1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 46
Текст из файла (страница 46)
257 З 4. Дополнительные сведения об элементарных функциях ° Теорема 4.8. Пусть ~: й — $~ С С вЂ” непрерывное отображение. Предположим, что для любых х Е И и у Е И выполняется равенство: Дх + у) = Я(х)Ду). Тогда сушествует число Ь Е Ж такое, что для всех х Е И Дх) = ехрйх. Доказательство. Пусть функция (': И вЂ” Б~ удовлетворяет всем условиям теоремы. Полагая х = у = 0 в соотношении ~(х+у) = Дх)Ду), получаем: ДО) = [ДО)[~.
Отсюда вытекает, что ДО) равно или О, или 1. Согласно условию теоремы, ДО) ф Б' и, значит, [ДО)[ = 1. Следовательно, ('(О) = 1. Функция ~ непрерывна и, стало быть, найдется б > 0 такое, что при [х[ < б выполняется [~(х) — Ц < 1. Для всякого х Е (-б, б) будет [Ке[Дх) — Ц[ < 1, [1ш[Дх) — Ц[ < 1, откуда Ке Дх) — 1 > — 1 и, значит, Ке ~(х) > 0 и [1т Дх)[ < 1. Возьмем произвольно Ь Е (О,б). Так как КеДЬ) > О, то найдется Л Е ( — —, — ) такое, что Ке('(Ь) = соя Л, 1шДЬ) = гйп Л, то есть ДЬ) = е'А. При [х[ < [Л[ справедливо [е'* — Ц < 1. Действительно, имеем: [е' Ц вЂ” [е' о [[е' о е ' о [— = 2[з1п -[ < 2[в1п — [ = [е' — Ц = [ДЬ) — Ц < 1, 2 2 Л Положим Ь = —, и пусть ~а(х) = ((х)е м~. Тогда [(о(х)[ = 1 для Ь' всех х Е Й, функция ~о непрерывна и для любых х и у справедливо равенство: ~о(х+ у) = ь(х+ у)е '"~*~"1 = (Дх)е '" )Яу)е '"") = ~о(х)(о(у).
Имеем: (а(О) = 1, ~о(Ь) = 1. Для доказательства теоремы достаточно установить, что (о(х) = 1 при всех х. т П о к а ж е м сначала, что ~о(х) = 1 для любого х = — Ь, где т— 2" произвольное целое число, п Е Ы. 258 Гл. 3. Элементарные функции Ь Предположим, что ~о ( — ) = 1, где п — целое, и > О. Тогда Отсюда (/в) Палее, ~'о~ — „) =ии, уй~ / гйй~ где и = ~ ~ — ), о = ехр ~ — — ). Отсюда: ~2" У' ~ 2" ( ьо ~ †) — 1! = !ио — Ц < )ио — о~ + ~о — Ц = )и — Ц + )э — 1! < 2. 1~) /Ь~ ~2" ) Это неравенство позволяет заключить, что с.
(,— "„) ми, следовательно, ~о( — „) =1, что и требовалось доказать. /6~ Так как (о16) = 1, то из доказанного вытекает, что ~о ~ — ) = 1 ~2" ) для л ю б о г о ц е л о г о и > О. Отсюда получаем, что тп Итак, ~о(х) = 1 для любого х = —. 2" Пусть теперь х — произвольное вещественное число. Построим последовательность рациональных чисел (г„)„ен такую, что Ьг„— ~ х при и -~ оо и г„= т„/2~", где р„ен, при каждом и. Так как функция (о непрерывна, то ~о(х) = 1пп Го(Ьг„).. С другой стороны, по доказанному, Го(йг„) = 1 при всех и и, значит, 1пп ~о(йг„) = 1, то есть ~о(х) = 1.
Поскольку х было взято произвольно, то тем самым нами установлено, что ~о1х) = 1, и, следовательно, Дх) = е'"* для всех х Е Й. Теорема доказана. ° 259 З 4. дополнительные сведения об элементарных функциях Результаты этого раздела могут быть переформулированы еще с другой точки зрения. алл ~ Пусть 6 — произвольное непустое множество. Предположим, что каждой паре (х, у), где х Е С, у Е С, сопоставлен некоторый т р е т и й элемент э = х ь у множества С. Иначе говоря, дано отображение (х,у)еСхС~ х*уеС. В этом случае говорят, что на множестве С о п р е д е л е н а некоторая бинарная операция в.
Множество 6 с бинарной операцией * называется еруппой, если оно удовлетворяет следующим трем условиям — а к с и о м а м г р у п п ы: 1) Лля любых х, у и э из С (хв у) эх = хе(уз э). 2) Существует элемент е Е С такой, что для любого х Е С х * е = е е х = х. 3) для всякого х Е С существует и при том единственный элемент у Е С такой, что х в у = у в х = е. Группа С называется номмугпапзивной или абелевой, если она удовлетворяет еще следующему условию.
К) Лля любых х н у из С имеет место равенство: хе у = у*х. Элемент е, существование которого следует из аксиомы 2), называется нейтральным элеменгпом еруппы. Элемент у (существованне которого следует из аксиомы 3)) называется обратпным к х элементом еруппы С и обозначается х Результат применения бинарной операции в группе к ее элементам х и у обозначается обычно символом х+ у или ху. Выражение х + у для обозначения бинарной операции обычно применяется т о л ь к о для коммутативных групп.
В этом случае для той же цели может использоваться также выражение ху. 2260 Гл. 3. Элементарные функции Нейтральный элемент группы называется также единицей или (в случае, когда группа коммутативна и бинарная операция обозначается с помощью символа «+») нулевым элеменщом и обозначается в первом случае символом 1, а во втором — символом О. Пусть С и Н вЂ” произвольные группы. Отображение у: С вЂ” ~ Н называется гомоморфиэмом, если для любых х, у Е С выполняется соотношение: ф(х» у) = зо(х) * 1о(у). Имеем след ю ие г ппы элементы кото ых с ть числа: 1. Множество всех вещественных чисел Й с обычным сложением в качестве бинарной операции на нем. 2.
Множество всех положительных вещественных чисел Й+ = (О,оо) с обычным умножением в качестве бикариой операции. 3. Множество э' всех комплексных чисел г, удовлетворяющих условию ~г~ = 1, с обычным умножением в качестве бинарной операции. Будем называть данные группы Й, Й+ и Б' основными числовыми группами. Пусть С и Н вЂ” основные числовые группы, причем С вЂ” одна из групп Й или Й+. Гомоморфизм ~р: С -~ Н называется непрерывным, если он представляет собой непрерывное отображение. Использ я введенные понятия мы можем тепе ь и е е о м л и- о в а т ь ез льтаты тео ем 4.4 — 4.8 след ю им об азам.
° Теорема 4.9. Всякий непрерывный гомоморфизм ~: Й -+ Й есть функция вида 1: х ь-~ 'хх; всякий непрерывный гомоморфизм 1: Й вЂ” Й+ есть функция вида у: х ~-~ а*; всякий непрерывный гомоморфизм 1: Й+ — Й есть функция вида у: х ~-~ к 1п х; всякий непрерывный гомоморфизм г: Й -~ Й+ есть функция вида у: х ~-~ х, где и Е Й; каждый непрерывный гомоморфнзм 1: Й -+ Я есть функция вида 1: х ~-~ е' Лля доказательства теоремы достаточно заметить, что условие,— что то или иное отображение есть гомоморфнзм, — как раз и означает, что для него выполнено соответствующее функциональное уравнение. 261 Задачи Задачи 3.1.
Пусть (с„)„ад есть числовая последовательность, определенная следую- 1+ с„ шими условиями: с1 = О и если с„определено, то спвт = 2 Показать, что при каждом и выполняются О < с„< 1 и 1ш1 с„= 1. Положим в„= ф:с~. Показать, что последовательность (2" вп)пси — возрастающая и предел 1цп 2"℠— конечен. Показать,что 3 < 1пп 2"в„ < 4. в„ (Указание: рассмощрещь последоватпельностпь (2" Ф ) сн, вдв Мп = —.) с„ 3 а м е ч а н и е: предел 1пп 2" в„есть не что иное, как известное число х — отношения длины окружности к ее диаметру; чтобы увидеть это, необходимо только понять геометрический смысл величины 2" в„.
3.2. Пусть тт = р/о, где р и д — целые числа, причем О < тт < 1. Найти верхний и нижний пределы последовательностей: ((ап))пен (в1пттпх)пел~ (совппх)пен (ьИппх)пен где (в) означает дробную часть числа (см. задачу 1.19). Найти верхний и нижний пределы последовательностей, если се — иррациональное вещественное число. 3.3. Показать, что предельные точки каждой из последовательностей (в1п(7Г1/и))псн', (в1п(х1пп))пед; (вщ(хп ))пбм~ (в1п(ттп!пп))пан заполняют весь отрезок ( — 1, 1). 3.4. Ланы функция в: и Е Й вш в и множество А. Показать, что если р Е Й есть предельная точка множества А, то в(р) есть предельная точка множества в(А). З.б. Показать, что всякая периодическая непрерывная функция /: Й вЂ” + Й ограничена и принимает свои наибольшее и наименьшее значения. Показать, что всякая непрерывная периодическая функция /: Й -+ Й равномерно непрерывна на Й. 3.6.
Пусть |: 1с — Й вЂ” непрерывная функция. Локазать, что если / имеет два периода Т1 > О и Тз > О таких, что отношение Тз/Т1 иррационально, то функция / — постоянна. 262 Гл. 3. Элементарные функции З.Т. Используя форвсулы Эйлера, вычислить суммы: Е ч ь вшйх — + 7 совйх — + р р сов йх у р вшйх. 2 2 Ьнг я=1 Ьн1 я=1 3.8. Доказать, что для всякого д Е Й последовательность х„(В) = ~т совйВ я=о не стремится ни к какому конечному пределу при п — + оо. 3.9. Доказать, что з = 1пп П сов-с+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
