1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если ~'(Фо) = О, то д (Фо) ~ О и аналогично заключаем, что существует б > О такое, что если О < ~~ — 80! < б, то д(4) ф д(йо), и, значит, х(~) ~ х(ц). х(Х) — х(йо) Пусть й Е М таково, что О < ~Ф вЂ” $0/ < б. Положим В(й) = ~ — го Зля данного Ф определен вектор е(йо, й). Если й > йо, то 287 'З 2.
Некоторые приложения понятия производной Отрезок, концами которого являются произвольные точки А и В, А ф В, является простой дугой. Лействительно, пусть а = О 4, Ь = ОВ суть радиус-векторы точек А и В относительно начала О. Тогда функция х(1) = (1 — Ф)а+ ФЬ взаимно однозначно отображает промежуток [О, 1] на В = [АВ]. График произвольной непрерывной функции у, определенной на замкнутом отрезке [а, Ь] множества К, является простой дугой. Пействительно, в этом случае функция х(Ф) = — (Ф,Д1)) непрерывна и взаимно однозначно отображает промежуток [а, Ь] на график функции у.
Окружность на плоскости может служить п р и м е р о м простой замкнутой кривой. Лействительно, пусть (а, Ь) есть центр окружности, т — ее радиус. Положим: х(1) = (а+т соз $, Ь+ т зш 1), Ф Е [О, 2н]. Нетрудно видеть, что функция х отображает промежуток [О, 2я] на окружность, х(0) = х(2я), и на промежутке [О, 2я] отображение х взаимно однозначно. Можно показать, что граница треугольника представляет собой простую замкнутую кривую. Стороны произвольного плоского выпуклого многоугольника также образуют простую замкнутую кривую.
На рис. 2(3) изображены линии, ни одна из которых не является ни простой дугой, ни простой замкнутой кривой. 2.2.6. Рассмот им и и м е ы па амет изованных к иных. Пример 1. Пусть х(8) = а+ Ьи есть параметризация некоторой прямой 1 на плоскости или в пространстве, и ф О. Тогда, как следует из теоремы 2.1, параметризованная кривая х(1), определенная последним равенством, имеет в каждой точке касательную. Эта касательная совпадает с прямой 1. Пример 3. Пусть х(1) = ®1),д(1)) есть параметризация окружности радиуса т ) 0 с центром в точке А = (а, Ь), Я) = а+ тсозМ, дЯ = Ь+ теша, где 1 Е К. Имеем: у'(г) = — т зш Ф и д'(г) = т соз $. Отсюда следует, что [~ ($)] + [д (8)] = т ~ 0 для всех 1. В силу теоремы 2.1, отсюда вытекает, что параметризованная кривая х(г) = (Дг),д($)) имеет касательную в каждой точке х($).
Вектор х'(з) = ( — тзшФ,тсозФ) является касательным ортом в точке 288 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Х = х(Ф). Вектор АХ имеет координаты: (г соя 1, г яш ~). Отсюда вытекает, что (АХ,х(г)) = -г~сояФяшг+г~яшгсояг = О,и, значит, векторы А2 и х'(й) ортогональны. Это позволяет заключить, что касательная окружности в точке х($), как и следовало ожидать, ортогональна радиусу окружности, концом которого является точка х(1). 2?ример 3, Предположим, что дана окружность, катящаяся без скольжения по некоторой прямой. Тогда всякая точка окружности описывает на плоскости кривую, которая называется никлоидой.
Н " ем па амет ические авнения икло ы. Будем считать, что прямая, по которой катится окружность, совпадает с осью Ох. Фиксируем на окружности некоторую точку Х, траекторию которой мы и будем изучать. О Рис. 3 Обозначим через г радиус окружности. Пусть Н(г) есть точка (я, О) оси Ох, С(г) = (г, г) — положение, которое занимает центр окружности в момент, когда она касается оси Ох в точке Н(й), Х(1) = (х(г), у(1)) — положение данной точки Х, когда катящаяся окружность касается оси Ох в точке Н(Ф). Для каких-то значений $ точка Х(Ф) будет лежать на оси Ох. Будем считать, что Х(0) лежит на оси Ох и совпадает с началом системы координат. Этого, очевидно, можно добиться надлежащим выбором начала системы координат. Вектор я(1) = С($)Х(Ф) (см. рис. 3) при качении окружности вращается и о часовой стрелке и угол, который он составляет со своим начальным положением я(0), — й равен ~р = — Длина дуги окружности от точки Н($) до точки Х(г) 289 З 2.
Некоторые приложения понятия производной равна длине отрезка [ОН(Ф)] прямой Ох. Отсюда вытекает, что имеют место равенства: УИ) = г — т сов —. г хИ) = Ф вЂ” т в1п —, т' Это и есть искомые па амет ические авнения кло ы. 2.2.7. Рассмот им воп ос о с ествовании касательных . г х (й) = 1 — сов — = 2вш —, у (1) = ьйп — = 2вш — сов —. т 2т' г 2т 2т х(Ф) = $ — Ьвш т у(Ф) = т — Ьсов —. т В этих равенствах Ь есть расстояние до центра окружности точки, траектория которой рассматривается. Вид трохоиды зависит от того, будет Ь > т или Ь < т.
Верхняя кривы на рис. 4 есть трохоида, соответствующая случаю Ь > т. Средняя кривая на рис. 4 есть циклоида. Третья кривы, изображенная на рис. 4, есть трохоида, получаемы при Ь < т. Обоснование того, что циклоида выглядит именно так, как указано на рис. 4, приводится в з 9 этой главы. Тогда [х'(1)] + [у'(1)]~ = 4гйп —. Отсюда следует, что [х'(М)]~+ 2г +[у'(1)]~ = 0 в том и только в том случае, если — = ятп, где т— 2т произвольное целое число, то есть для Ф = 2тяг. Для всех остальных значений 8 будет [х'(Ф)] + [у'(1)]~ ~ 0 и, значит, для этих 1 цнклоида имеет касательную в точке, отвечающей данному значению Ф. Для значений $, таких, что отношение — не является целым чи2ят слом, имеет место неравенство: у(1) > О. Отсюда ясно, что точки, в которых [х'(Ф)] + [у'(~)] = О, совпадают с теми точками на оси Ох, в которых лежит рассматриваемая точка окружности.
(Вопрос о существовании касательных циклоиды в таких точках будет рассмотрен в З 9 этой главы.) Кривы, зачерчиваемая произвольной точкой, лежащей на радиусе окружности, катящейся без скольжения по прямой, называется тпрохоидой (см. рис. 4). Параметрические уравнения трохоиды имеют вид: 290 Гл.
4. Дифференциэльное исчисление функпий одной переменной 2.2.8. Рассмотрим кривые, получаемые при качении одной окружности по другой окружности. Прягмер 4. Предположим, что на плоскости задана некоторая окружность Г радиуса Гг, и рассматривается окружность Ь радиуса г, катящаяся по окружности Г без скольжения. Зададим произвольно точку Х, жестким образом связанную с охружностью Ь. При движении окружности сб точка Х описывает на плоскости некоторую линию. Заметим, что возможны два случая: 1) Ь катится по внешней стороне окружности Г, то есть Ь и Г лежат п о разные стороны их общей касательной; 2) Ь катится по в н у т р е н н е й стороне Г, то есть данные окружности лежат п о о д н у сторону от их общей касательной.
291 З 2. Некоторые приложения понятия производной Если окружность Ь катится по внешней стороне окружности Г, то траектория точки Х в случае, если точка Х лежит на самой ок жности Ь, называется эиицикяоидой, а если Х ~ Ь, то — эиитрохоидой. Если Ь катится по внутренней стороне окружности Г, то в случае, когда Х Е Ь, траекторию точки Х называют гцпоцикяоцдой, а при Х ф Ь вЂ” гппопзрохоцдой. На" ем па амет ические авнения эп ло ы и элит охо ы. Пусть В есть радиус окружности Г, г — радиус Ь.
Будем считать, что центр Г совпадает с началом системы координат (см. рис. 5). Предположим, что окружность Ь катится по Г в направлении против часовой стрелки. Пусть ~ есть длина пути, пройденного по неподвижной окружности точкой Н($) касания данных окружностей, отсчитываемая от некоторого начального положения. Пусть Х~1) есть положение точки, траектория которой рассматривается, отвечающее данному й Для некоторых значений $ точка Х(~) попадает на окружность Г. Будем считать, что это имеет место, в частности, для 1 = О, причем Х(0) = (В, 0), то есть точка Х(0) лежит на положительной полуоси оси Ох.
Этого можно добиться надлежащим выбором начала отсчета параметра Ф и системы координат, в которой производятся все дальнейшие построения. 292 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 7Ф $ ~ 74 Ф~ и = т сов ( — + — + к) = — т соя ( — + — ), ~Н . ) (Н .)' Ф '1 . /$ и = т зш ( — + — + и) = — т зш ( — + -) . ~Н . ) ~Л Для всякого г Е 1к имеем: ОХ(8) = п(4)+х(4), откуда следует, что точка Х($) имеет координаты: /(Ф) = (Н+ т) соз— Н Ф д(4) = (Н+т) зш  — тсоз ( — + — ), — тзш( — + — ) . (2.5) Полученные равенства и есть па амет ические авнения эпи икловды.
На рис. 6 и 7 представлены примеры эпициклоид. Вид эпициклоиды существенно зависит от величины отношения —. На рис. 6 Н Очевидно, Н(0) = Х(0). Положение центра окружности Ь, соответствующее значению Ф, обозначим через С(4). Дуга Н(0)Н(1) окружности Г и дуга Н(Ф)Х(Ф) окружности Ь имеют равные длины. Это и означает, что окружность Ь катится по Г без скольжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
