1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1 Пусть, например, а = 1+ . Возьмем произвольно число х > 1. То- 10000 гда найдется номер и б И такой,что ( + 10000)" — * — ( + 10000)"+' ' Положим ( 10000) Имеем, очевидно: э 1 1 « — 1+ 10000 Отсюда видим, что в представлении чисел э и эд — в десятичной системе счисления — первые три знака совпадают, так что э мало отличается от эы Если взять геометричесхую прогрессию с основанием 1 а=1+ 10000' то, используя такое ее свойство, что номер произведения двух членов прогрессии равен сумме их номеров, мы получим с п о с о б, позволяющий определять произведение произвольных двух чисел с тремя верными десятичными знаками.
Пусть даны э > 1 и г б М, г > 1, и л б М таково, что (1.17) Используя установленные свойства натурального логарифма, найдем некоторые оценки для числа п. Так как функция 1п — возрастающая, то из последних неравенств следует, что П э+1 1п (1+ -) <!пх < 1п(1+ -) Имеем: 204 Гл.
3. Элементарные функции 11 Полагая в неравенствах (1.14) х = (1 + — ), получим: г — > 1и (1+ — ) > —. г г г+1 Если и таково, что выполняются неравенства (1.17), то <!пх < —, г+1 г откуда получаем, что г 1пх < и < (~ + 1) 1пх и, значит, и = (г + в) 1пх, где 0 < е < 1. В частности, если г равно 10"', то величина и10 ™, где и определено неравенствами (1.17), почти равна натуральному логарифму числа х.
1.4. ОПЕРА ИЯ ВОЗВЕПЕНИЯ В СТЕПЕНЬ. СТЕПЕННАЯ ФУНК ИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНК ИЯ ° Теорема 1.6. Пусть дано число у > О. Тогда для всякого и Е М сушествует н притом единственное число х > О такое, что х" = у. /1 11оказательство. Пустьданоу > О. Положим: х = ехр ( — 1пу). ~,п Тогда х" = ехр ( — 1п у) = ехр(1п у) = у, так что данное х и есть искомое. Единственность х следует из того, чтофункция х ~ х" является строго возрастающей на промежутке 10,оо), что и требовалось доказать.
И Число х > О такое, что г" = у, обозначается символом ф~ или Х символом у и называется корнем и<И степени и из числа у. Имеем: Огу = г = ехр — !п у т Пусть х — произвольное рациональное число, х = —, где и й !(, а и' т — целое. В этом случае полагаем: „- — (уй)™. 205 ~ 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции Палее, к /1 у" =ехр( — 1пу), п откуда получаем,что у" = [ехр ( — !и у )1 = ехр (™ 1п у), то есть для всякого рационального числа и у = ехр1х!п у).
Таким образом, мы получаем на множестве р а ц и о н а л ь н ы х чисел Я функцию и ~ у . При этом для всякого и Е О будем иметь: у* = ехр(х1п у). Всякое число х Е !й является и р е д е л ь н о й точкой множества 0 и, в силу непрерывности функции ехр, существует предел: 1цп ехр111п и) = ехр1т!п у).
влео 3 н а ч е н и е этого предела и принимается за у для произвольного и Е !й, то есть у* = ехр!и 1п у). Ланное здесь определение того, чтб есть у для у > О и произвольного и Е Й, повторяет — с необходимыми уточнениями — то определение, которое обычно приводится в школьном курсе математики. Отметим, что если у = е = ехр 1, то у* = е* = ехр!и !п е) = ехр и. В дальнейшем вместо ехр и мы будем применять, как правило, более короткое обозначение: е*, оставляя запись: «ехр я» для того случая, когда х задается каким-либо громоздким выражением, которое неудобно писать на месте показателя степени.
° Теорема 1.7. Справедливы следующие утверждению 1) 1п 1у ) = и !п у для всякого у > 0 и любого и Е Й; 2) уя' ° у ' = у '+ ' для любых в1 Е 1а, хз Е 1а и любого у > О; 3) у~* уз = 1у1уз) для любых положительных чисел у1 и уз и любого х Е !й; 4) у ' > О и !у ')*' = у*' ' для всякого у > 0 и любых т1 и из,. 5) Пусть уз > у1 > О. Если и > О, то уз* > у1, а если х < О, то уз < у1 206 Гл.
3. Элементарные функции 6) Пусть хз > хд. Тогда для всякого у > О, если у > 1, то у з > у*', а если у < 1, то у*' < у~д. 7) Пусть х Е й отлично от нуля. Тогда 0 прих >0; 1пп у з з 1 оо прих<0, ~ оо при х > 0; 1пп у я 1 0 прих<0. 8) Пусть у > О, у ~ 1. Тогда ( О, еслну>1; 1пп у -оо 1 оо, если у < 1, ~ оо, еслну>1; 1пп у О, если у<1. Доказательство. Предложение 1) непосредственно следует из определения у и соотношения 1п(ехрз) = з. 2) Имеем: у*' ° у з = (ехр(хд 1пу)) ° (ехр(хз 1пу)) = = ехр(хд 1п у + хз 1п у) = ехр[(хд + хз) 1п у] = у*' что и требовалось доказать. 3) Пусть уд > О, уз > О. Тогда уд уз = [ехр(х1пуд)] [хехр(1пуз)] = [ехр(х1пуд + х1пуз)] = = ехр[х1п(уд уз)] = (удуз), и предложение 3) доказано. 4) Пусть даны у > 0 и хд,хз Е й.
Имеем: у*' = ехр(хд 1п у) и так как функция ехр принимает т о л ь к о положительные значения, то, значит, у*' > О. По определению (у ') ' = ехр(хз 1пу*'). Согласно предложению 1), 1п у*' = хд 1и у. Отсюда (у*') з = ехр(хдхз 1пу) = у д*з, 207 г 1. Показательная, логарифмическая и степеннял функции и тем самым доказано утверждение 4). 5) Пусть уг > уг > О.
Тогда 1п уг > 1п уг. Таким образом, при х > 0 выполняется х1пуг > х1пуг, а при х < 0 выполняется х1пуг < х1пуг. Отсюда получаем, что если х > О, то уг* = ехр(х 1п уг) > ехр(х1п уг) = уг а в случае, когда х < О, будем иметь: уз* = ехр(х 1п уг) < ехр(х 1п уг ) = уг*. 6) Пусть хг > х1. При у > 1 будет 1п у > 1п 1 = 0 и, следовательно, В этом случае хг !п у > хг 1п у, откуда у" = ехр(хг 1п у) > ехр(хг!ну) = у*'.
При у < 1 имеем 1п у < 1п1 = О, откуда хг 1п у < хг!и у и, значит, у ' = ехр(хг 1п у) < ехр(хг!ну) = у '. 7) Имеем: у* = ехр(х 1и у). При у — О выполняется 1п у -+ — оо и, стало быть, в случае, когда х > О, при у — ~ 0 будет х1пу — ~ — оо, а в случае х < 0 при у — ~ 0 будет х !п у — ~ оо. Известно, что ехр и -+ 0 при и — — оо и ехр и -+ оо при и — оо. Отсюда, на основании второй тиеоремы о пределе сложной функ иии (теорема 2.6, глава 2), все условия которой здесь выполнены, вытекает, что при у — ~ 0 величина у стремится к пределу, равному О, если х > О, и равному оо, если х < О. При у — ~ оо справедливо 1пу — ~ оо и, значит, х1пу — ~ оо, если х > О, и х 1п у -+ — оо, если х < О.
Отсюда следует, что 1 оо прих>0; 1нп у я- 1 0 прих<0. 6) Имеем: у = ехр1х !п у). При у > 1 справедливо!и у > 1п 1 = О, а при у < 1 выполняется неравенство 1п у < 1п1 = О. Отсюда следует, что если у > 1, то при х — ~ со будем иметь: у = ехр(х1п у) -~ оо, а если у < 1, то при х -+ оо будет у — + О. Аналогично доказывается, что при х -+ -оо будет у' -~ 0 в случае, когда у > 1, и у* — + оо в случае, когда у < 1. Теорема доказана. ° 208 Гл. 3. Элементарные функции Оп елим некото ый класс нк ий называемых стпепенными. Стпепенная функция определяется заданием некоторого числа о, называемого показатпелем стпепенной функции. Сначала определим понятие степенной функции для случая, когда показатель ет есть целое число.
Пусть ет > О. В этом случае в качестве областпи определения функции х т х" берется все множество й. Если ст = О, то функцию х ~ х считаем тождественно равной 1. Если ст > О, то ст Е М, и в этом случае х определяется обычным образом, как произведение ст одинаковых множителей, равных х.
Если а < 0 есть целое число, то областпью определения функции х х служит множество й ~ (0). Для х б й '1 (0) в этом случае а 1 -а полагаем: х = —. 1Число — а принадлежит И, так что х уже х-а' определено.) тп В случае, когда ет есть рациональное число вида:, где тп— 2й+ 1' целое, х б М, областью определения функции х ь х" является: при ст > 0 множество й, а при тт < 0 — множество м ~ (0). Для х > 0 величина х" определяется как указано выше, то есть равенством: х = ехр( ст 1п х). При х < 0 для ст = ™ полагаем: 2й+ 1 ( т )Яъ В этом случае считаем, что для х = 0 будет х = О, если ст > О, а если ст < О, то х не определено при х = О.
Наконец, если показатель о не соответствует н и о д н о м у из рассмотренных случаев, то областаь определения стпепенной функции х т+ х" в случае ст > 0 есть промежуток [О,оо). При этом мы будем считать, что 0 = О. Если же а < О, то обласпзью определения функции х ~ х является и н т е р в а л 10,со). Функция х х н е п р е р ы в н а в каждой точке своей областпи определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
