1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Правила Лопитапя раскрытия неопределенностей Тогда предел Иш— у" (х) ха д(х) также существует, н значения этих пределов совпадают. Доказательство. Предположим, что выполнены все условия следствия. Применяя результат теоремы 5.1 к каждому из промежутков (а,хо) и (хо,Ь) и полагал р = хо, получим, что 1пп — = Иш — = К, у(х) . у(х) ха-о д(Х) * . а+о д(х) откуда, очевидно, и следует требуемое утверждение — следствие 1. Следствие 2. Пусть функция У определена и непрерывна в полуоткрытом промежутке (а, Ь~, где Ь вЂ” конечно.
Если г днфференцнруема в каждой точке х Е (а, Ь) н существует предел 1пп ~ (х) = К, то функция х 1 имеет в точке Ь производную. При этом у (Ь) = К. Если функция ~ определена н непрерывна в замкнутом слева промежутке (а, Ь), где а > — оо, в каждой точке х б (а, Ь) имеет производную ~'(х) и существует предел 1пп 1'(х) = Е, то Х = ~'(а).
х а Если с Е (а, Ь) и функция ~: (а, Ь) — К непрерывна, дифферевцируема при всяком х Е (а,Ь), отличном от с, и существует предел 1пп ~'(х) = М, то М = ~'(с). Доказательство. Следствие содержит т р и утверждения. яааа ~и~ а У(х) — У(Ь) х — Ь Числитель и знаменатель этой дроби стремятся к нулю при х — ~ Ь. Производная числителя равна у'(х), производная знаменателя тождественно равна единице. Отношение производной числителя к производной знаменателя, следовательно, равно у'(х) и, значит, согласно условию следствия, имеет предел при х а Ь. Значение этого предела равно К.
Применяя теорему 5.1, получаем, что существует предел: у (х) — у(Ь) *-ь х — Ь то есть К = У'(Ь). 340 Гл. 4. Лифференциэльное исчисление функций одной переменной Справедливость двух остальных утверждений следствия устанавливается аналогично. Следствие 2 доказано. Доказательство. Пусть р б (а, Ь). Согласно условию, функпия у дифференцируема в точке р и производная у'(р) — конечна. Предположим, что р есть точка разрыва первого рода функции у'. Согласно определению точек разрыва первого рода, это означает, что функция 1' имеет в точке р конечные пределы слева и справа. Согласно следствию 2, имеем: 1пц у" (х) = у (р), 1пц у (х) = у'(р).
х р+О Таким образом, пределы слева и справа функции у' в точке р,— в случае,'если они существуют, — неизбежным образом оказываются совпадающими с у'(р) и, следовательно, функция у' в этом случае является непрерывной в точке р. Это противоречит тому, что, согласно предположению, р есть точка разрыва функции 1'. Итак, допущение, что некоторая точка р Е (а, Ь) является точкой разрыва первого рода функции ~, приводит к противоречию.
Следствие 3 доказано. Замечание. Результат теоремы51 не может быть о б р а щ е н. Предположим, что функпин У: (а, Ь) — ю К и д: (а, Ь) — К дифференцнруемы в промежутке 1 = (а, Ь), р есть одна из точек а и Ь и при х — р вътолнено У(х) — + О и д(х) — О. Если известно, что отношение — при х — + р стремится к некото- У(х) д( ') рому пределу, то отсюда, вообще говоря, н е л ь з я заключить, что ю отношение, имеет предел при х — ю р. д'( ) Дк юх,пю ь=[ю, ),ю=ю. и: Л)=*' д(х) = ~(х. Тогда — = ~/х зш — — + О при х -+ О; у(х) .
и д(х) х %' Следствие 3. Предположим, что вещественная функция у определена в интервале (а, Ь) и днфференцируема в каждой точке этого интервала. Производная 1 функции 1 может иметь в (а, Ь) только точки разрыва второго рода. 341 З 5. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей / . т н т Х (х) = зш — — — соз —; х х х д(х) = —; 1 2~/х ' Х(х) . и 2т и = 2/хзш — — — сое —. д'(х) х /х х При х — О п е р в о е слагаемое справа стремится к нулю, в т о р о е не имеет предела при х — + О. Отсюда следует, что в данном случае предел 11ш —, У'(х) о д'(х) не существует.
5.2. Неопределенности типА ° Теорема 5.2 (вторая теорема Лопиталя). Пусть Х = (а,Ь) и р — один из концов промежутка Х, Х: 1 -+ К и д: 1 — К вЂ” функции, дифференцируемые в промежутке Х. Предположим, что 11ш д(х) = оо, я р причем д(х) ф О и д'(х) ф О для всех х Е 1, и существует предел: 1пп —, = К. Х'(х) я р д~(Х) Тогда существует также и предел 1пп —, Х(х) р д(х) ' и значения этих пределов совпадают.
У'(: ) д'(х) (5.1) Доказательство. Пусть функции Х и д удовлетворяют всем условиям теоремы. я2ехе~ > -~ зша3 Р е < к. пу ь ково, что Х < Х' < К. Найдем окрестность ХХг точки р такую, что для любого х Е ХХг Г'1 1 выполняется неравенство: 342 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Выберем произвольно точку Ф Е 1 й Уг.
Для произвольного х Е Х Ь(х) = д(х) - д(~)' Тогда имеем, очевидно, у(х) = Мх) Ых) — д(г)) + уй). откуда — = Цх) ~1 — — ~ + —. У( ) ~ дИ)~ УИ) (5.2) По теореме Коша о среднем значении (теорема 4.3 етой главы), найдется С, лежащее между Ф и х и такое, что Будем далее считать, что х лежит между $ и р, то есть х Е (а,$) при р = а и х Е ($, Ь) при р = Ь. Тогда с Е Уг и, значит, в силу выбора 1Хг, имеем: По условию теоремы, д(х) — + оо при х — р и, следовательно, 1па 1 — — =1, и потому найдется окрестность Уг точки р такая, что если х Е 1Хг, то 1 — — > О.
д(~) д(х) — = ~1 — — ~ Ь(х) + — > Х' ~1 — — ) + —. (5.3) Нх) 1 д(г) 1 Пг) ° х д(г) 1 ХЮ д(х) ~ д(х),~ д(х) 1 д(х) ) д(х) Для всякого х Е Х П Уг имеем: 6(х) > Х'. Отсюда вытекает, что если о д н о в р е м е н н о х Е 1Хг П 1 и х Е Уг й 1, то 343 З 5. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей При х — р правая часть последнего неравенства стремится к пределу, равному Х' > Х.
Отсюда следует, что найдетси окрестность Уз точки р такая, что если х Е ХХз, то (5.4) Пусть У есть окрестность точки р, содержащаяся в каждой из окрестностей Уг, ХХг и Уз. Тогда для всякого х Е У й 1 выполняются неравенства (5.1), (5.3) и (5.4) од н о в р е м е н н о и, значит, для таких х — >Х. У( ') д(х) Число Х < К было выбрано произвольно. Из доказанного следует справедливость теоремы для случая, когда К = оо. Аналогичным образом устанавливается, что если К < оо, то для любого числа Х > К найдется окрестность У точки р такая, что для всех х Е У П 1 выполняется неравенство: — <Х. У(х) д(х) (Формально, данное утверждение может быть получено применением доказанного к функциям Хг(х) = — Дх) и дг(х) = д(х).) Отсюда вытекает, что утверждение теоремы в е р н о для случая, когда К = -оо.
Р а с с м о т и м с чай ког а К вЂ” конечно. Зададим произвольно е > О. По доказанному найдутся окрестности Г и У' точки р такие, что для всех х Е Г ПХ выполняется неравенство: — >1| =К вЂ” я, У(х) д(х) а для любого х Е ХХ й Х имеет место неравенство: — < Хг = К+к. У(х) д( ') Пусть У вЂ” это окрестность точки р, содержащаяся в каждой из окрестностей Г и ХХ". Лля всякого х Е У, очевидно, имеем: 344 Гл.
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Так как е ) О было взято произвольно, то тем самым установлено, что К= 1ш Пх) о р д(х) Теорема доказана. ° 1' Следствие. Пусть даны отрезок 1 = (а,Ь) С К, точка хо Е Х и функции У: 1 ~ (хо) — К и д: 1 ~ (хо1 -+ Ж, дифференпируемые на множестве Х~(хо). Предположим, что д(х) -+ оо при х — хо и д(х) ~ О ид'(х) ~ О для любого х Е 1 ~ (хо). Если существует предел то существует также и предел Ыш —, У(х) *, д(х)' и значения этих пределов совпадают. Доказательство.
Пусть выполнены все условия следствия. К каждому из промежутков (а,хо) и (хо,Ь) применим результат теоремы 5.2. Полагая р = хо, получим, что Иш — = Нш — = К. У(х) . У(х) *о-о д(х) * *о+о д(х) Отсюда, очевидно, и следует требуемое утверждение следствия теоремы 5.2. Ь6. Формула Тейлора В задачах, появляющихся в приложениях математики, часто возникает необходимость вычислять значения различных вещественных функций. Непосредственно из определения функции извлечь удобный способ вычисления ее значений возможно не всегда.
Требуется выполнение только таких операций, которые «умеет» производить вычислительное устройство, имеющееся в распоряжении исследователя. В общем случае основной прием для вычисления значений произвольной функции состоит в том, что для данной функции Х строится другая, более простая с точки зрения вычислений функция 1, близкая в З 6. Формула Тейлора каком-либо смысле к 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
