1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Математически, как видно из сказанного, они характеризуются посредством понятия производной. Различные задачи о движении материальной точки по прямой тем самым сводятся к определению функции х по соотношениям, которым удовлетворяют функции х(Ф), х ($) и х '(1). Пусть, например, изучается д в и ж е н и е и о и р я м о й материальной точки массы т, на которую действует сила Р(х), пропорциональная отклонению точки х(Ф) от начального положения х(0) и направленная противоположно х(Ф).

Простоты ради, будем считать, что х(0) = О. Имеем: г'(х) = — 1х, где 1 ) 0 — постоянная. В силу атарово закона Ньютона, ускорение точки в момент, когда ее координата есть х, равно г'(х)/т. С другой стороны, ускорение точки равно хо(1). Следовательно, имеет место равенство: х (4) = — — х. т Панное уравнение может быть записано в виде: х"(4) + Л~х(г) = О. Как будет показано далее (см. и.

4.5.2), в этом случае зависимость х(г) от г выражается формулой: х(4) = АсозЛ1+ Вз1пЛ$, где А и  — постоянные. Рассмотрим более подробно еще один пример. Пример 2". Явление адиоактивноео аспада ве ества. Пусть имеется радиоактивное вещество и т(1) есть его масса в момент времени 4. Рассмотрим малый промежуток времени (Ф,$+ и). Число атомов вещества, распадающегося за время от Ф до 4+ й, приближенно пропорционально Ь и составляет строго определенный процент от числа атомов вещества, имеющихся в момент времени г. зоз З 3.

Производные высших порянков Иначе говоря, приближенно можно записать следующее уравнение: т(1 + Ь) — т(1) = — ййт(Ф). (2.14) Так как величина т(з), очевидно, уменьшается с ростом Ф, то есть т($) есть убывающая функция $, то величина й в равенстве (2.14) положительна. Поделив обе части равенства (2.14) на Ь и переходя к пределу при Ь вЂ” ~ О, получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция т: т(г) = тое (2.16) Здесь то = т(0) — масса рассматриваемого радиоактивного вещества в момент времени 1 = О. При изучении радиоактивных процессов часто указывается характеристика процесса, называемая периодом полураспада.

Это — время в течение которого масса вещества уменьшается в д в о е. Период полураспада Т, как следует из (2.16), определяется равенством: -ьт е 2 Отсюда получаем, что йТ = 1п 2, и, значит, й = —. Ш2 Т Используя это равенство, формулу радиоактивного распада вещества (2.15) можно переписать иначе: т(1) = то ехр ~ — Ф вЂ” ~ = то 2 -цт т1 (2.17) 53. Производные высших порядков Предположим, что дана функция У, определенная на некотором плотном в себе множестве А С К н дифференцнруемая в каждой точке этого множества. Тогда для каждого х Е А определено число 1'(я) и тем самым на множестве А определена некоторая функция У' — производная функции У на множестве А. — ($) = — йт(8).

дт Ф (2.15) Мы получаем, таким образом, пример явления, в котором скорость изменения некоторой величины (в данном случае, массы радиоактивного вещества) п р о п о р ц и о н а л ь н а значению этой величины. Из равенства (2.15), как будет показано в п. 4.5.2 з4, вытекает следующая формула зависимости массы радиоактивного вещества от времени: 304 Гл. 4. Лифферевцввльное исчисление функций алкой переменной Предположим, что функция 1', в свою очередь, дифференцируема в каждой точке данного множества А. Ее производная обозначается символом ~» и называется второй производной функции ~.

Производная функции У» называется третьей производной 4ункции ~. Описанный процесс может быть продолжен, и, таким образом, мы приходим к понятию производной порядка и для произвольного и Е М. Естественным образом возникают множества функций ьГ' и С".

Первое состоит из всех функпий, имеющих во всех точках своей области определения производную порядка и. Второе состоит из тех функций, у которых производная порядка и не только существует, но также н непрерывна. (По традиции тот факт, что функция ~ принадлежит гэ" или С", иногда выражают словами: «~ — функция класса Ю" или С"», сокращенно: «У Е Ю"», соответственно, «э Е С"».) Далее устанавливаются некоторые свойства функций указанных классов. В частности, выводится выражение для производной порядка п произведения двух функций из 1э". В заключение для некоторых из основных элементарных функций привцдятся формулы для производных порядка и и некоторые простые соотношения, связанные с понятием производной порядка п. 3.1.

ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛНОЙ ВЫСШЕГО ПОРЯЛКА Зададим произвольно плотное в себе множество А С К. Не оговаривая особо, мы будем предполагать, что все функции, рассматриваемые в этом разделе, имеют областью определения множество А. Пусть функция у: А — й дифференцируема в каждой точке х Е А. Тогда определена функция ~': А — Ж вЂ” производная функции У на множестве А. Предположим, что функция у' имеет производную в точке хв Е А. Полагаем: Величина ~в(хв) называется второй производной функции ~ в точке хв.

Будем говорить, что функция ~ дважды дифференцируема в точке тв, если величина у" (тв) конечна. Пля обозначения второй производной используется также одно из следующих выражений: — (тв); Р у(тв). й У . 2 ' дтг Если функция у дважды дифференцируема в каждой точке множества А, то определена функция у» — вторая производная функции у. Производная функции ~" — в случае, если таковая существует, называется третьей производной Щункции у' и обозначается символом ~" и т. д. ЗО5 З 3.

Производные высших порядков 0 елим об ее понятие и-й оизво ной г е п — и оизвольное нат альное число. Первая производная или, что то же самое, — и-я производная порядка и = 1, — есть обычная производная. Предположим, что для некоторого и Е 1Ч понятие и-й производной или, что то же самое, производной порядка и определено.

Пусть функция ~ в каждой точке х Е А имеет конечную производную порядка и и пусть ~~"~(х) есть значение этой производной в произвольной точке х Е А. На множестве А, таким образом, определена функция ~~"~. Производная функции У~"~ в точке хо б А, если таковая существует, называется (и + 1)-й производной функции ~ в точке хо и обозначается символом ~~"+Ц(хо). По определению, имеем: У( + )( ) 11 < )( ) „ У ( ) У ( ) х хо,хеА х — хо Будем говорить, что функция ~: А — + К является и-кратно дифференцируеиой в точке хо е А, если ее и-я производная в точке хо определена и конечна.

Функция ~ называется и-кратно дифференцируемой на множестве А, если она и-кратно дифференпируема в каждой точке х Е А. Лля обозначения производной порядка п функции ~: А — К д" У в точке х е А применяются также следующие выражения: — (х); дх" .0"У( ). Производные третьего, четвертого, пятого и т. д.

порядка обозначаются также символами: У"', У' ", У, соответственно. Совокупность всех функций у: А — Ж, и-кратно дифференцируемых на множестве А, обозначается далее З" (А, К). Множество всех функций, принадлежащих множеству Т>" (А, Ж) и таких, что их производная порядка п непрерывна, обозначается С" (А, К). Совокупность всех вещественных функций, определенных на множестве А С Ж и непрерывных на А, будем обозначать С(А, К) или, когда это не может повлечь недоразумение, просто символом С.

В формулировках различных предложений, касающихся множеств С" (А,К), может возникать случай и = О. Условимся считать, что множество Со(А,К) совпадает с классом С(А,К) непрерывных функций, определенных на множестве А. Пля обозначения множеств функций, введенных сейчас, будем употреблять более простые выражения Р и, соответственно, С". ЗОб Гл. 4. Двфферелливльное исчисление функций одной переменной Если функция ~: А — К принадлежит множеству Р", то ее производная порядкап-1 — дифференцируемаи,следовательно,непрерывна в каждой точке х Е А. Это означает, что У принадлежит множеству С" '. Таким образом, если ~ Е Р", то у Е С" ь, то есть имеет место включение: Р» с С»-1 Производные высших порядков определяются как результат последовательных дифференцирований функций.

Пусть даны натуральные числа п и т, причем 1 ( т < и. Результат т-го ш а г а процесса последовательных дифференцирований есть функция гь ь — производная порядка т функции ~. Выполнив еще и — т дифференцирований, получим, с одной стороны, производную порядка и функции ~, а с другой — производную порьщка и — т функции у~ Таким образом, существование производной порядка и автоматически влечет за собой существование всех производнььх низших порядков. При этом производная порядка и функции у" является производной порядка и — т уьункции Уь Совокупность всех функций ~: А — + К, каждая из которых принадлежит множеству Р" при любом и, то есть имеет во всех точках множества А производную порядка и, каково бы ни было и, обозначается символом: С (А,К).

Когда недоразумение невозможно, применяется выражение С (А) или просто С О п е е л и м понятие п оизво ной и оизвольного по ка п Е ь"ь ля нк ий с комплексными значениями Пусть дана функция 1: А — + С, где А есть плотное в себе подмножество К. Тогда определены вещественные функции и = Кеу и е = 1ш1. Будем говорить, что функция 1 является и-кратно дифференцируемой в точке хо е А, если таковы функции и и и. Полагаем: У~"~(хо) = и'"'(хо) + ьи~"~(хо).

Для комплекснььх уьункций понятие бесконечной производной не определяется. 3.2. ПРОизВОлные ВыОших ЛОРЯЛНОВ некОтОРых элементАРных »у~~юиь Докажем, что основные элементарные функции принадлежат классу С . Найдем производные порядка и для некоторых из этих функций. Ограничимся только теми частными случаями, когда указанные производные допускают простые выражения. 307 З 3. Производные высших порядков 1. Степенная я. Пусть дана степенная функция 1: х ~-+ х", где а Е !к, Р— ее область определения.

Характеристики

Список файлов книги