравнения (4.9), соответствующее случаю й = -Лг ( О. Определим вспомогательные функции и(Ф) и е(8), полагая: и(4) = Лх(Ф) совЛй — х'(4)яшЛ4, е(4) = Лх(Ф) зшЛЬ+ х (М) созЛФ. После простых преобразований получим: и'(М) = О и е'(4) = О для всех й Е (а, Ь) и, значит, и(Ф) = С1 Е И и е(М) = Сг Е К. Подставляя сюда выражения для и(в) и е(й) через х(4) и х'($), получим: х(1) = АсозЛФ+ВзшЛв. Таким образом, нами установлен общий вид решения уравнения (4.9) также и для случая 2). 336 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной ~5. Правила Лопиталя раскрытия неопределен- ностей О 5.1.
НеОпрелеленнОсти типА О Пусть даны множество А С 2 и функции у: А — ~ К и д: А — Ж. Предположим, что для некоторой точки р Е ьлтА справедливо д(х) ф О при х Е А 1 (р), и выполняются равенства: 1ппд(х) = О. ь-~р 1пп 7(х) = О; ь р Тогда о пределе отношения — при х — р, как мы знаем (см. п. 2.4 У(х) д(х) главы 2),ничего сказать нельзя.
Этот предел может вообще не существовать, а если он существует, то его значение может быть равно любому наперед заданному числу Ь Е Й. В этом случае говорят, что отношение — является неопреде- У( ) д(х) О леииостью типа — при х -+ р. О Аналогично, если 1пп ~(х) = оо; ь р 1ппд(х) = оо, ь р то предел отношения — может не существовать, а если он существу- У( ) д( ') ет, то его значением может оказаться любое число.
В данном случае У(х) 00 говорят, что отношение — — это неопределенность типа — при д(х) 00 х +р Пусть даны две функции, каждая из которых имеет равный нулю предел при х, стремящемся к некоторой точке р. Тогда, как было показало выше, о пределе частного этих функций при х -+ р, вообще говоря, ничего сказать нельзя.
Пользуясь средствами дифференциального исчисления, в некоторых случаях, однако, можно показать, что указанное отношение есть предел, и найти значение этого предела. Здесь приводится теорема, позволяющая это сделать. Аналогичные результаты установлены также для случая, когда каждая нз данных функций имеет предел, равный оо. 337 З 5. Правила Лопитвля раскрытия неопределенностей окажем е ложения облегчаю е в некото ых сл чаях отыскание п ела отношения —, ког а х и х ст емятся к О или к оо. У(х) д(х)' ° Теорема б.Х (первая теорема Л1опиталЯ. Пусть даны интервал Х = (а, Ь) и пусть р есть один из его концов (то есть р есть либо точка а, либо точка Ь). Предположим, что функции Х: Х вЂ” > Ж и д: Х вЂ” + К дифференцируемы в промежутке Х и таковы, что д(х) ~ О и д'(х) ф О для всех х Е Х и 1пп У(х) = 1пп д(х) = О.
Если существует предел 11ш —, У'(х) *-. д'(х) то существует также и предел 1пп —, Х(х) и д(х)' причем значения этих пределов равны. Доказательство. Положим,7 = (а,Ь) 0 (р). Очевидно, что,Х есть или промежуток (а, Ц, или промежуток 1а, Ь). Пусть функции У и д удовлетворяют всем условиям теоремы. По о пред е л им их, полагая Х(р) = д(р) = О. Тогда функции Хид будут непрерывны вточкер. Пх~К>=~Здаа р Ь<К. и у Ю окрестность У точки р такая, что если х Е У П Х, то У'(х) д'( ') Пусть х есть произвольная точка интервала Х, принадлежащая окрестности У. Имеем: Х(х) Х(х) — Х(р) Х'(~) д(х) д(х) — д(р) д'(~)' где ~ лежит между х и р. Очевидно, ~ е У.
Отсюда следует, что У(х) У'Ы) д( ) д'Ы) 338 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Е К= д лу 1пп — = со = К. 1(х) р д(х) к к< ~>~> ~р °, > ж>к а> > *Гl >, л х Е Уй Х выполняется неравенство: — < 1. Отсюда сразу вытекает, 1(х) ' д(х) что если К = — оо, то К = 11га —. 1(х) *- д(х)' П положим что К вЂ” конечно. Зададим произвольно е > О.
По доказанному, найдутся окрестности Уг и Уг точки р такие, что для всех хЕУ~й > — >1|=К вЂ” е, У( ) д(х) а для всех х Е Угй1 — < 1г = К+ к. У(х) д(х) Пусть У есть окрестность точки р такая, что Уг Э У и Уг Э У. Для всякого х Е У й,1 выполняется неравенство: — — Х <е. У() д(х) В силу произвольности е > О,и в этом случае получаем,что К = 1пп —.
У(х) *- д(х)' Теорема доказана. ° Следствие Х. Пусть далы отрезок 1 = (а,Ь), точка хе такая, что а < хе < Ь, и функции з и д, дифференцируемые на множестве (а, Ь) ~ (хе), причем 1(х) — О, д(х) — О при х — + О. Предположим, что для всякого х Е (а, Ь) ~ (хе) будет д(х) ф О и д'(х) ф О, и сушествует предел 339 З 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
