1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Элементарными называются те и только те функции, определенные на подмножествах множества зс, которые можно получить применяя конечное число раз следующиетриправила:А,БиВ. А. Все функции из следующего списка являются элементарными: 1. Функция х»-+ х~, где т б Х» область определения которой в случае т > 0 есть все множество й» а в случае т < 0 есть множество 11 ~ (О). 2.
Функция х»-» х'А', где р и о — целые числа, р ф 0; область определения есть все множество й в случае > 0 и множество 2о+ 1 гг110), если < О. 2о+ 1 3. Функция х х, где о б Ж, о не есть число вида, указанного в предыдущих двух случаях; область определения есть множество [О, оо) в случае а > 0 и множество (О» оо) — в случае а < О. 4. Функция х»-» ехрх; область определения — все множество й.
5. Функция х»-+ 1п х; область определения — интервал (О, оо). 6. Функция х + соз х; область определения — все множество й. 7. Функция х»-» зщ х; обласгпь определения — все множество й. 8. Функция х» $8 х; область определения — множество всех х, отличных от числа вида — + тя где гп — произвольное целое. 9. Функция х»-+ агсзшх; область определения — сегмент [ — 1,1].
10. Функция х ~+ агссоз х; обласгпь определения — сегмент [ — 1, Ц. 11. Функция х»-» агс~И и; облаппь определения — все множество 1с. Перечисленные 11 функций называются баэисными элеменгпарными фуннииями. Б. Пусть даны множества А С й и В С й и функции у: А — й, д:В ж. Предположим, что А Г1 В ф И. Пусть Л» р — произвольные вещественные числа.
~ 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 229 С и м в о л а м и /д и Л/+ рд будем обозначать функции, определенные на множестве А П В следующим образом: (Л/+ ььд)(х) = ЛХ(х) + ььд(х), (/дНх) = Х(х)д(х). Если с у щ е с т в у е т, по крайней мере, одно значение х к А О В такое, что д(х) ф О, то о и р еде л им функцию —, полагая ~ — ) (х) = / //Л д = — для всякого х, для которого д(х) ф О. У(:) д(х) Область определения функции //д есть множество всех х к А П В таких, что д(х) ф О. Если функции / и д — элементарные, то функции Л/+ ид, /д и //д, определенные указанным здесь образом, также являются элементарными.
В. Пусть / ь А — ь ьк и д:  — ь й — элементпарньье функции. Тогда суперпоэицюя д о / также считается элементаарной функцией. 2.6. ЕипеРБОлические ФУнк ии Во многих вопросах математического анализа оказываются полезными некоторые специальные функции, называемые гиперболическими. Они принадлежат классу элементпарных функций и достаточно просто выражаются через функции, которые мы уже знаем. По своим алгебраическим свойствам гиперболические функцию во многом напоминают тригонометрические функции. Пля х Е ьк' полагаем: гЬх =; сЬх =; 1Ьх = . (2А) е* — е е*+ е е* — е 2 ' 2 ' с*+ е Определенные так функции зЬ, сЬ и 1Ь называются, соответственно, гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом и гиперболическим тпангенсом.
Областью определения каждой из них является все множество ьк. Очевидно, эти функции н е п р е р ы в н ы. Выражение зЬх читается: «синус гиперболический» х. Аналогичный способ чтения употребляется для выражений сЬ х и $Ь х. 230 Гл. 3. Элементарные функции Из (2.4) вытекает, что для любого х Е И е = сЬх+вЬх; е = сЬх — вЬх. (2,5) Для всякого х Е Й имеем: вЬ(-х) = — зЬ х; сЬ(-х) = сЬх; вЬ(-х) = — 1Ь х, (2.6) так что гннерболинесние синус и тангенс есть функции н е ч е т н ы е, а гинерболннесний носннус — функция ч е т н а я.
Отметим некото ые глгеб аические соотношения межд гине боличе- сними нк иями. Из определения гиперболического тангенса очевидно, что зЬх $Ьх = —. сЬх (2.7) Из равенств (2.5) следует, что для всех х Е И сЬ~ х — вЬ~ х = (сЬх+ вЬх)(сЬх — вЬх) = 1. (2.8) Для гннерболичесннх фуннннй имеют место соотношения, аналогичные известным представлениям носинуса и синуса суммы и разности. Именно, для любых х, у Е Й вЬ(х+ у) = зЬхсЬу+ сЬхвЬ у; (2.9) СЬ(х+ у) = сьхсьу+ вьхвьу.
(2.10) Лля доказательства равенств (2.9) и (2.10) воспользуемся тем, что, по определению: е +" — е * " е е" — е *е " зЬ(х+ у)— еев+е е" 2 (2.9) и (2.10). Выражая здесь е*, ев, е и е " через сЬх, зЬх, сЬу и зЬу по формулам (2.5), после очевидных преобразований, получим равенства з 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 231 Заменяя у на — у и принимая во внимание (2.8), получим: зЬ(х — у) = зЬхсЬу — сЬхвЬу; сЬ(х — у) = сЬ х сЬ у — зЬ х зЬ у. (2.11) (2.12) Из (2.9) — (2.12), в силу (2.7), вытекает, что для любых х, у Е И Сп аведливы еле ю ие вы ажения ля с ммы и взнести значений гине болических нк ий: зЬ х + зЬ у = 2 зЬ вЂ” сЬ— х+у х — у 2 2 (2.14) зЬх — зЬу = 2сЬ зЬ— х+у х — у 2 2 (2.15) х + у х — у сЬх+сЬу = 2сЬ сЬ вЂ”; 2 2 (2.18) сЬх — сЬу = 2зЬ зЬ— х+у х — у 2 2 (2.17) 6Ьх+6Ьу=; СЬх — 1Ьу= . (2.18) сЬхсЬу ' сЬхсЬу ' (Проверку формул (2.14) — (2.18) мы предоставляем читателю.) Отметим некото ые альнейшие с в о й с т в а гине болических функций.
Заметим, что зЬ О = $Ь О = О, а сЬ О = 1. В силу известного неравена+6 ства: > ма6, где а и 6 — положительные числа, для всякого х Е Й е*+ е справедливо сЬ х = > 1. 2 При х > О имеем е > 1 > е и, значит, зЬх > О. Из равенств (2.15) и (2.18) получаем, что при х > у выполняются неравенства зЬ х > зЬу, $Ьх > тЬ у, так что функции эЬ и тЬ вЂ” строео возрастающие. Применяя (2.17), получим, что если О < у < х, то сЬ х — сЬу > О, а если у < х < О, то сЬх — сЬу < О, так что еиперболичесниб косинус есть функция, с т р о г о у б ы в а ю щ а я в промежутке ( — со,О] и с т р о г о в о з р а с т а ю щ а я в промежутке [О, со). Гл.
3. Элементарные функции 232 Из соотношений 1нп е = оо, 1нп е = О, в силу свойств пре- я с.'О х — ао делов, установленных в ~ 4, очевидным образом вытекают следующие соотношения: 1цп вЬ т = — оо; 1нп вЬт = оо; 1нп сЬт = 1цп сЬт = оо; 1цп 1Ьх = — 1; 1нп ФЬт = 1. На рис. 11 представлены графики гиперболических функций, из которых видны основные особенности их поведения. Риа П По аналогии с об атными т игономет ическими нкциями вводятся о б а т н е гине болические нк ии. 1.
Функция вЬ вЂ” непрерывна и строго возрастает в промежутке ( — со,оо) =Р., 1нп вЬт = оо, 1нп вЬт = — оо. Отсюда следует, что она взаимно однозначно отображает множество И на себя и, значит, имеет нетьрерывную обратпмую фукюцию. Последняя обозначается символом АгвЬ (читается: «ареасинус гиперболический»). Функция АгвЬ вЂ” непрерывна и является строго возрастающей. $ 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 233 Пусть х Е й, у = АгзЬ х. Согласно определению обрагпиоб функции (гл.
1, и. 2.4), число у есть решение уравнения: е" — е " 2 = х. Полагая е" = я, получим: Отсюда я~ — 2хя — 1 = О. Решая это нвадрапзное уравнение, найдем: я = х ~ ~/Г+ хз. Так как, очевидно, я > О, то перед корнем здесь должен быть взят знак «+», и мы получаем: х = е" = х + ~/Г+ хз, откуда у = АгзЬ х = 1п(х+ /1 + хз). 2. Функция сЬ взаимно однозначно отображает й на промежуток ( — 1, 1). 0 б р а т н а я к ней функция обозначается символом АгФЬ (читается: «ареатангенс гиперболический»). Решая уравнение ея — е " ФЬу= =х, еэ + е-я найдем, что для всякого х Е ( — 1,1) выполняется равенство: 1 1+х Агйх = — 1и 2 1 — х Мы получаем, таким образом, выражение для Аг1Ь через другие известные нам функции. 3, Функция сЬ не является монотонной во всей своей области определения.
В связи с этим, так же как и в случае тригонометрических функций, выбирается некоторый промежуток, в котором эта функция монотонна. Рассмот им нк ию об атн ю к женкою сЬ на этом п омеж тке. В качестве указанного промежутка берется отрезок [О, оо). Функция сЬ, как следует из ее свойств, установленных выше, отображает данный промежуток на промежуток [1, оо). Функция, обратная к сухсекню функции сЬ на отрезке [О, ао), обозначается символом АгсЬ (читается: «ареакосинус гиперболический»). 234 Гл.
3. Элементарные функции Для х Е [1,со), согласно определению обратной функции, число у = АгсЬ х определяется следующими условиями: 1) у > О и 2) сЬ у = х. Решая уравнение е" +е" сЬу = 2 = хр получим: у = )п(х ~ ~/хз — 1). Заметим, что имеет место равенство: 1 х — ~хз — 1 = из которого, в частности, вытекает, что при х > 1 О < * — ~/хз — 1 < 1. Это позволяет заключить, что при х > 1 1п(х — ~/хз — 1) < О. Знак равенства здесь, очевидно, имеет место только в случае х = 1. Так как, по условию, у > О, то из доказанного следует, что в выражении для у перед корнем следует брать знак «+».
Окончательно мы получаем, что АгсЬ х = 1п(х + з/хз — 1) для всех х > 1. ~ 3. Сравнение поведения элементарных функций вблизи концов области определения Функции ехр, х и !и х являются возрастающими на промежутке (О,со) и стремятся к сс при х — ~ сс. При этом, однако, скорости их роста при х -~ сс различны.
Здесь мы описываем сначала некоторую систему понятий, используемую для сравнения поведения разных функций вблизи предельной точки множества, на котором они определены. Затем доказываются теоремы о сравнительном поведении в концах некоторого промежутка различных элементарных функций, определенных на этом промежутке. Результаты этого раздела существенно используются в дальнейшем в теории рядов, в интегральном исчислении и в других вопросах математического анализа. 235 З 3. Сравнение поведения элементарных функций 3.1. ПОНЯТИЕ ОВ АОИМНТОТИЧЕОКИХ ОООТНОШЕНИЯХ Рассмотрим последовательности Н п эеи п эеи Каждая из них является бесконечно малой при п — ~ оо, как следует из доказанного выше. Мы видим, что члены в т о р о й последовательности с ростом п приближаются к нулю б ы с т р е е, чем члены п е р в о й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
