1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

В случае ст > О она является строго возрастающей на промежутке [О, со). В случае ст < 0 функция х ~ х" является с т р о г о у б ы в а ю щ е й на промежутке (О, оо). Утверждение 6) теоремы 1.7, совместно с теоремой об обраптной функции, позволяет заключить, что степенная функция в случае ст > 0 209 З 1. Показательная, логарифмическая н степенная функции ° Теорема 1.8. Справедливо равенство: [1+ х) — 1 1пп = а. Доказательство.

В силу следствия 3 теоремы 2.1 [свойство локальности предела), при вычислении интересуюШего нас предела можно рассматривать только значения х > — 1. При х > — 1 имеем: [1+ х) — 1 ехр[а1п[1+ х)] — 1 ехр[а1п[1+ х)] — 1 1 (а 1п11+ х) а1п[1+х) / 1 х [1.18) Так как 1п есть непрерывная функция, то при х — ~ 0 а1п[1 + х) -~ а 1п 1 = О. По доказанному ранее [теорема 1.4), при у — ~ 0 ехр у — 1 ~ 1 у Применяя первую теорему о пределе суперпозиции [теорема 2.5 главы 2), получаем, что ехр[а 1п[1 + х)] — 1 1пп = 1. о а1п[1+ х) В силу утверждения в) теоремы 1.5, второй множитель в правой части равенства [1.18) стремится к а при х -~ 1.

Отсюда, переходя в равенстве [1.18) к пределу при х — О, получим [1+ х) — 1 а= 1пп ж О х что и требовалось доказать. ° отображает промежуток [О, оо) Aа себя, а в случае а ( 0 — отображает но себя промежуток [О, оо). При этом о б р а т н о й к функции х ~-~ х~ является функция 1 х ~-~ хн. В частности, полагал а = 2, мы получим, что обратной к функции х Е [О,со) — + х является функция х~~~, то есть х~~~ = /х. Полагая а = п Е М, мы получаем, что о б р а т н о й к функции х ~-~ х является функция х ~-+ х, то есть фх = х 210 Гл. 3. Элементарные функции Произвольная показательная фуннция определяется заданием некоторого положительного вещественного числа а, отличного от 1 и называемого основанием пвнаэательной фуннции.

Областью определения пвнаэательной фуннции является в с я числовая примял И. Ее значение в произвольной точке х б И есть число а*. Имеем: а* = ехр(х1па), ~ оо приа>1; 1пп а О, еслиО<а<1, и ~ О 1пп а е ОО ! оо 7 при а > 1; еслиО<а<1. Применяя теорему о непрерывной обратной фуннции (теорема 4.3 главы 2), получим, что функция х ~-+ а* отображает числовую прямую м на промежуток (О, оо). Функция, о б р а т н а я к х а*, обозначается символом!ок, и называется логарифмом по основанию а.

Если х б (О, оо) и у = 1ок, х, то, согласно определению обратной функции (см. главу 1, п. 2.4), имеем: х = а" = ехр(у 1п а). Решал зто уравнение, получим: 1п х = у 1п а, откуда !их 1ои, х = —. 1п а откуда следует, что функция х а н е и р е р ы в н а как суперпозиция двух непрерывных функций: ехр и х ~-+ х 1п а. Имеем: 1пе = 1и,значит,ехрх = ехр(х1пе) = е*длялюбогох Е И.

Таким образом, функция ехр представляет собой показательную фунюцию с основанием е. Утверждение 6) теоремы 1.7 позволяет заключить, что функция хам+а*является строго возрастающей вслучаеа>1и строго убывающей приО<а<1. Как следует из утверждения 8) теоремы 1.7, ~ 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 211 Полагая а = е, имеем !ок, х = 1п х. Таким образом, натпуральныб логарифм есть не что иное, как логарифм с основанием е.

а* — 1 ° Теорема 1.9. Пусть а > О, а ф 1. Тогда: !цп = !и а. *-о х Доказательство. Имеем: а* — 1 ехр(х 1п а) — 1 !и а. х х1па ехр у — 1 При у — + О, по доказанному, -+ 1, откуда следует, что у а* — 1 !и а при х — О, что и требовалось доказать. ° Теорема 1.9 показывает, что если х мало, то а — 1 в !па, х и, значит, а приближенно равно 1+ х !и а при малых — по абсолютной величине — значениях х. Тем самым получен ответ на вопрос: как выби ать число и чтобы в сл чае когда х мало можно было считать что а в 1 Йх? Именно, й есть нат альный лога и м числа !и а. ~2.

Тригонометрические функции. О61цее понятие элементарной функции В этом параграфе приводятся определения тригонометрических функций и перечень их основных свойств, Прн этом мы опираемся на ту информацию об этих функциях, каторги известна читателю из хурса средней школы. Наша цель, однако, — несколько упорядочить и систематизировать эти сведения. Кроме того, мы определим значении некоторых важных пределов, в которых фигурируют тригонометрические функции. Этн пределы понадобятся нам позднее прн определении производных тригонометрических функций. 2.1. СИНУС КОСИНУС И ТАНГЕНС На плоскости Е зададим декартову ортпогональнуто систпег4у координата с началом в точке О и осями Ох и Оу (см. рис.

4). 212 Гл. 3. Элементарные функции Координаты произвольной точки М на плоскости в этой системе нам удобнее обозначать здесь греческими буквами ~ и у (вместо х и у, как это делалось выше). Пусть Б означает окружносгпь радиуса, равного 1, с иенгпром в гпочке О. Ванная окружность определяется уравнением ~~ + у~ = 1, то есть представляет собой множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Обозначим через А и А' точки окружности Я, лежащие на оси О с п р а в а и, соответственно, с л е в а от точки О. Точка А имеет координаты (1, 0), А' — координаты ( — 1, 0). Пусть В и  — точки пересечения Я с осью Ог1, лежащие выше и, соответственно, н и ж е точки О. Часть плоскости, состоящую из всех точек, у которых вторая координата г1 > О, будем называть верхней полугьлоскостью.

Множество точек, для которых г1 < О, — нижней полуплоскосгпью. Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием длины дуги окружности и, в частности, с понятием длины окружности. Предполагается известным также и то, что длина окружности радиуса 1 равна 2т, где т есть число, лежащее в интервале (3,4). Приближенно, к = 3,141592654 .. Построим некоторое спеииальное отображение г, множества вещественных чисел Й на единичную окружность Я.

Зададим произвольно числохкй. Предположим сначала, что х лежит в промежутке ( — к,к). Если х = О, то полагаем Дх) = А. Пусть х ф О. На окружности Б построим дугу АМ, длина которой равна ~х~, лежащую в в е р х н е й полуплоскости в случае, когда х > О, в н и ж н е й полуплоскости, когда х < О. з 2. Тригонометрические функции.

Понятие элементарной функции 213 Конец этой дуги — т о ч к у М вЂ” и принимаем за ((х). В случае, когда х лежит в н е отрезка (-х, х), точка Дх) определяется следующим образом. Рассмотрим отношение х+н 2я Лля него найдется целое число Й такое, что й « — й+1. 2н Отсюда следует, что имеют место неравенства 2хх < х+ х < 2ях+ 2к -н<х — 2ях<х.

Таким образом, число х — 2т1с лежит в промежутке ( — к,я] и, значит, о п р е д е л е н а точка Дх — 2кх). Полагаем для данного х: Дх) = Дх — 2тй). Этим отображение ~ определяется п о л н о с т ь ю. Н а г л я д н о построенное отображение ~ может быть описано следующим образом (см. рис. 5). Представим себе, что по окружности Б движется точка в напра-' влении п р о т и в часовой стрелки с постоянной скоростью, равной 1, причем в момент времени х = 0 она с о в п а д а е т с точкой А.

214 Гл. 3. Элементарные функции Тогда Цх) означает п о л о ж е н и е, которое движущаяся точка занимает в момент времени х. Можно представить отображение ~ и н а ч е, а именно: числовую прямую И можно рассматривать как бесконечную в о б а к о н ц а «нить» нулевой толщины, изготовленную из нерастяжимого материала. Эту «нить» мысленно будем наматывать на цилиндрический вал, сечение которого есть окружность Б, так, чтобы точка 0 с о в м е с т ил а с ь с точкой А.

При этом п р а в а я полуось наматывается на окружность Б, вращаясь п р о т и в часовой стрелки, а л е в а я полуось при наматывании вращается п о часовой стрелке. Положение, которое в итоге займет точка х, и есть Цх). Из определения следует, что ~( — ) =В, Дх)=А', ~(- — ) =В'. Отображение ~обладает с вой с твом периодичности,а именно: для любых х1, хз таких, что хз — — х1 + 2т, в ы и о л и я е т с я равенство: Дхз) = Цх1). действительно, найдем целое число и такое, что хз — 2йт лежит в промежутке 1 — л,т). Существование такого й устанавливается применением следствия теоремы 4.4 п.

4.4.7 главы 1. Из него вытекает, что существует целое число р такое, что х1 1 р-1« — -- р. 2х 2 Зля и = 1 — р, как показывают простые вычисления, выполняются неравенства: — и < х1 — 2Ьг < т, что и требовалось доказать. Тогда, по определению, Дх~) = Дх1 — 2йх). Так как хз = х1+ 2я, то хз — 21«+ 1)х = х1 — 2хх и, значит, хз — 21х + 1)н также лежит в промежутке 1 — к, х). Следовательно, Дхз) = ~[хз — 21х + 1)х] = Цх1 — 2йх) = Дх1 ), что и требовалось доказать. Пусть х Е й.

Координата по оси 0~ точки Дх) обозначается символом соз х, а ее координата по оси 0~ — символом зш х. Поскольку х Е Й взято п р о и з в о л ь н о, то тем самым о п р е д е л е н ы вещественные функции х ~-~ созх, х ~-~ з1пх. 1Это з 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 215 — известные читателю из школьного курса математики тригонометрические функции — косинус и синус.) вшх Отношение называется, как известно, тангенсом х и обосов х значается символом1к х.

Характеристики

Список файлов книги