1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Точно так же, рассматривая последовательности (п)„еи, (и )„еи, (10 ) еп, каждая из которых имеет предел, равный со, можно заметить, что вторая последовательность прин — ~ оо растет быстрее первой, а третья растет быстрее второй. Введем и о н я т и я кото ые позволят и ать точный смысл и и- и и енным здесь тве ждениям относительно быст оты бывания или оста ассмот нных посл овательностей.
Дх) = д(х) + 0(<р(х)) (3.1) при х, стремящемся к р по множеству М, если 1(х) — д(х) = 0(<р(х)) при х — р по М. Зададим произвольно множество М С 1«. Пусть р есть предельная точка множества М. Пусть даны функции 1: М -~ С и д: М вЂ” ~ С. Будем говорить, что функция ~ п о д ч и н е н а д при х — ~ р по М (в обозначениях: Дх) = 0(д(х)) при х — ~ р, х б М), если существуют окрестность У точки р и число К < оо такие, что для любого х б М, принадлежащего окрестности У и отличного от р, выполняется неравенство: )Дх)( < К~д(х)!. Будем говорить, что функция ~: М вЂ” ~ С пренебрежи,на сравнительно с фднкцией д: М -~ С при х, стремящемся к р по множеству М, и писать: «Дх) = о(д(х)) при х -~ р, х б М», если для всякого е > О найдется окрестность У точки р такая, что для любого х б М, принадлежащего окрестности У и отличного от р, выполняется неравенство: )Дх) < е1д(х)!.
Если г"(х) = 0(д(х)] при х — ~ р по множеству М, то говорят также, что порядок роста г" при х -~ р н е и р е в ы ш а е т порядка роста д. Выражение 1(х) = о(д(х)) ири т(х) — ~ О иногда читается так: «) бесконечно мала по сравнению с д при х — ~ р». Пусть даны множество М и число р Е Егт(М). Предположим, что заданы комплексные функции 1, д, у, определенные на М. Тогда говорят, что справедливо соотношение: 236 Гл. 3. Элементарные функции Если Дх) — д(х) = о(~р(х)) при х -+ р по М, то мы будем писать: Дх) = д(х) + о(у(х)) (3.2) при х -> р по М. Соотношения, содержащие знаки О и о, называются асимтттттотвичестензти.
(Буквы О и о происходят от первой буквы немецкого слова Огбпцпб — порядок или английского обжег, имеющего то же значение.) Отметим, что с соотношениями, которые рассматриваются здесь, вообще говоря, нельзя обращаться как с обыкновенными равенствами без риска ошибиться. Асимтттаотпичесхие соотиношения обычно п именяются в сл ю их сит ациях. Пешее, т *р фт >Р+, >т >т.
О р лена для всех х Е Й. Преобразуем выражение з/хз + а следующим образом: вынесем х из-под радикала, тогда получим >/хз + а = хф + —. При х — > оо выражение, стоящее под корнем, стремится к 1. Это позволяет з а к л ю ч и т ь, что при х — > оо величина зттхз + а ведет себя приблизительно как функция х. Рассмотрим р аз н о с т ьс Зттхз+а — х. Имеем: я+а — х а 3 з хз+а х — — — +0 з/хз ~ а ~ х з/хз ( а |„х при х — > оо.
Предположим, что изучается некоторал достаточно сложная функция, определенная в промежутке [а, оо), и требуется получить информацию о том, как она ведет себя при больших значениях х. Один из способов исследовать по в еде н не Дх), когда х в е л и к о, состоит в том, что для функции у строится д р у г а я, более простая функция д(х), отличающаяся от Дх) тем меньше, чем больше х. Наличие соотношений вида (3.1) или (3.2) характеризует к а ч ес т в о такого приближения, у к а з ы в а е т, в какой мере величина д(х) передает информацию о п о в е д е н и и у(х) при б о л ь ш и х значениях х.
237 З 3. Сравнение поведения элементарных функций Следовательно, ~/хг+ а — х = о(1) при х — оо, и, таким образом, справедливо асимптотическое соотноше- ние: З/хг + а = х+ о(1) при х -+ оо. (3.3) Из соотношения (З.З), в частности, следует, что з/ху+ а при х — ~ оо. Преобразуем, далее, выражение для з/хг + а — х. Имеем: а 1 а з/ ~2+а х+ за~+а х 1+ Прих- оо 1+ —,Й~ + а 1 2 Отсюда а 1 а а ухг+а — х — — =— 2х х '1 1+ 1 ~ — 2+ — 2~ а /1~ х2+ а х — о 2х х при х -~ оо. Отсюда 1/' а /11 хг+а = х+ — +о ~ — ) .
2х ~х) ' (3.4) Равенства (3.3) и (3.4) представляют собой некоторые асимптотические соотношения. Выражение в скобках с и р а в а стремится к нулю при х — ~ оо, и мы, следовательно, получаем: 238 Гл. 3. Элементарные функции Равенство (3.4) дает, очевидно, больше сведений о поведении функции з/хз + а при х -+ оо, чем равенство (3.3). Из (3.3) следует только, что разность з/хз + а — х стремится к нулю при х -+ оо. Равенство (3.4) позволяет заключить, что эта разность п р и б л на ж е н н о р а в н а — с о ш и б к о й, бесиоиечно.палой по сравнению 2х 1 с — при х -+ оо.
3.2. СРАВНЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК ИЙ В КОН АХ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1пх = о(ха), х = о(хЯ), хЯ = о(а ) при х оо, (3.5) а = о( — ), — = о( — ), — = о(1п — ) при х — ~ оо, (3.6) а ч* = о(хе), х~ = о(х ), х = о1 — 11 при х -~ О. (3.7) ( 1п х ) Доказательство. Установим сначала некоторые вспомогательные неравенства. Пусть а > 1. Пля всякого и б 1З1 при х > 0 имеем: а =ехр(х1па) = (ехр ) > (1+ ) > Мх", (3.8) где М= ( — ) Полагал здесь а = е и заменяя х на 1п х, будем иметь: х > ( — ) (1пх) откуда получаем, что при всяком х > 1 пх'~" > 1пх. Пусть числа о,11 и а удовлетворяют всем условиям теоремы.
окажем соотношения 3.5 то есть что (3.9) 1пх . х . хе 1пп — = 1цп — = 1пп — = О. х'" хя а' (3.10) ° Теорема З.1. Пусть даны числа о,,б и а такие, что О < о < 11 и а > 1. Тогда для х б (О, оо) справедливы следующие соотношения: 239 З 3. Сравнение поведения элементарных функций 1 Найдем и Е О! такое, что — < о < р < и. При любом у > 0 п !пп (1/х ) = О. х оо Применяя неравенство (3.9), получим, что при х > 1 !их и 0«вЂ” ха — х(о-1/о) ' !и х откуда следует, что — — 0 при х — оо. ха Палее, имеем: х 1 — = — -о 0 хр х~з при х -+ оо, так как !3 — а > О.
Наконец, применяя неравенство (3.8), получим, что при х > 0 0« — а Мх" ,Ф откуда вытекает, что !пп — = О. оо о Равенства (3.10), таким образом, д о к а з а н ы, и тем самым у с т а н о в л е н о выполнение соотношений (3.5). Лля того чтобы оказать соотношение 3.6 мы должны установить, что каждое из частных: 1 а з Ф 1 1 1 1 х !пх стремится к 0 при х — ~ со. Эти частные равны, соответственно, хх а'' х !их хй1 хо !пп(-х !их) = О, !пп — = О, !!ш = О. (3.11) х О ах ' х аа1/ххР и требуемое утверждение справедливо, в силу (3.10). Соотношения (3.6) д о к а з а н ы. 1 Заменяя в равенствах (3.10) х на — и принимая во внимание, что 1 — -о оо при х -+ О, получим на основании впзороб пзеорены о пределе сложной фунннпн (теорема 2.6, глава 2): 240 Гл.
3. Элементарные функции Палее имеем: -1!~ . »з 1 а 1- а а:х = —,, х: — =х !пх. 1п х Отсюда, в силу (3.11), вытекает справедливость также и соотношений (3.7). Теорема доказана. ° На промежутке (О,оо) определены функция 1п, степенная функция х»-» х, где ее > О, и показательная функция х»-+ а, где а > 1. Каждая из этих функций является с т р о го возраст аю щей и стремится к оо при х — » со. Соотношения (3.5) теоремы 3.1 позволяют с р аз н и т ь и о в ед е н и е этих функций при х — оо.
П е р в о е из указанных соотношений (3.5) показывает, что при х — » оо функция 1и растет м е д л е н н е е любой степенной функции х»-» х", где а > О. В т о р о е соотношение (3.5) означает, что степенная функция х»се>О,прих — »оорастет тем быстрее, чем больше ее показатель степени. Наконец, т р е т ь е соотношение (3.5) позволяет заключить, что похазапзеаьная фуниция е* при х -» оо растет быстрее любой степенной. Функции 1 1 — — а 1пх' х где а > О, а > 1 в промежутке (1»оо), являются с т р о г о у б ы в аю щ и м и и стремятся к нулю при х -+ оо.
Соотношения (3.6) теоремы 3.1 показывают, что функция х»-» а стремитсякнулю быстрее любой степенной функ- 1 1 ции х»-+ —, а функция х»-+ — стремится к нулю т е м б ы с т р е е, ха ' ха чем больше показатель ее,а>О. 1 Наконец, величина —, каково бы ни было о > О, при х — » оо 1 стремится к нулю б ы с т р е е, чем 1пх Соотношения (3.7) позволяют сделать аналогичные заключения относительно п о в е д е н и я указанных в нем функций при х О.
241 'З 4. Дополнительные сведения об элементарных функциях Следствие. Пусть О < а < р, а > 1. Тогда справедливы следующие асимптотические соотношения: при и, стремящемся к оо, по множеству Х: !пи = о1и ), и = о1иэ), и = о1а"), Доказательство. Данное предложение получается применением теоремы 3.1 к случаю, когда А = 10,оо), р = оо, а (т„)„ен есть последовательность, для которой т„= и прн всех и. Следствие доказано. Полученные здесь результаты о поведении показательной, степенной и логарифмической функций существенно используются при решении задач о сходимости рядов и интегралов. ~4. Некоторые дополнительные сведения об элементарных функциях В этом параграфе рассматриваются два вопроса.
Первый касается определения величины ехр я для случая комплексного я. Для я = х + гу величина е' была определена выше по формуле: е' = е~1созт+ 4зшт). Здесь будет показано, что величина е' может быть определена также как предел 1пп (1 + — ) Показывается существование этого предела и устанавливается, что если я = и+ гу, где х, у Е Й, то указанный предел равен е*(соз у+ а з1п у). В частности, получаем: 4т~" Дв) = созт+1зшт = 1пп (1+ — ) Последнее равенство может быть использовано для того, чтобы дать определение основных тригонометрических функций, опирающееся на строгую теорию вещественных чисел. В литературе можно найти и другие способы построения тригонометрических функций, основанные, например, на использовании теории рядов. 242 Гл.
3. Элементарные функции Следует сказать, что строгая теория тригонометрических функций — в полном виде при любом способе изложения — оказывается достаточно громоздкой. В рамках такой теории должно быть доказано, в частности, что существует число и > О такое, что зш я = О и зш х > О для всех х б (О, гг). Другой вопрос, который рассматривается здесь, связан со следующим. Пусть У есть показательная функция х а . Тогда для любых х, у б Й имеет место равенство: Дх)Ду) = Дх + у). Это свойство полностью характеризует показательную функцию. Всякая непрерывная функция у: й -+ 1с, не равная тождественно нулю, для которой выполнено указанное соотношение, является показа; тельной функцией. Всякая непрерывная функция 1: (О, оо) — + зс такая, что для любых х > О, у > О выполняется равенство У1х У) = У(х) + У1У) есть функция вида Дх) = С 1п х, где С б й, С вЂ” постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
