1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В пространстве зададим декартову ортогональную систему координат. Пусть Π— начало системы координат. Запись Х = (х1, хг, хз) означает, что Х есть точка пространства, имеющая координаты х1, хг и хз. Точку Х будем отождествлять с ее радиус-вектором х = ОХ относительно начала координат. Координаты вектора х, очевидно, совпадают с соответствующими координатами точки Х. Пусть | — произвольном прямая на плоскости или в пространстве.
Зададим произвольно точки Хо е 1 и Х1 Е Ь такие, что Хо ~ Х1, и пусть и = ХоХ1. Пусть а = ОХо есть радиус-вектор точки Хо относительно точки О. Произвольная точка Х будет принадлежать данной прямой! в том и только в том случае, если вектор ц = ХоХ коллинеарен вектору и, то есть существует число Ф Е К такое, что и = Фи.
Имеем: ОМ = ОХо+ ХоХ. Отсюда следует, что прямая 1 с о в п а д а е т с совокупностью всех точек Х(г), для которых имеет место равенство: х(г) = ОМ($) = а+ х4, (2.1) где Ф вЂ” произвольное вещественное число. Обратно, если заданы векторы а и и, причем и ф О, то множество 1 всех точек Х(Ф), радиус-вектор которых х(г) = ОХ(Ф) относительно начала О допускает представление вида (2.1), есть прямая, коллинеарная вектору и и проходящая через точку А, радиус-вектор которой ОА = а. Говорят, что (2.1) есть параметрическое представление прямоЫ.
281 З 2. Некоторые приложения понятия производной 2.2.3. Чтобы придать точный смысл интуитивному понятию линии на плоскости или в пространстве, введем понятие параметризованной кривой. На плосхости зададим декартову ортогональную систему хоординат. Предположим, что всякому значению $ из нехоторого множества М С й сопоставлена точка Х(Ф) = ®8), д(Ф)) на плоскости. Будем говорить, что отображение 1 ~-+ Х(г) непрерывно, если каждая из вещественных функций у и д непрерывна на множестве М. Непрерывное отображение $ Е М ~-+ Х(Ф) = (ДФ),д(Ф)) называется параметризованной кривой на плоскости. Переменная Ф Е М называется параметром кривой множество М вЂ” множеством значений параметра. О б р а з множества М относительно отображения Х называется носителем параметризованной кривой.
Обычно, говоря о параметризованной кривой, предполагают, что множество М есть некоторый о т р е з о к множества Ж. Это условие, однако, может и не выполняться. анисе о еление ас ест аняется на с чай обычного т хме ного евкл ова п ест анства ахтически без изменений.
Будем предполагать, что в пространстве задана декартова ортогональная система координат. Пусть М есть произвольное множество в И. Предположим, что всякому значению Ф Е М сопоставлена точка Х(Ф) = ЩФ),д(Ф), Ь(Ф)) в пространстве. Отображение Х, определенное указанным образом, называется непрерывнь|м, если вещественные функции у(Ф), д(Ф) и Ь(Ф) непрерывны на множестве М. Всякое непрерывное отображение Х: М ~ Х(1) множества М в пространство называется параметризованной кривой в пространстве. Переменная Ф Е М называется параметром кривой М вЂ” множеством значений параметра. Совокупность всех точек вида Х(Ф) = (ДФ),д(Ф),Ь(Ф)) называется носителем параметризованной кривой.
Пусть Ь вЂ” произвольное множество на плоскости. Говорят, что параметризованная кривая Х : М -+ й~ дает параметрическое представление множества Ь, если Х есть носитель Х, то есть 1 = Х(М). 282 Гл. 4. Лиффереидиальное исчисление функций одной переменной Понятие носителя параметризованной кривой может показаться отвечающим наглядному представлению о кривой кы о линии. Лвижение кончика карандаша по листу бумаги естественно рассматривать как параметризованную кривую на плоскости, понимая под Х(Ф) точку, в которой кончик карандаша в момент времени $ касается плоскости листа.
След, зачерчиваемый кончиком карандаша, есть носитель этой параметризованной кривой. Следует сказать, что в общем случае носитель параметризованной кривой может представлять собой множество, достаточно далекое от наглядных представлений о линии, как показывает следующая теорема. ° Теорема 2.1 (теорема Пеано). Существует параметризованная кривы Х: [О, 1] — ~ И на плоскости, носителем которой является квадрат [О, Ц х [О, 1]. Теорема Пеано утверждает, что существует непрерывное отображение Х отрезка [0,1] в плоскость такое, что, когда параметр $ пробегает промежуток [О, 1], точка Х(1) пробегает все точки квадрата. Параметризованная кривая, существование которой устанавливает данная теорема, называется кривой Пеано. Мы не будем приводить здесь доказательство теоремы Пеано (теоремы 2.1), поскольку оно достаточно громоздко и требует применения свойств плоскости, доказательство которых будет дано позднее.
В дальнейшем теорема Пеано не используется. 2.2.4. Пусть А = (а, Ь) есть произвольная точка на плоскости, а = ОА — ее радиус-вектор, т > 0 — вещественное число. Р а с с м о т р и м параметризованную кривую Х(М) = (ДФ), д(Ф)), где Я) = а+ т сов Ф, д(1) = Ь+ т еш1, $ Е К. Зля всякого 4 Е Ж имеем: [х — а] = т, так что точки х(1) лежат на окружности с центром А и радиусом т. Будем обозначать эту окружность символом Я(А, т). Пусть Х = (х, у) есть точка окружности Я(А, т). Тогда имеет место равенство (х — а) + (у — Ь) = т . Полагаем а =, ф = 2 3 2 х — а у — Ь т Имеем: а~ + ~3~ = 1, и, значит, найдется $ Е К, для которого а = еш Д = соеФ. Для этого Ф имеем: х = а+ тсое1 = ДФ), у = Ь+ теш1 = д(Ф). Точка Х Е Я(А,т) была взята произвольно. Из доказанного поэтому следует, что, когда Ф пробегает множество К, точка Х($) обегает всю данную окружность, не пропуская ни одной ее точки, то есть | ~-+ Х(Ф) есть отображение 2 на Я(А, т).
Будем говорить, что Х(Ф) = (а+ тсоеФ,Ь+ теш$) есть параметризапия окружности Я(А, т). 283 З 2. Некоторые приложения понятия производной Оп е елим понятие касательной в точке па амет изованной к ивой. Пусть Х(Ф), Ф Е М, есть параметризованная кривая на плоскости или в пространстве. Будем предполагать, что множество М С К является плотным о себе, то есть всякая точка Фо Е М является его предельной точкой. Пусть сс Е М, Фг Е М. Предположим, что точки Хс = Х(гс) и Хг = Х(сг) различны. Обозначим через 1х(Фс, 1г) прямую, проходящую через эти точки. Определим некоторый вектор з, полагая з = ХсХг в случае Фс < 1г, а если $г < Фс, то пусть з = ХгХс. Вектор з будем называть направляющим вектором сеиупсей 1х (1с, Фг) параметризованной кривой Х, определенной по точкам Хс = Х(сс) и Хг = Х(сг). Введем еще некоторое обозначение.
Пусть з есть направляющий вектор секущей 1х(1с, гг) данной параметризованной кривой. Полагаем: 1 е(сс,1г) = — з. (з! Определим понятие предела для вектор-функций. Пусть М С К вЂ” произвольное множество и р есть предельная точка М.
Предположим, что для всякого Ф Е М определен вектор х(с) на плоскости или в пространстве. В этом случае говорят, что на множестве М определена вектор-функция х. Вектор а называется пределом вектор-функции х при $ -+ р, если 1пц ~х($) — а~ = О. В этом случае будем писать: с р,сем а = Ипс х(Ф). С р,С ЕМ Пусть вектор х(с) имеет координаты: (у(с),д(с)), а координаты вектора а суть числа (и, сс).
(Рассматривается случай вектор-функции, значения которой суть векторы на плоскости.) Тогда вектор а является пределом х(Ф) при Ф вЂ” + р в том и только в том случае, если и = 11щ У(1) С вЂ” Р,СЕМ и н = 1пп д($). Аналогичное утверждение верно также и в случае с р,сем вектор-функций, значения которых суть векторы в пространстве. Пусть дана параметризованная кривая Х: $ Е М Х($) на плоскости или в пространстве. Символом х(Ф) будем обозначать радиус-вектор точки Х(1) относительно начала, х(1) = ОХ(1).
Будем говорить, что Фо Е М есть точка типа ХЯ(Х), если выполнено следующее условие. Существует б > О такое, что если Ф Е М, причем И вЂ” Фо~ < б и 1 ~ Фо, то Х(1) ~ Х(го) Пусть го есть точка типа ХЯ(Х) и б > О таково, что для всякого $ Е М такого, что 1 Ф $о и ~1 — со ~ < б, Х(Ф) ф Х($о). Для всякого такого Ф определен вектор е(1о,1). Предел вектор-функции $ с е($о, $) при Ф вЂ” 1о, если таковой существует, называется касательным ортом в точке Х(Фо) 284 Гл. 4. Днффервнцнальное исчисление функций одной переменной параметризованной кривой Х(Ф) и обозначается символом Фх(Фо). При каждом Ф Е М, для которого Х(М) ф. Х(ао), длина вектора е(ао, $) равна 1. Отсюда следует, что длина вектора ах(1о) также равна 1.
Предел вектор-функции е(Фо, $) при 1 — + $о слева, если таковой существует, называется левым касательным ортом в точке Х(Фо) параметризованной кривой Х и обозначается символом Фх(1о). Предел вектор- функции е(1о,й) при Ф, стремящемся к Фо справа, называется правым касательным ортом в точке Х(1о) и обозначается символом $х($о). Говорят, что Х($о) есть гладкы точка параметризованной кривой Х, если существует касательный орт Сх($о). Если в точке Х(1о) сушествуют левый и правый касательные орты кривой, причем эти орты совпадают, Ф~х(1о) = $х(1о), то Х(Фо) есть гладкая точка кривой.
В этом случае Фх(Фа) = Фхх(1о) = Фх(1о) Если Сх(1о) ~ Фх(1о), то говорят, что Х(Фо) есть угловая точка параметризованной кривой Х(Ф). В том частном случае, когда Фх(1о) = — Сх(Фа), говорят, что Х(1о) есть точка возврата параметризованной кривой Х(Ф). Прямая 1, проходящы через точку Х(1о) и коллинеарнэл вектору Фх(Фо), называется касательной в точке Х(ао) параметризованной кривой Х(Ф). ° Теорема 2.2. Пусть Х($), Ф Е М, где М С К вЂ” плотное в себе множество, есть параметризованная кривая на плоскости, Х(1) = ®1), д(~)) Тогда если фуниции ( и д дифференцируемы в точке Фо б М и веитор х (ьо) = (1~($о),д ($о)) отличен от нуля, то параметризованны х'(Фо) кривая Х(ь) имеет касательную в точке Х(1о) и вектор является ~х'($0) ~ касательным ортом в точке Х(ьо) кривой Х($).
Аналогично, если параметризованная кривая Х(Ф) =(У(1) д($),Ь(1)), $ Е М, в пространстве такова, что функции 1, д и Ь дифференцируемы в точке $о Е М и вектор х (го) = (У (Фа), д (го), Ь (го)) отличен от нуля, то кривы х'($0) имеет в точке х(1о) касательную. При этом есть иасательный ~х'(Мо)~ орт в точие Х($а) кривой Х(Ф).
лйоиазателветно. Ограничимся случаем плоских кривых. Для пространственных кривых рассуждения проводятся аналогичным образом. 285 З 2. Некоторые приложения понятия производной Пусть выполнены все условия теоремы. Имеем: Х(1) = (~(Ф), д(1)), Ф й М. Пусть х(1) = ОХ(я) есть радиус-вектор точки Х(я) относительно начала системы координат. Функпии У и д дифференпируемы в точке 1о и вектор х'(яо) = (~'(Фо), д'(то)) отличен от нуля. Из условия х'(яо) ф О вытекает, что, по крайней мере, одна из производных у'(Фо) и д'($0) отлична от нуля. Предположим, что у'(яо) ~ О.
Согласно определению производной, У (8 ), У(1) — У($0) 3 со,сом Й $0 е(80,$) = х(г) — т(йо) !х($) — х(яо) / (2.2) Разделив числитель и знаменатель дроби в правой части равенства (2.2) на Ф вЂ” Фо > О, получим, что л(ю) ~лжг (2.3) Если М < йо, то х(ФО) — х(й) !х(яо) — х(й) ! (2.4) Разделив числитель и знаменатель на 1о — 1 > О и замечая, что х(ФО) — х(Ф) х($) — х($0) ~о — Ф ~-10 В силу известных нам свойств предела, найдется б > О такое, что УИ) — Пмо) для если ~Ф вЂ” Фо~ < б, то ~ О. Отсюда следует, что если М вЂ” 10 М ~ 10 таково, что (Ф вЂ” Фо( < б, то ~(М) ~ У(МО), и, значит, для всякого М Е М такого, что $ ф $о и (М вЂ” Фо) < б, точка Х($) отлична от точки Х(то), так что 8о есть точка типа |я Я(Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
