1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 47
Текст из файла (страница 47)
в П з +1. е сов з 3.10. Доказать, что е ~те = о(х") при х -т 0 для любого п Е 1Ч. 3.11. Пусть а > О, а ф 1 таково, что логарифм с основанием а удовлетворяет неравенству 1ойв х < х — 1. Доказать, что а = е. 3.12. Доказать, что для любого п Е 1Ч функция То: х Е [ — 1,1] ~-т сов(пагссовх) есть ограничение на отрезке [ — 1, Ц некоторого многочлена степени п (полинам Чебышева). 3.13. Доказать, что для любого п > О функция 11в .' х Е (-1, 1) ~-+ в1п[(п + 1) агссов х] Я хз Г О (х) = ~ [ вштх для рациональных х; для иррациональных х. 3.1Т. Доказать, что функция у: х т-т вш]х] равномерно непрерывна на Й при О < ст < 1'и неравномерно непрерывна на Й при ст > 1. Построить график функции.
3.18. Определить, при каких е функция х ~-~ х + ев1п х осуществляет топологическое отображение Й на себя. 3.19. Определить, при каких ст функция х т-т х + тт сов~/х отображает Й на себя топологически. 3.20. Функция,(': [О, Ь) — ~ Й такова, что для лтобых хз хг Е [О, Ь) выполняется неравенство: у(хз) > у(хз)[1 + й(хз — хг)], где й — настоянная. Доказать, что у(х) = у(0)е~е на промежутке [О, Ь).
есть ограничение на отрезке ( — 1, 1) некоторого многочлена степени п (воланом Чебышева второго рода). 3.14. Найти модуль непрерывностпи функции у: х Е [О,со) -~ х'", где 0 < ст < 1. 3.15. Найти модуль непрерывностпи функции у': х Е [О, 1] -+ х", где ст > 1.
3.10. Исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва функции Глава 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ° Понятие производной, некоторые ее применения ° Правила дифференцирования функций ° дифференцирование основных элементарных функций ° Параметризованные кривые ° Касательная параметризованной кривой ° Кривая в полярных координатах ° Производные высших порядков ° Функции классов ьг и С э Критерии монотонности функции ° Полиномы одной переменной ° Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеево ° Метод Ньютона решения уравнений вида ~(Х) = О ° Понятие точки экстремума дифференпируемой функции ° Формула Лейбнипа, теорема о произведении функций ° Теорема Ферма ° Теоремы Коши и Лагранжа о среднем значении функпий ° Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей ° Выпуклые функции ° Неравенства Йенсена, Гельдерн, Юнга, Минковсхого ° Применение дифференциального исчисления к исследованию функпий одной переменной ° Приложения дифференциального исчисления к физике и механике ° 264 Гл.
4. Дифференцианьное исчисление функций одной переменной ~1. Определение и простейшие свойства производной Понятие производной является одним из основных в курсе математического анализа. Здесь приводятся необходимые определения и устанавливаются простейшие свойства производной, непосредственно вытекающие из ее определения.
Основным в дифференциальном исчислении функций одной переменной является случай, когда область определении изучаемой функции есть отрезок. Однако рассматривать только функции, определенные на отрезках множества И, было бы неудобно хотя бы потому, что область определения произвольной элементарной функции может не быть отрезком и, вообще, может иметь достаточно сложное строение.
Здесь будут описаны основные правила вычисления производных, базирующиеся на теоремах о дифференцировании суммы, произведения, частного, суперпозипии двух функций и обратной функдии. Вместе со знанием производных основных элементарных функций, эти правила дают все, что необходимо для определения производной произвольной элементарной функции. 1.1. ПОКЯтие ФУнк ии диФФеРен иРУемОй В точке. ОпРеделение пРОизво ПОЙ Сформулируем минимальное условие, которому должно удовлетворять множество А С и, для того чтобы можно было говорить о производной для фунхции, определенной на этом множестве.
Будем говорить, что множество А С Ж плотно в себе, если каждая точка х е А является предельной точкой множества А. Всякий отрезок в 2 представляет собой плотное в себе множество. Ф Предложенже 1.1. Объединение конечного числа множеств, каждое из которых плотно в себе, есть плотное в себе множество. лйохаза тельство. Справедливость данного утверждения почти непосредственно следует из определения и свойств предельных точек, известных нам. Действительно, пусть А1,Аз,...,А — числовые множества, каждое из которых плотно в себе, А — их объединение. Возьмем произвольно точку х е А. Точка х принадлежит хотя бы одному из множеств А»,Аз,...,А„. Пусть, например, х Е А», 1 < и < п. Так как А» плотно в себе, то х является предельной точкой множества А».
Имеем: А» с А, откуда следует, что х является предельной точкой также и множества А. Точка 265 'З 1. Определение производной х Е А была взята произвольно. Следовательно, все точки множества А являются его предельными точками. Предложение тем самым доказано. Ф Оп елим чтб есть оизво ная нк Пусть дана функция у: А — К, где А — плотное в себе подмножество й. Рассмотрим отношение у(х) — у(а) > х — а где а Е А,х Е А. Предел этого отношения при х, стремяшемся к а по множеству А в случае, если таковой существует, называется производной функаии у" в точке а и обозначается одним из следующих выражений: 1~(а) = — (а) = Р~(а).
Согласно данному определению, у(х) — У(а) а а х — а Предположим, что а есть двусторонняя предельная точка множества А. В этом случае для функций, определенных на множестве А, можно говорить о пределах слева н справа при х — + а.
Пусть дана функция У: А — й. Пределы у~( ) Г У(х) 1(а) . у~( ) й У(х) У(~) (1 ц -о х — а ' ' * +о х — а питием и оизво ой. Пусть А есть плотное в себе множество. Говорят, что функция У: А — Ж дифференцпррема в точке а Е А, если существуют число Ь Е И и функция а: А — + Ж такие, что а(а) = О, а(х) -+ О при х -+ а, и для всех х Е А выполняется равенство: у(х) = ~(а) + Х (х — а) + ~х — а~а(х). (1.2) если таковые существуют, называются, соответственно, левой и правой производными функции у" в точке а.
Для их обозначения мы будем применять запись, указанную в равенствах (1.1). Данными здесь определениями допускаются значения производных, равные хоо. Оп елим е е о о важное свойство нк ий тесно связанное с по- 266 Гл. 4. Лифферендиапьное исчисление функдий одной переменной Условие дифференцируемости функции у в точке а допускает следующее наглядное истолкование. В равенстве (1.2) положим х — а = Ь и перепишем его следующим образом: у(а+ Ь) — у(а) = ЙЬ+ ~Ь~о(а+ Ь). Разность у(а + Ь) — у(а) есть приращение, которое получает значение функции у, когда независимая переменная получает приращение Ь.
Равенство (1.2) означает, что приращение функции приближенно можно считать пропорциональным приращению независимой переменной. Погрешность, которая при этом возникает, бесконечно мела в сравнении с прирыцением независимой переменной. й Предложение 1.2. Ясли функции у" днфферендируема в точке а Е А, то она непрерывна в этой точке.
Действительно, при х -+ а правая часть равенства (1.2) стремится к У(а) и, значит, У(х) — + У(а) при х -+ а. Это и означает, что функция у непрерывна вточкеа. й ° Теорема 1.1. Пусть А С Ж есть плотное в себе множество. Дли того чтобы функции У: А — И была дифференцируема и точке а Е А, необходимо н достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. При этом если у дифференцнруема в точке а Е А, то коэффициент Ь в равенстве (1.2) равен у'(а). Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция у: А — + К дифференцируема в точке а. Тогда, по определению, У(х) = У(а) + Цх — а) + ~х — а~о(х), где а(х) — О при х — + а по множеству А и о(а) = О. Отсюда получаем, что при всяком х б А, отли шом от а, У(х) — У(а) (х — а! где а(х) = ,а(х) = ~1 при любом х ф а.
Функция а является ограниченной и, значит, а(х)а(х) — + О при х - а. Отсюда вытекает, что у(х) — у (а) и-~а х — а Таким образом, функция у имеет конечную производную в гпочне а. При этом ~'(а) = Ь. Необходимость условия теоремы тем самым установлена. 267 З 1. Определение производной Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что функция У: А — К имеет в точке а е А конечную производную. При х ф а положим: а(х) = о'(х) — У (а) где, как и ранее, при х ~ а о(х) = )х — а! Положим также а(а) = О. Очевидно, а(х) — О при х — а. Из равенства (1.3), после очевидных преобразований, получаем: У(х) = У(а) + У'(а)(х — а) + (х — а)о(х)а(х), У(х) = У(а) + У (а)(х — а) + ~х — а~а(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
