1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 57
Текст из файла (страница 57)
теорему 4.1), У'(с) = О. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть ~: «а, Ь] -+ К, где [а, Ь] С К, — непрерывная функция, имеющая конечную нли бесконечную производную в каждой точке х Е (а, Ь). Тогда если для всех х Е (а, Ь) производная 1'(х) отлична от нуля, то У(а) ~ У(Ь).
Доказательство. Действительно, предположим, что функция 1 удовлетворяет всем условиям следствия. Допустим, что у(а) = 1(Ь). Тогда, согласно теореме Ролля (теорема 4.2), найдется точка с Е (а, Ь) такая, что У'(с) = О. Это п р о т и в о р е ч и т тому, что, согласно условию следствия, У'(х) ф 0 для всех х Е (а, д). Таким образом, допущение, что у(а) = 1(Ь), ведет к п р о т и в ар е ч и ю. Следовательно, должно быть 1(а) ф у(Ь), что и требовалось доказать. ° Теорема 4.3 (теорема Коши о среднем значении).
Пусть даны отрезок [а,Ь] С К н функпин ~: [а,Ь] — + К и д: [а,Ь] — ~ К, которые определены и непрерывны на этом промежутке. Предположим, что в каждой точке х интервала (а, Ь) функции ~ и д днфференцируемы, причем д'(х) ф 0 для всех х Е (а, Ь). Тогда найдется значение с такое, что а < с < Ь, и выполняется равенство: У(Ь) — У(а) у'(с) д(Ь) — д(а) д'(с) 321 З 4. Теоремы о среднем значении 3 а м е ч а ни е 1. В силу следствия теоремы Ролля, д(Ь) — д(а) ~ ф О и, значит, отношение в левой части равенства, указанного в формулировке теоремы 4.3 имеет смысл. 3 а м е ч а н и е 2.
Утверждение теоремы 4.3 имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим параметризованную кривую и(х) = = ®х), д(х)). Пусть А = (у(а), д(а)), В = ЩЬ), д(Ь)). В силу следствия теоремы 4.2, д(Ь) ф д(а), и, значит, точки А и В различны. Теорема утверждает, что найдется значение с Е (а,д) такое, что касательная параметризованной кривой п(х) в точке п(с) параллельна прямой АВ (см. рис. 19). Рис. 19 Локазательстно теоремы.
Введем вспомогательную функцию Г, полагая для х Е [а, Ь] Р(х) = [Дх) — Да)] [д(Ь) — д(а)] — [ДЬ) — У(а)] [д(х) — д(а)]. Функция Р на промежутке [а, Ь] — непрерывна и, как легко проверяется, Г(а) = Р(Ь) = О. Функция Р— дифференцируема в каждой точке х Е (а, Ь). Так как Р(а) = Е(Ь), то, по теореме Рюлло, найдется точка с такая, что а < с < Ь и г '(с) = О.
Имеем, очевидно: О = Р'(с) = У (с)[д(Ь) — д(а)] — д (с) [У(Ь) — У(а)]. По условию, д'(с) ф О. Как было отмечено выше, д(Ь) — д(а) ~ О. Поделив обе части последнего равенства на д'(с) [д(Ь) — д(а)], полую'(с) У(Ь) — Да) д'(с) д(Ь) — д(а) Теорема доказана. ° 322 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Следствие 1 (теорема Лагранжа о среднем значении). Пусть даы промежуток ]а, Ь], где — со < а < Ь < со.
Если функции 1" непрерывна на замкнутом промежутке ]а, Ь] и дифференцируема в каждой точке х открытого промежутка (а, Ь), то найдется число с такое, что а < с < Ь, и вьтолыяется равенство: 1(Ь) — 1(а) Ь вЂ” а Данное предложение есть частный случай теоремы 4.3, получаемый при д(х) = х. Следствие 2, Пусть 1 = ]а, Ь], ~: 1 — ~ К, д: 1 — ~ К вЂ” непрерывные функции, дифференцируемые в интервале (а, Ь). Предположим, что производная д (х) ые обращается в нуль в промежутке (а, Ь), и существует число К Е К такое, что д'(х) ~ д'(х) для всех х Е (а, Ь).
Тогда имеет место неравенство: У(Ь) — У(а) 9(Ь) — д(а) (соответственно, неравенство: 1(Ь) — 1(а) 9(Ь) 9(а) Доказательство — очевидно. Следствие 3 (теорема Коши об оценке приращения для комплексных функций). Пусть 1: (а,Ь] — С есть комплексная функция, д: (а, Ь] -+ И вЂ” вещественная функция. Предположим, что 1 и д непрерывны в промежутке ]а, Ь] и дифференцируемы в интервале (а, Ь), причем д'(х) ф О для всех х Е (а, Ь). Ясли существует постоянная К Е 1к такая, что 323 З 4. Теоремы о среднем значении для всех х Е (а,Ь), то 1' (6) — 1 (а) д(Ь) — 9(а) Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Если 1(6) — 1" (а) = О, то требуемое неравенство, очевидно, выполняется.
Предположим, что 1(Ь) — 1(а) ф О, и пусть 1(Ь) — 1(а) 1(6) — 1(а) Тогда [1(Ь) — Х(а)]а = [У(Ь) — У(а)] и [о] = 1. Положим аУ(х) = и(х) + 4и(х), где и = В.еа1' и и = 1щаУ вещественные функции. Имеем: [и'(х)[ < [и'(х) + 4и'(х)[ = ]У'(х)] и, следовательно, то есть -К«, К. и'(х) 9'(х) Применяя результат следствия 2 теоремы 4.3, заключаем, что выполняются неравенства: и(Ь) — и(а) 9(Ь) — д(а) Далее имеем: а,1(6) — аХ(а) = и(Ь) — и(а) + 4[и(Ь) — и(а)]. Число аЯЬ) — 1(а)] = [Х(Ь) — 1(а)] — вещественное и, значит, и(Ь) — и(а) = О, откуда следует, что ]У(Ь) — У(а)[ = и(Ь) — и(а).
Таким образом, мы получаем, что [,1 (Ь) — У(а) [ 9(Ь) — 9(а) откуда, очевидно, вытекает искомое неравенство. Следствие доказано. 4.2.2. Тео ема Лат анжа о с нем значении еле ствие1 тео емы4.3 о екает астре геомет ическое истолкование. 324 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Построим график данной функции )" (см. рис. 20). Отношение 1(Ь) — 1(а) Ь вЂ” а есть угловой коэ~4иянент секущей, соединяющей концы графика функции. ,)(Ь)) Рис.
20 Величина )".'(с) есть угловой коэф4)иниент касательной графика функции )". в точке М = (с, 1(с)). Равенство )".(Ь) — 1(а) Ь вЂ” а означает, что секущая, соединяющая концы графика функции, и касательны графика функции в точке М параллельны. Теорема Лагранэка о среднем значении (следствие 1 теоремы 4.3), таким образом, означает, что если функция )' непрерывна на сегменте [а, Ь] и дифференпируема во всех точках интервала (а, Ь), то на графике функции найдется точка, не с о в и ад а ю щ а я ни с одним из его концов и такы, что касательная в этой точке и а р а л л е л ь н а секущей, соединяющей концы графика функции.
4.3. ТЕОРЕМА АРБУ О ПРОИЗВОДНОЙ Установим здесь одно полезное свойство производной, в некоторых отношениях аналогичное свойству непрерывных функций, которое устанавливается теоремой Коши о промежуточных значениях (см. теорему 4.1 главы 2). ° Теорема 4А (теорема Дарбу о производной). Пусть | есть произвольная вещественная функция, определенная в промежутке (а, Ь] С К. 325 З 4. Теоремы о среднем значении Предположим, что ~ дифференцируема в каждой точке х Е [а, Ь]. Тогда если ее производная принимает значения Ь и 1, то она принимает любое значение, лежащее между Й и 1. Доиазятвльство.
Пусть функция г удовлетворяет условиям теоремы. Предположим, что Ь и 1 таковы, что Ь = У'(х1) и 1 = 1" (хз), где х1 н хз — некоторые точки промежутка [а, Ц. Будем считать, что Ь ~ 1 (в случае Ь = 1 — доказывать нечего) и х1 < хз. Пусть Ь вЂ” произвольное число, лежащее между Ь и 1, то есть такое, что или Ь < Ь < 1, или Ь > Ь > 1. Требуется доказать, что найдется точка хо Е [а, Ь] такая, что у'(хо) = Ь. Рассмот им сначала тот частный сл чай ког а Ь = О и й < О < 1.
Так как функция ~ дифференцируема, то она непрерывна и, значит, согласно теореме Вейерштрасса (глава 2, теорема 5.2), принимает на промежутке [хм хз] свое наименьшее значение в некоторой точке хо. Эта точка хо отлична от хы действительно, имеем: В=У(х1)= 1ш1 ( ) ( ) <О. ,+о х — х1 Отсюда следует, что при х б (х1, хз), достаточно близком к х1, У(х) — У(х1) < О и У(х) < У(х1). Таким образом, в промежутке [х1, хз] есть точки, в которых У принимает значение, меньшее 1".(хз), и потомУ точка, в котоРой ~ пРинимает свое наименьшее значение в промежутке [х1,хз],не может совпадать с хь хо ~ хы Точно так же, ввиду того, что 1 = ~ (хг) = 1пп > О У(') — У(' ) *;-о х — хз для х Е (х1, хз), достаточно близкого к точке хз, имеем: х — хз 326 Гп.
4. Лифферевпиальвое исчисление функций одной переменной Так как х — хз < О, то для таких х 1(х) — 1(хз) < О, то есть 1 (х) < ( (хз) . Таким образом, функция 1 принимает в промежутке [хг,хз] значения, меньшие 1(хз), и, значит, функция 1 не может принимать свое наименьшее значение на промежутке [хз, хз] в точке хг, так что хе ф.
хз. Из доказанного вытекает, что хз < хе < хз. В силу теоремы Ферма (см. теорему 4.1), отсюда вытекает, что 1'(хо) = О. П р *р ~ жхвв~юзь у*р~ .р .Овщз х ~ * у~у~ ар Пусть Ь вЂ” произвольное число, лежащее между Ь и Ь Положим г (х) = о [1(х) — Ьх], где и = 1 в случае Ь < 1 и и = — 1, если Ь > Ь функция г дифференцируема в промежутке [а, Ь].
Имеем: Р (хз) < О < г'~(хг). Применяя доказанное выше к функции Г, получим, что найдется точка хе такая, что Г'(хе) = О, то есть юг[1'(хе) — Ь] = О, откуда следует, что 1'(хо) = Ь. Теорема доказана. И 4.4. КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ 4.4.1. Применение теоремы Лагранжа э среднем значении (следствие 1 теоремы 4.3), как видно из доказательства следующей теоремы, позволяет получить некоторый критерий монотонности функции. ° Теорема 4.5. Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) и непрерывная функция 1": 1 — Ж. Предположим, что в каждой внутренней точке промежутка 1 функция 1" днфференцируема.
Тогда: для того чтобы 1" была возрастающей в промежутке 1, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки х Е (а, Ь) производная 1'(х) была неотрицательна; для того чтобы функция 1' была убывающей в 1, необходимо и достаточно, чтобы ее пронзводнал была неположительна в каждой точке х Е (а,Ь). Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция 1': 1 -+ К является монотонной. 327 З 4.
Теоремы о среднем значении Возьмем произвольно точку хо Е 1 такую, что функпия 1 дифференцируема в этой точке. Пусть х ф хо, х Е (а, Ь). Если функция 1 — возрастагощая, то при х < хо выполняются неравенства У(х) — 1(хо) < О и х — хо < О, а при х > хо выполняются неравенства Х(х) — 1(хо) > О и х — хо > О. И в том, и в другом случае У ( х ) У ( х о ) > О х — хо Переходя в этом неравенстве к пределу при х -+ хо, получим, что У'(хо) > О Если функпия 1 — убывающая, то при х < хо справедливы неравенства У(х) — Х(хо) > О и х — хо < О, а при х > хо будет Х(х) — Х(хо) < О и х — хо > О. Следовательно, У(х) — У(хо) < О х — хо для любого х ф хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
