1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Оказывается, что все основные элементарные функции могут быть охарактеризованы подобного рода свойством. Доказательство этого приводится далее. 4.1. О ФУНК ИИ ех В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 4.1.1. В з 2 величина е' была определена для произвольного комплексного числа з = х + 1у. Это определение основано на использовании некоторых свойств тригонометрических функций. Покажем, что для всякого х б ь. существует предел 1пп (1+ — ) и значение его в точности совпадает с тем значением е', которое было указано в п.
2.4 этой главы. Пальнейший план действий таков. Сначала будет установлено, что для всякого комплексного числа х существует предел: з» 1пп ~1 + — ) 243 З 4. Лополнительные сведения об элементарных функциях Иначе говоря, будет доказано, что у последовательности с общим к ~ »» членом ~1+ — ) некоторая специальная подпоследовательность имеет предел.
Используя свойства предела этой подпоследовательности, можк ~ »» но доказать и существование предела 1пп 1+ — ) для любого ком»» оо» и плексного числа ю Функция Р: С»-» С называется полипомом стпепепи ~е ение и, если существуют комплексные числа сс,сд,..., с„такие, что РЯ = со + сдз+ ° ° ° + с„к" = ) ськ (4.1) ° Лемма 4.1. Если Р есть позитивный полипом, то для всякого комплексного числа я справедливо неравенство: !Р( )! < Р(®. Дохазательстно.
Пусть РЯ =со+сдк+ +с„к"» где со,сд,... с„— неотрицательные вещественные числа. Тогда имеем: )Р(к)! < (со~+ )сд)Ц+ "+ )с„~)к!". Так как коэффициенты сь, й = 0,1,2,... и, суть неотрицательные вещественные числа, то ~сь~ = сь при каждом 1с. Отсюда получаем: (Р(к)~ < се+ сдЦ+ +с„Ц" = Р(ЦО» что и требовалось доказать. ° Нетрудно видеть, что сумма любого числа позитивных полиномов есть позитивный полипом. Произведение двух, а значит, и любого числа позитивных полиномов также является позитивным полиномом. для всех я б С. Числа сс,сд,...,с„называются коэффпддиенпдамп полппома Р. Коэффициент сэ называется его свободны.и членом. Имеем, очевидно: со = РЯ.
Полином Р называется поэпгпиепьдм, если коэффициенты сэ» сд,... ..., с„в равенстве (4.1) суть неотрицательные вещественные числа. 244 Гл. 3. Элементарные функции ° Лемма 4.2. Пусть р и д — произвольные комплексные числа. Юля и б М положим й„= 2". При всяком и б М выполняется равенство: Показательство легко осуществляется индукцией по и. Предоставляем читателю подробное проведение необходимых рассуждений.
° 4.1.2. Покажем существование предела некоторой подпоследовательно- ~ П сти последовательности с общим членом Р„(з) = (1+ -] и '~ кп Положим: Е (з) = (1+ — ) Аь ° Лемма 4.3. Пусть и > Π— целое число. Тогда для любого с й М разность Е„+ь(з) — Е„(з) представляет собой позитивный полипом. Доказательство. При всяком Й б М имеем: Е„+ь(з) — Е„(з) = = [Ею+1(з) — Е„(з)] + [Еи.~.з(з) — Ед+1(з)] +... " + [Еп+ь(з) — Е +ь-1(з)]. Отсюда ясно, что для доказательства леммы достаточно убедиться, что при всяком целом и > О разность Е„+1(з) — Е„(з) является позитивным полиномом.
Имеем: Н„+1 — — 2Н„. Отсюда получаем, что Е +1(з) = 1+ = 1+ — = 1+ — +— Воспользуемся результатом леммы 4.2, полагая в ней 3 3 р= 1+ — + — = 1+— 4„44'„'1 4„„) ' 245 З 4. Лополнительные сведения об элементарных функциях Получим: г Е-. ()- -()=,— '„, Ц ь=э Каждый множитель справа является позитивным полиномом. Произведение конечного числа позитивных полиномов 1как сказано выше) есть позитивный полипом. Отсюда вытекает, что разность Е„+г(х) — Е„(я) является позитивным полиномом.
Лемма доказана. ° ° Лемма 4.4. Для всякого я б С существует предел." гп 1пп ~1+ — ) Доказательство. Пусть пг, пг Е М, причем пг < пг. В силу леммы 4.3, разность Е„г(х) — Е„,(я) является позитивным полиномом. Отсюда вытекает, что для всякого х б С выполняется неравенство: Зададим произвольно х б С. Как доказано в з 1, существует конечный предел оп Е„(Ц). Зададим произвольно е > О.
Согласно гсрипгерию сходимоспги Коши — Больцано, по нему найдется номер п такой, что для любых п', пп' > п выполняется неравенство: )Е„~ц® — Е„(Ц)~ < е. Возьмем произвольно п > и и пгг > п. Пусть пг есть наименьшее, пг — наибольшее из чисел п' и п". Имеем, очевидно: ~Е„Я вЂ” Е„(я)~ = (Е„г(я) — Е„,(х)! < Е„Ях0 — Е„,(~х0 < е. Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что для последовательности (Е„(х))эен выполняются условия признана сяодимоспги Коши — Больпано.
Лемма доказана. ° ги 4.1,3. Предел 1пп (1+ — ), где х — произвольное комплексное чи- 2" ) ело, обозначим символом Е(х). 246 Гл. 3. Элементарные функции Установим некото ые с в о й с т в а оп еленной таким об азом нкции пе еменной «С которые позволят нам заключить, что Е(») = ехр» = е*(со«у+ гз1пу) для всякого «Е С. 1Ксли» Е П, то это непосредственно следует из определения К(«).) ° Лемма 4.5.
Пусть («„)„ен есть схадяшался последовательность комплексных чисел и с = 1пп»„. Положим: г. Тогда отношение — имеет предел, равный единице. С Дохазательстно. Пусть с = 1пп»„= О. При каждом и Е М полипом Р„( ) = (1+ Ч )Р„(«„) — 1~ < Р„(~»„0 — 1. Пля случал вещественных числовых последовательностей утверждение леммы 4.5 верно, как следует из леммы 1.1, то есть 1пп 1Р„(1«„0 — 1] = О. В силу теоремы о важа»пой переменной, из доказанного следует, Бт Р„(»„) = 1. что В данном случае С = 1 для всех и и, стало быть, для случая с = 0 утверждение леммы верно. Предположим, что с есть произвольное комплексное число. Пусть й Е М таково, что 1с~ < й.
Пля и > й имеем: 1+ А~в и и+ «„»„— с и «„— с =1+ =1+— и+с и+с и+с и и является позитивным. Имеем: Р (0) = 1. Отсюда следует, что свободный член этого полинома равен 1 и разность Р„Я вЂ” 1 есть позитивный полипом.
Это позволяет заключить, что 1Р„(») — Ц < Р„(1»0 — 1 при всяком «. В частности, получаем, что для всех и З 4. Дополнительные сведения об элементарных функциях Положим ~„= (г„— с). Лля всех и > й имеем равенство: и+с При и — + оо будет ~„— ~ 0 и, значит, по доказанному, при п -~ со. Отсюда получаем, что что и требовалось доказать.
° ° Теорема 4.Х. Для любых г1, гг б С выполняется равенствог Е(гг ) Е(гг) = Е(гг + гг). (4.2) Догсазательство. Теорема доказывается почти дословно так же, как и в вещественном случае. Пусть, как и ранее, д„= 2". Имеем: Е(гг)К(гг) = 1пп (1+ е ) 1пп (1+ — ) = 1пп (1+ + — ) = 1пп (1+ — ) Е(гг)Е(гг) = 1пп (1+ — „) (1+ у) +гг~ о 11пг (1+ ) = Е(гг + гг), о ОО с1„ и тем самым теорема доказана.
° Следствие 1. Для любых комплексных чисел гг, гг,..., г„справедливо равенство: К(яг + гг + " + го) П Е('ь). где ио = гг + гг+ гггг/Но При и -+ оо будет и„— + гг + гг. На основании леммы 4.5, отсюда следует, что 249 ~ 4. Дополнительные сведения об элементарных функциях Поскольку — — ~ 0 при и — оо, то !! и ехр — — 1 1пп — 1 = О. Отсюда следует, что «„— « -+ 0 при п -~ оо. Применяя лемму 4.5, получаем, что Осталось заметить, что (1+ — ) = Е(«) при каждом а и, следовательно, ("Ц Из этого равенства вытекает, что Е(«) = Дш (1+ Ч Теорема доказана. ° Отметим некоторые дальнейшие с в о й с т в а функции ехр «для случая, когда « — произвольное комплексное число. Пусть « = х+ гу, й = х — 1у — сопряженные числа.
Так как все коэффициенты многочлена Е„суть вещественные числа, отсюда следует, что Е„(«) = Е„(«) при всех и. Переходя к пределу при п -+ оо, получим: (4.3) Е(«) = Е(«). Из равенств (4.2) и (4.3) далее получаем: !Е(«)!' = Е(«) Е(й) = Е(«+ «) = Е(2 Ке «) = Е(Ке «)'. 250 Гл.
3. Элементарные функции Так как 1ехр Ке з) > О, то, следовательно, будем иметь: )ехря) = ехрйею (4.4) Из равенства 14.4), в частности, следует, что если я = 1х, где х Е И, то ~ ехр з~ = ~ ехр 1х~ = ехр О = 1. 14.5) Справедливо следующее утверждение. ° Теорема 4.3. Для всякого х б И имеет место равенство: Е(зх) = соз х+1зш х. ,цохазателъство. Зададим произвольно и Е М и положим х, .
х я„= п (соз — + 1 зш — — 1) п и 14.6) Имеем: х х 1пп а соз — — 1~ = О, 1нп пзш — = х, ( п откуда заключаем, что 1пп я„= 1х. Из равенства 14.6) следует, что х .. х яп соз — + 1з1п — = 1+ —. и п п Отсюда, в силу известных нам свойств функции х ~-+ соз х + 1зш х, вытекает, что созх+гзшх = (соз — +гз1п-) = (1+ — ") п Бпь (1+ — ) = Е(зх), и, значит, созх+1зшх = Е1зх), что и требовалось доказать. ° Так как 1пп я„= 1х, отсюда, в силу леммы 4.5 и теоремы 4.2, вытекает, что 251 ~ 4. Дополнительные сведения об элементарных функциях Т Следствие. Для всякого я = х+1у Е С, где х, у Е И, выполняется равенство: Е(я) = е (соз у + з зш у).
Действительно, по теореме 4.1, Е(х + ву) = Е(х), Е(ау) = е*(соз у+ +Ьз1п у), что и требовалось доказать. Полученный результат дает с п о с о б определения функций соз х и з1пх, основанный на строгой теории вещественного числа. Именно, эти функции могут быть определены посредством равенств: сов х = 11еехр(1х), зшх = 1шехр(гх) для произвольного х Е Й. Принимал во внимание теорему 4.3, видим, что функции,определенные таким образом, в точности совпадают с теми носннусо к и синусе и, которые известны читателю из школьного курса математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
