1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Величина Фй х о и р е д е л е н а только для тех х, для которых сов х ~ О. Отметим некото ые с в о й с т в а син са косин са и тангенса. Прежде всего, имеют место равенства: 81п( — 1г) = 81п О = 81п 1г = О; вш( — — = — 1; вгп — =1; соз( — и) = сов 1г = -1; сов О = 1; соз (--1 = сов — = О. 2/ 2 Сп а ливы также так называемые о м лы и и ения: 81п(1г — х) = вш х; сов(я — х) = — сов х; 81п 1' — — х = созх; сов 1- — х = 81пх; 81п( — х) = — 81пх; соз( — х) = соя х; 81п(х+1г) = — 81пх; сов(х+1г) = — совх. Для всякого целого иг 81п(х + и1г) = ( — 1)" 81п х; сов(х + их) = ( — 1)" сов х.

В частности, полагая и = 2ги, где т — целое, получим: в!п(х+ 2т1г) = вшх; сов(х+ 2т1г) = сов х. Для всякого х Е Й, для которого о и р е д е л е н а величина зй х, выполняются равенства: сй (-х) = — Сй х; Сй(х+ т) = 1к х. 216 Гл. 3. Элементарные функции Функция х вгпх является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й в промежутке [ — —,— 1 и строго убывающей вкаждомиз 2' 2~ промежутков — -т, — — ~; ~-, — т . 2 ' 2~' [2'2 Функция х сов х является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й в промежутке [ — т, 0] и с т р о г о у б ы в а ю щ е й в промежутке [О,т]. Совокупность решений уравнения совх = 0 есть множество чисел вида: — + т-г где т — произвольное целое число. 7 Отсюда вытекает, что область определения функции х $6х есть множество всех чисел, которые не могут быть прецставлевы в виде: т х = — +тт, 2 где т — целое число, то есть область определеыия функции х ~6 х есть объединение счетного множества интервалов ( — — + тт, — + тл), 2 '2 где гп Е Е.

График функции х вгпх [см. рис. 6) называют синусоидой. Ои состоит из повторяющихся волн — выступов и впадин. При этом отдельные выступы и впадины получаются друг из друга параллельиым переносом вдоль оси Ох. Риа 6 Каждый выступ отдельной волны симметричен относительно прямой, проходящей через его наивысшую точку и параллельной оси Оу. Аналогичная картина имеет место для впадин волн с той лишь разиицей, что тут берется иаииизшая точка отдельной волны. [Отиосительио первой валлы, отвечающей промежутку [О, т], это вытекает из равенства вгп[т — х) = вгпх.) з 2. тригонометрические функции. понятие элементарной функции 217 Участок г р а ф и к а с и н у с а, соответствующий промежутку [ — к,О] с и м м е т р и ч е н относительно точки О участку, соответствующему отрезку [О, к]. (Этот факт следует из равенства вш( — х) = — вгп х.) Г р а ф и к к о с и н у с а есть та же синусоида, но сдвинутая в л е во на — с тем чтобы вершина п е р во й вол н ы синусоцдьг 2 оказалась лежащей н а о с и Оу.

Функциях~+1йхявляется строго возрастающей в промежутке (--, -). 2'2' 7Г Ясно, что вгц х — ~ 1, сов х — ~ О при х -+ — и вш х — + — 1, сов х — ~ О при х -+ --. 2 т гг~ В интервале (- — — ~ гсосииус положителен. Отсюда вытекает 2' 2г' ) что $й х — ~ оо, когда х стремится к — с л е в а, и Фй х — + — оо при х, стремящемся к — — с п р а в а. 2 218 Гл. 3. Элементарные функции Г р а ф и к ф у н к ц и и х»-» ~8 х имеет вид, указанный на рис.7,иполучается параллельным переносом егочасти соответствующей промежутку — — — на величину тк где т » 2' 2/' — произвольное целое число. В связи с пе ечисленными свойствами т игономет ических нкций вне емнекото ые об ие понятия.

Пусть дано множество А С й. Будем говорить, что А — симметрично относительно тонни О, если для всякого х Е А также и — х Е А. Функция ~: А — й, где А С й, называется четной (нечетной), если ее область определения симметрична относительно тонни О, и для всякого х Е А выполняется равенство: Д вЂ” х) = Дх) (соответственно, Д вЂ” х) = — у(х)). Функция х»-» х", где и — целое число, является ч е т н о й при и ч е т н о м и н е ч е т н о й, если и — н е ч е т н о е число.

Множество й» очевидным образом, с и м м е т р и ч н о относительно точки О. Лля всякого х Е Й имеем: вш( — х) = — вш х; сов( — х) = сов х, и, следовательно, синус есть н е ч е т н а я, а косинус — ч е т н а я функции переменной х. Пусть А с й, А ~ И. Функция У: А — К называется периодичесной, если с у щ е с т в у е т число Ь ф О такое, что для любого х Е А точки х — Ь и х + Ь принадлежат А, и имеет место равенство: Дх + Ь) = Дх). Число Ь при этом называется периодом фунниии у. о р .р...

»в» „р -б.ащ~ ща Одно налагается на область определения, а другое — на саму функцию. Синус и носинус являются п е р и о д и ч е с к и м и функциями с периодом, равным 2к. Тангенс также есть п е р и о д и ч е с к а я функция с периодом, равным и. О~метим, что условие, налагаемое на область определения функции для синуса и носинуса, выполняется автоматически, поскольку для этих функций она с о в п а д а е т со всем множеством Й.

Проверка того, что область определения тангенса также удовлетворяет соответствующему условию, — предоставляется читателю. П уведем некото ые гие соотношения относя неся к т игономет- ическим нк ням. Зля всякого х Е Й имеет место равенство: вш х+сов х = 1. г г з 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 219 Пля любых х,у б Й имеют место соотношения: сов(х+ у) = созх сов у — в1пхвшу; сов(х — у) = соз х сов у + в1п х вш у; в1п(х + у) = вш х сов у + сов х зш у; вш(х — у) = вш х сов у — сов х вш у; 18 х+18 у 1 — $8 хай у Последнее равенство выполняется для любых х, у, для которых каждая из величин, стоящих слева и справа, и м е е т с м ы с л.

Пля любых х,у Е Й имеют место также равенства: х+у х — у вшх+ вшу = 2вш сов х+у . х — у зш х — в1п у = 2 соз вш х+у х — у совх + сов у = 2 сов сов х + у . х — у сов х — сов у = — 2 зш зш —; 2 2 вш(х+ у) зш(х — у) Сбх+СЕУ= 1Кх — Фку= сов х сов у сов х соз у 1 вес: х Е Й»-» —; сов х 1 соз х совес: х Е Й»-» —.; сааб: х б зс»-» —. вшх' з1п х Эти функции называются, соответственно, сенансом, носенансом и нопзангенсом. вшх 2.2. ПРЕЛЕЛ 1пп— о х ° Лемма 2.1. Для всякого х е й такого, что О < х < —, имеют место неравенства: в1п х < х < СЕ х. Доказательство.

Пусть О < х < т/2. На плоскости построим (см. рис. 8) круг радиуса г > О с центром О. Последние два равенства в е р н ы для любых х и у, для которых каждое из выражений, стоящих в них, и м е е т с м ы с л. Кроме перечисленных выше тригонометрических функций, иногда рассматриваются также следующие: 220 Гл. 3. Элементарные функции Ыа окружности круга возьмем произвольно точки А и В такие, что длина к р а т ч а й ш е й из дуг, на которые они разбивают окружность, равна тх. С и м в о л о м АВ будем обозначать именно эту дугу. В точке А проведем ьасангельнуге к окружности, и пусть Вг есть точка, в которой она пересекает прямую ОВ (см.

рис. 8). Рассмотрим треугольники Ьг = ОАВ, Ьг = ОАВг и круговой сектор Е = ОАВ. Треугольник Ьг содержится в круговом секторе Е, который, в свою очередь, содержится в треугольнике Ьг. Отсюда вытекает, что площади этих трех фигур связаны неравенствами: площадь Ьг < плошадь Е < плошадь Ьг. (2.1) Треугольник Ьг — равнобедренный, угол при его вершине О равен т и (ОА~ = ~ОВ) = т. Треугольник Ьг — прямоугольный.

При этом угол при его вершине А прямой, и ~АВг~ = таей х. На основании известных из элементарной геометрии выражений для площадей указанных трех фигур имеем: тг т площадь Ьг = — згц х; площадь Е = — х; 2 2 г площадь Ьг = — $8 т. 2 Подставляя данные выражения для площадей в (2.1) и сокращая положительный множитель тт(2, получаем: згц х < т < $8 х, что и требовалось доказать.

° ~ 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 221 Следствие 1. Для всякого х б ( — —, — ~ имеет место неравен- 2' 2/ ство: )вшх( < (х!. Пействительно, если х > О, то вш х > О, и требуемое неравенство есть непосредственное следствие леммы 2.1. Пусть х < О. Тогда вгпх < О и ~х! = — х, )вгпх! = — вшх = вш1 — х), откуда, в силу леммы 2.1, вновь следует ) вш х( < — х = (х), что и требовалось доказать. Следствие 2.

Функции х ~-~ вшх, х ~ — ~ сов х и х ~-+ 1б х непрерывны. Лоназательство. Возьмем произвольно точку хо Е й. Пусть х Е Й таково, что ~х — ха~ < х. Применяя соотношения между тригонометрическими функциями из и. 2.1, получим: х — хо вгп х — хо в1п Заметим, что — 1 < вш х < 1 и — 1 < сов х < 1 для всех х б И. Так ~ х — хо! 7г как ~х — хо~ < х, то ~ < —. Отсюда получаем неравенства: 2 ~ 2 ) вакх — вгпхо~ < 1х — ха!~ ~ сов х — сов хо~ < )х — хо!.

Характеристики

Список файлов книги