1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 37
Текст из файла (страница 37)
й ° Теорема 1.2. Лля любых х, у Е й выполняется равенство: ехр х ехр у = ехр1х + у). Доказательство. Имеем: ехрхехру = 1пп (1+ — ) !пп (1+ — ) ( .). = П (1+*+У+ — 'У,) = И (1+ — "), где и„= х + у+ ху/и. При и — со выполняется и„-~ х + у. На основании леммы 1.2, отсюда следует, что и„~" ехрх ехру = 1пп (1+ — ) = ехр(х+ у), ( ) и тем самым теорема доказана. ° 196 Гл. 3. Элементарные функции Т Следствие 1. Лля всякого х Е й выполняется равенство: (ехр х)(ехр1 — х)) = 1.
Действительно, полагая в теореме 1.2 у = — х, получим: (ехр х)(ехр1 — х)) = ехр О = 1, что и требовалось доказать. Т Следствие 2. Для всякого х е й справедливо ехр х > О. Действительно, следствие 1 позволяет заключить, что ехр х ~ О для всех х Е Й. Далее, по теореме 1.2, имеем: ехр х = ехр ( — + — ) = (ехр — ) и, значит, ехр х > О. Следствие 3. Для любого конечного множества чисел хы хг, ..., х„имеет место равенство: (ехр хг )(ехр хг) ° ..
(ехр х„) = ехр(хг + хг + ° + х„). Локазательство индукцией по и — очевидно. Из школьного курса математики читателю известно п о н я т и е показательной функции х ~ аа, где а — положительное число, отличное от единицы. Определение того, что есть а» для произвольных а > О, а ф 1 и х Е Ж, которое дается в школьном курсе математики, не опирается на строгую теорию вещественного числа и потому не может считаться строгим.
В числе свойств «школьной показательной функции» отметим следующее. Пля любых х1 и хг имеет место равенство: а~1 а~э — а~1+~г Полагал а* = Дх), это равенство можно записать следующим образом: 1(х1 Щхг ) = Дхг + хг). В силу теоремы 1.2, это свойство показательных функций имеет место также и для функции ехр. 197 З 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции Полагая в следствии 3 хо = хз = ° ° = х„= х, получим, что для всякого х Е Й справедливо [ехр х]" = ехр пх. ° Теорема 1.3. Функция ехр является непрерывной и строго возрастающей на множестве Й. При этом 1цп ехрх = оо; 1цп ехрх = О.
Дохазательстао. Зля всякого х Е ( — 1,1), как было показано ранее, имеют место неравенства: 1 1+х < ехрх < 1 — х При х — ~ О крайние функции в этих неравенствах имеют общи й и р е д е л, равный 1, откуда следует, что 1пп ехр х = 1. я о Зля произвольных х, хо Е Й имеем: ехр х = (ехр хо)[ехр(х — хо)) По доказанному, 1цп ехр(х — хо) = 1цп ехр х = 1, я яо -о откуда вытекает, что 1цп ехрх = ехрха. яо Н е и р е р ы в н о с т ь функции ехр тем самым установлена.
Пусть хг, хз Е м' таковы, что хо < хз. Имеем: ехрхз = (ехрхо)(ехр(хз — хо)) > ехрх~(1+ хо — хг) > ехрхг. Тем самым д о к а з а н о, что ехр есть старого возрастпающая фунюцця. Неравенство ехр х > 1 + х позволяет заключить, что 1пп ехрх = оо. 198 Гл. 3. Элементарные функции Наконец, из неравенств 1 0<ехрх< —, 1 — х выполнкющихся при х < 1, следует, что 1пп ехр х = О.
Теорема доказана. И На рис. 2 представлен график функции у = ехр х. ° Теорема 1.4. Справедливо равенство: ехр х — 1 1пп = 1. а х Доказательство. При х Е ( — 1, 1) имеем: 1 1+х < ехрх < 1 — х Отсюда х х < ехр х — 1 <— 1 — х и, значит, ехрх — 1 1 х 1 — х при 0 < х < 1 и ехрх — 1 1 1) )— 1 — х при — 1<х<0. 199 З 1. Показательная, логарифмическая и стеленная функции Е ( — 1, 1), отличных от О, отношение 1 1 и —.
1 — х Таким образом, для всех х ехр х — 1 лежит между числами х Так как 1 1пп 1 = !пп — = 1, т о х о1 — х то, в силу тпеоремы о эахсатпой переменной (теорема 1.5 главы 2), отсюда вытекает, что ехр х — 1 1= 1пп *-о х Теорема доказана. И 1.3. ФУНК ИЯ НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ Согласно теореме 1.3, функция ехр является непрерывной и строго возрастающей на множестве всех вещественных чисел 1с. При этом 1пп ехр х = 0; 1пп ехр х = оо.
ехр(1пх) = х, (1.10) и для любого х Е Й справедливо соотношение: 1п(ехрх) = х. (1.11) По теореме о непрерыеной обратпной фунниии (теорема 4.3 главы 2), отсюда вытекает, что функция ехр взаимно однозначно отображает множество й на промежуток (О, со) и имеет непрерывную обратпную фунниию. Функция, обратпная н функции ехр, обозначается символом 1п. Согласно теореме 4.3 главы 2, областпью определения фунниии 1п является промежуток (О,со). При этом по той же теореме функция 1п является непрерывной и строго возрастающей и отображает промежуток (О,оо) на 1с.
Согласно определению обратпной фунниии, для х Е (О, оо) число 1п х есть значение у Е 1к такое, что х = ехр у. Число у = 1и х Е 1с такое, что х = ехр у, называется натпуральншл логарифмом х. По определению, если ехр у = х, то у = 1п х. Отсюда вытекает, что для всякого х > 0 выполняется равенство: 200 Гл. 3. Элементарные функции Заметим,что так как ехрО = 1, то 1п 1 = О. (1.12) ° Теорема 1.5. Функция натуральный логарифм непрерывна, является строго возрастающей в промежутке (О, оо) и обладает следующими свойствами: а) для любых хмхг 6 (О,оо) Х1 1п — = 1п Х1 — 1п хг ', хг 1П(Х1Х2) 1ПХ1 + 1ПХ2~ (1.13) б) для всякого х > О 1 х — 1>1пх>1 — —; х' (1.14) в) справедливо соотношение: 1п(1+ х) 1пп =1; г в х (1.15) г) выполняются равенства: (1.16) 1пп 1П х = — оо; ж 0 1пп 1пх = оо. Х1 Х1 =Х2 —, хг откуда Х1 1П Х1 — 1П Х2 + !П Х2 Следовательно, Х1 1П вЂ” = 1ПХ1 — 1пхг, Хг Доказательство.
То, что функция 1п непрерывна и является строго возрастающей, как было сказано выше, следует из ее определения и из тиеоремы о непрерывной обратимой функцни (теорема 4.3 главы 2). а) Пусть х1 > О, хг > О. Положим 1п х1 = у1, 1пхг = уг. Тогда ехр(у1+ +уг) = (ехру,)(ехруг) = хгхг и, значит, у1 + уг = 1п(хгхг), и и е р в о е из равенств (1.13) до к аз а н о. Для доказательства в т о р о г о равенства заметим, что 201 ~ 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции что и требовалось доказать. б) Пусть у = 1пх.
Тогда х = екру > у+ 1 = 1пх+ 1, откуда вытекает п е р в о е из неравенств (1.14). В т о р о е получается из первого, если заметить, что для всякого х>О 1 1и х + 1п — = )и 1 = О х 1 и, стало быть, 1п — = — 1п х. х 1 Заменяя в доказанном неравенстве х на —, получим: х' 1 1 — — 1 > 1п — = — 1п х, х х 1 откуда 1пх > 1 — —. в) Заменяя в неравенстве (1.14) х на 1+х, получим, что при х > — 1 * > 1п(1+ х) > 1— 1+х 1+х Отсюда заключаем, что при х > 0 имеем: 1п(1+ х) 1 1+х а при х ( 0 получим: 1п(1+ х) 1 1+х Таким образом, при х Е ( — 1,со) отношение лежит ме- 1п(1+ х) 1 жду 1 и —.
Так как 1+и 1 1пп = 1пп1=1, о1+х, а то, в силу тпеоремы о зажатиой переменной (глава 2, теорема 1.5), получаем, что 1п(1+ х) 1пп о х 202 Гл. 3. Элементарные функции г) Так как, по доказанному, функция !и — монотпонна, то существуют пределы 1пи !и х = 1; 1пи 1и х = Х. При эхом, согласно тпеореме о пределе монотпонной функции (теорема 3.1 главы 2), предел !пп !их равен точной н и ж н е й границе з о функции 1и, а предел 1пи 1их равен ее точной в е р х н е й границе. Так как функция 1и отображает промежуток (О, оо) на все множество Йт то тпочная нижняя граница функции !и равна точной нижней границе множестпва 1с, то есть — оо, а тпочная верхняя граница 1их равна зирж = оо. На основании тпеоремы о пределе монотпонной функции (теорема 3.1 главы 2), из сказанного вытекает, что 1ци 1и х = !пав !и х = 1и!'Й = — оо, о я(о, ) 1пи 1их зир !их = зирй = оо.
те(о,со) Теорема доказана. И На рис. 3 представлен график функции у = 1и х. Рис. 3 Равенства (1.13) показывают, в частности, что введеннвя здесь функция 1и обладает тем основным свойством логарифмов, которое определило их роль в истории науки. А именно: применение логарифмов позволяет свести операции умножения н деления чисел к значительно менее трудоемким операциям сложения и вычитания. Таблицы логарифмов еще не так давно были одним из основных инструментов в области приложений математики. (В связи с развитием вычислительной техники, прикладное значение таблиц логарифмов в настоящее время утрачено.) Открытию логарифмов предшествовало такое наблюдение. Предположим, что мы имеем некоторую геометрическую прогрессию: а аз аз ...
ав 2 1. Показательная, логарифмическая и стеленная функции Чтобы найти произведение каких-либо двух членов этой прогрессии, достаточно сложить их номера. Произведение также будет членом данной прогрессии, и полученная сумма равна номеру этого произведения. Если а = 2 или а = 10, то данное утверждение можно отнести к числу математических курьезов, не имеющих серьезного практического значения. Ведь перемножать степени двойки или десятки в жизни приходится не так уж часто. Ситуация радикально меняется, если взять число а достаточно близким к единице. Тогда числа а", где и = 1, 2,..., будут располагаться на числовой прямой яс достаточно плотно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
