1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если Х не является началом системы координат, то существует е д и н с т в е н н а я пара чисел (р, ~о) такая, что Х = ~(р, ~р), и выполняются условия: р > О и О < р < 2к. Г е о м е т р и ч е с х и й с м ы с л величин р и у в случае р > О таков. Число р равно расстоянию точки Х до начала системы координат, у есть угол, образуемый лучом ОХ с положительной полуосью оси Ох декартовой системы хоординат, заданной на плоскости.
Отображение ~ не является взаимно однозначным. Опишем все те значения р и у, которые являются полярным радиусом и, соответственно, амплитудой произвольной точки Х на плоскости. Для точхи О множество ~ 1(О) совпадает с множеством всех точех (О,~р) й К~. Для точки Х ~ О множество ~ 1(Х) может быть описано следующим образом. 298 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Фиксируем произвольно значения р > 0 и уо, для которых имеют место равенства (2.8). Тогда любое другое значение у, удовлетворяющее (2.8), выражается через уо посредством равенства у = ро + 2тлк, где т есть целое число. Если для данных х и у для некоторых р и р выполняются равенства (2.8), то эти равенства будут выполняться также для рг = — р и для ~Ог =ф+7Г.
Из сказанного вытекает, что если ро и уо — какие-либо конкретные значения полярного радиуса и амплитуды точки Х ~ О, то пары К-1) ро, ~ро + так) образуют совокупность всех значений (р,у), для которых ~(р, ~р) = Х. Пусть на плоскости задана полярная система координат. Предположим, что задана функция т: (а, р) — И. Множество К всех точек Х на плоскости, у которых полярный радиус и амплитуда удовлетворяют условиям у Е (а„В) и р = т(у), будем называть кривой, заданной в полярной системе координат на плоскости уравнением: р = т(~р). Множество К есть график функции р = т(у) относительно отображения ('.
Кривая К называется также графиком функции т: (а„9) — К в полярной системе координат. 2.3.2. Предположим, что кривая на плоскости в полярной системе коор- динат задается уравнением р = т(р), у Е (а, Д). Подставляя в равенство (2.6) р = т(у), получим функции: х(у) = т(~р) сезар, у(~р) = т(~р)в1п~о. (2.9) Тем самым определена параметризованная кривы: Х(у) = (х(у),у(р)), у е (а,~З). (2.10) х'(~р) = т'(р) сову — т(~р) яшар, р (у) = т (~р) зш у+ т(~р) сов р. (2.11) П о к а ж е м, что если функция т для некоторого у Е (а, Д) дифференцируема, причем хотя бы одна из величин т(~р) и т'(р) отлична от нуля, то параметризованная кривая Х(<р), определенная равенствами (2.9) и (2.10), в точке, отвечающей данному значению <р, имеет касательную.
действительно, из равенств (2.9) вытекает, что в этом случае функции х и у дифференцируемы для данного у. При этом 299 З 2. Некотерые приложения понятия производной После простых вычислений, отсюда получаем, что [х'(РН'+ Ь'( )[' = [ 'М)1'+ [г(~))' Если хотя бы одна из величин т(р) и г'(~р) отлична от нуля, то выражение в правой части этого равенства отлично от нуля и, следовательно, что вектор С(у) = (х'(~о), у (у)) отличен от нуля. В силу теоремы 2.2 отсюда следует с у щ е с т в о в а н и е касательной у кривой Х(~а) для всякого ~р = уе, для которого производнэл т'(ре) существует, причем, по крайней мере, одно из чисел г(ув) и г'(уе) отлично от нуля.
Равенства (2.11) дают координаты направляющего вектора касательной г'(р) в точке Х(р). Найдем уел д который касательная (г(ю), ~р) образует с радиус- вектором точки в данной системе координат. декартовы координаты радиус-вектора х(у) этой точхи суть х(~р) = т(~р) сов гг и у(<р) = г(у) з1п ~р. Отсюда получаем выражение для скалярного произведения: (Ф(у), х(у)) = г(~Р)т'(Р) = соз д~г(Ф) [ откуда следует, что созд = " (У) [г~(~))г + [„( (2. 12) 2.3.3. Рассмот им п и м е ы. Пример 2'. Пусть т(р) = Ьр, где й > 0 — постоянная.
Кривая, заданная в полярной системе координат уравнением р = г(у), называется спиралью Архимеда (см. рис. 15). $ Пример 1'. Пусть г(ьг) с— в В = сопвс. Множество всех точек Х на плоскости, полярный радиус которых равен числу В, представляет собой окружность радиуса В с пентром в точке Π— начале координат на плоскости. ЗОО Гл.
4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Часть кривой, соответствующая отрицательным значениям ю, называется отрицательной вегавью спирали Архимеда, а часть, отвечающая положительным значениям ю, называется положительной ветвью спирали Архимеда. Положительная ветвь спирали Архимеда имеет следующий механический смысл: это есть траектория точки, движущейся по лучу, вращающемуся с постоянной скоростью вокруг начала.
При этом предполагается, что точка выходит из начала луча и движется по нему с постоянной скоростью. Функция г(р) в рассматриваемом случае дифференцируема для всех ю. При этом г'(уз) ~ О для всех у. Отсюда вытекает, что рассматриваемая кривая имеет касательную в каждой точке, амплитуда 1о которой отлична от нуля. Из равенства (2.12) вытекает, что косинус угла между касательной спирали Архимеда и радиус-вектором точки равен: к 1 /О +в у 1 ~ Р Спи аль А хим а была вве ена в связи с з ачами о т усек ии гла и окна ат ек га. Первы задача состоит в том, чтобы указать способ деления произвольного угла с помощью циркуля и линейки на три равные части. Еще в Х1Х-м веке было показано, что такое построение невозможно. Вторы задача — построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.
Неразрешимость втой задачи была установлена в конце Х1Х-го века. Если к циркулю и линейке добавить другие инструменты, то обе задачи решаются, и по большей части достаточно просто — степень простоты решения зависит от выбора дополнительных инструментов. Пример 3'. Кривая, задаваемая в полярной системе координат уравнением р = е~~, где к ф О, называется лоеарифмической спиралью (см. рис.
16). Рвс. 1б З 2. Некоторые приложения попятив производной В этом случае г(1р) = е"1' ) 0 для всех у2 б И. Функция г в данном случае дифференцируема для всех 1р е к. Для этой функции г имеем: (2.13) [т (Ф)]2+ [г(Ф)]2 Л2+ 1 Следовательно, в каждой точке логарифмической спирали угол й, который касательная спирали образует с радиус-вектором данной точки, не зависит от выбора этой точки. 2,4, Приложкния понятия произво ной в эизикк и мкхлникк Применение дифференциального исчисления в самых разнообразных приложениях математики обычно основано на том, что производная функции, представляющей собой ту или иную величину, может быть истолкована как скорость изменения данной величины.
Закономерности, описывающие данный процесс, можно представить в виде равенств, которым должны удовлетворять функции, выражающие собой разные характеристики изучаемого явления,и их производные. Такие равенства именуются ди$у1еренциальными уравнениями. Пряямер 1". Ско ость и око ение мате иальной точки. Предположим, что изучается движение материальной точки по прямой в течение некоторого промежутка времени 1 = [а,Ь]. На прямой предполагается заданной некоторая система координат. Пусть х(2) есть координата точки в момент времени 2 Е 1.
Рассмотрим два произвольных момента времени $1 и 22. Отношение х (22 ) — х (1 1 ) 22 — 21 называют средней скоростью материальной точки за промежуток времени (11, 22). Предел 1пп х(Г) — х(мо) 1 1о 2 — го называется скоростью материальной точки в момент времени 1о. Таким образом, в соответствии с данным вьппе определением, скорость материальной точки в момент времени 2о есть просто значение производной координаты точки на оси, по которой она движется, в момент времени 1 = 2о.
Пусть и(1) есть скорость материальной точки в момент времени 1. Тем самым в промежутке [а, Ь] определена некоторая функция и. ЗО2 Гп. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Производная этой функции в момент времени $ называется ускорением материальной точки в этот момент. Ускорение, таким образом, является производной от функции х (8) — производной функции х(Ф). (Производная от х'($) называется второй производной от ~ункиии х($) и обозначается символом хо(г). Обычную производную х'(Ф) функции х(г) называют также первой производной функции х(Ф).) Скорость и ускорение суть о с н о в н ы е механические характеристики движения материальной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
