1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Положим и(8) = ОС(г), х(г) = С(г)Х(к). Радиус-вектор х(г) точки Х(Ф), очевидно, равен п(1) + х(8). Вектор х(4) может быть получен следующим образом. Сначала окружности Г и Ь, взятые в положении, соответствующем значению 4 = О, повернем вокруг точки О на угол, равный 4/Н, в направлении против часовой стрелки. В результате такого вращения окружность Г перейдет в себя, а Ь займет положение, соответствующее данному 4. После этого окружность Ь поворачиваем вокруг ее центра, т.
е. вокруг точки С(4) на угол — в направлении против часовой стрелки (см. рис. 5). В результате вектор С(1)Н(1) перейдет в вектор х(Ф). Вектор х(1) получается из своего начального положения, соответствующего значению 4 = 0 как результат двух вращений — сначала на угол Ф/Н, а затем на угол 4/т. Отсюда следует, что со Ф своим начальным положением он образует угол, равный — + —. Вектор Н т С(0)Н(0) составляет с положительной полуосью оси Ох угол, равный я.
Отсюда получаем, что вектор х(Ф) составляет с указанной полуосью угол, равный — + — + к и, значит, вектор х(Ф) имеет координаты: 293 З 2. Некоторые приложения понятия произволиой т 1 изображена эпициклоида, для которой — = —, на рис. 7 представлена 2 эпициклоида,получаемая, когда — = — . Рис. 7 Рис. б Н " ем па амет ические авнения гипо клон ы.
Параметрические уравнения гипоциклоиды мы получим, если заменим в равенствах (2.5) т на — т. В результате этого будем иметь: /$ У(Ф) = ( — т) соэ — + т соз ~ — — — (, В Ь (' д(Ф) = ( — т) зш — + т зш ~ — — — ) . В 1В )' Это и есть па амет ические авнения гипо уклон ы. Рис. В Рис. 9 т 1 На рис. 8 изображена гипоциклоида, для которой — = —, на рис. 9 В 3' т 1 — гипоциклоида, получаемая, когда — = —. Кривая, представленная на рис. 9, называется также астроидой. Н " ем па амет ические авнения эпит охо ы и типот охо ы.
294 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функпий одной переменной Заменим в выражении для координат вектора и число т на Ь. В результате получим па амет ические авнения элит охо ы: $~ 1($) = (Л+ т) сов — — Ь сов ~ — + — ), л ~л .)' 14 д(1) = (Л+ т) в1п — — Ьвш ( — + — ) . Л 1Л )' (2.6) Рис.
10 Рис. 11 1$ 1(1) = (Л вЂ” т) сов — + Ь сов ~ — — — ), Л 1Л )' 14 д(й) = (Л вЂ” т) в1п — + Ьв1п ~ — — — ) . Л 1Л )' (2.7) Риа 12 Рис. 13 Примеры эпитрохоид представлены на рис. 10 и 11. На рис. 10— эпитрохоида, для которой Ь ) т, а на рис. 11 — эпитрохоида, получаемая при Ь < т. На обоих рисунках отношение радиуса катящейся 1 окружности к радиусу неподвижной окружности равно —.
4 Па амет ические авнения типот охо ы имеют ви: 295 з 2. Некоторые приложения понятия производной 1 На рис. 12 изображена гипотрохоида, для которой Ь > г, а — = —, т 1 на рис. 13 — гипотрохоида, которая получается при А < т и — = —. А 4 Легко устанавливается, что в каждой точке х(г) эпициклоиды, для которой ~х(г) ~ > В, выполняется условие теоремы 2.2 и, значит, в каждой такой точке она имеет касательную. Аналогичным образом заключаем, что гипоциклоида имеет касательную в каждой точке х(г), для которой выполняется неравенство: )х(г)) < В.
Можно привести и другие примеры кривых, замечательных в том или ином отношении. Кривые, рассмотренные здесь, сыграли определенную роль в истории математики. На заре становления дифференциального и интегрального исчисления они нередко использовались для проверки эффективности новых математических методов. Одна из классических задач, при решении которой возникает циклоида, — задача о линии наискорейшего ската или «брахистохроне», сформулированная в 1696 г. Иоганном Бернулли. Ланы точки Р и Я над поверхностью Земли, не лежащие на одной вертикальной прямой, причем точка Р расположена выше точки Я.
Задача состоит в том, чтобы найти линию, соединяющую Р и Я и такую, что под действием силы тяжести материальная точка скатится по этой линии из точки Р в точку ьг за кратчайшее время. Решения этой задачи были найдены И. Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопиталем. Оказалось, что искомэл кривая есть дуга циклоиды, получаемой качением окружности по горизонтальной прямой, проходящей через точку Р. Окружность при этом должна находиться ниже указанной прямой. Ее радиус определяется из того условия, что циклоида должна проходить через данные точки Р и О (см. рис.
14.) Задача о брахнстохроие в эпоху Ньютона и Бернулли явилась первой из числа задач, ставших несколько позже объектом исследования для направления математического анализа, называемого вариационным исчислением. 296 Гл. 4. Лифференциальное исчисление функций одной переменной Известны и другие механические задачи, решение которых дается дугой циклоиды. Эпитрохоиды, так же как и гипотрохоиды, впервые появились в математике, по-виднмому, в связи с геоцентрической системой мира, разработанной Клавдием Птолемеем (2-й век нашей эры). В этой системе Земля считается центром мира, вокруг которого вращаются небесные светила. Согласно Птолемею, движение планет вокруг Земли получается сложением двух движений. Планета равномерно движется по некоторой окружности (называемой эпициклом), центр которой, в свою очередь, равномерно перемещается по другой окружности.
В том случае, когда плоскости этих окружностей совпадают, траектория планеты представляет собой либо эпитрохоиду,либо гицотрохоиду. Заметим, что для того, чтобы объяснить все наблюдаемые особенности движения планет, Птолемей вынужден был вводить эпициклы высших порядков и следующим образом описывать движение планеты как сумму движений. Задается несколько окружностей. Планета движется равномерно по первой, самой маленькой окружности, центр которой равномерно перемещается по второй окружности, а центр этой последней равномерно движется по третьей окружности и т. д.
Геопентрическэя система Птолемея, в свое время, имела важное практическое значение. Она позволяла предсказывать положение небесных светил с точностью, удовлетворительной для практических делей. Причины,по которым человечество, в конце концов, отказалось от системы Птолемея, связаны с тем, что она не отражает истинную структуру солнечной системы, ибо физически абсурдно считать, что Земля неподвижна, а Солнце, масса которого превосходит массу Земли в 333000 раз, вращается вокруг нее. Циклоиды, а также эпициклоиды и гиподиклоиды встречаются также в различных задачах технического происхождения, например, в задачах о профиле зацепления зубчатых колес и других им подобных. Одно из приложений диклоиды, указанных Х. Гюйгенсом, связано с задачей об изояроь лом маяглване. Пусть дан маятник, то есть груз, подвешенный вертикально на нити, закрепленной вверху.
Если отклонить груз от положения равновесия и отпустить его, то под действием силы тяжести он начнет качаться. Период колебаний маятника, то есть время между двумя последовательными возвращениями груза в его начальное положение, как было замечено Г. Галилеем, не зависит ни от амплитуды колебаний (то есть от расстояния между крайними положениями груза), ни от массы колеблющегося груза. В дальнейшем, однако, было установлено, что установленный Г.
Галилеем закон независимости периода колебаний маятника от амплитуды выполняется лишь приближенно, с точностью тем большей, чем меньше амплитуда колебаний. Можно изменить конструкдию маятника, установив ограничители в виде изогнутых пластин, перпендикулярных плоскости колебаний маятника так, что когда маятник находится в покое, нить,на которой подвешен груз, проходит в щели между этими пластинами, а при колебании нить натягивается либо на одну из ограничивающих пластин, либо на другую. Х.
Гюйгенс показал, что если сечение каждого из ограничителей плоскостью колебаний маятника представляет собой циклоиду, то период колебаний маятника не будет зависеть от амплитуды, то есть маятник в этом случае будет изохронным. 297 З 2. Некоторые приложения понятия производной 2.3. Полярнля снствмл координлт нл плоскости. Грлфики еунк ий в полягной систвмв коордннлт На плоскости зададим произвольную декартову ортогональную систему координат. 2.3.1. Пусть ~ есть отображение произведения К х К = К~ на плоскость, которое произвольной паре чисел (р,у) Е К сопоставляет точку на плоскости, дехартовы ортогональные координаты которой есть (рсозу, реши).
Отображение ~ является отображением К~ на всю плоскость. Действительно, пусть Х = (х,у) есть произвольная точка на плос- П р(Х)=,~ +у'. Е Х=О, ~(0ф=Х р любом у Е К. Если Х ~ О, то р = р(Х) > О. Положим а = —,,3 = —. Имеем: х у Р Р аз+~3з = 1 и, значит, как было показано в главе 3, найдется число ~р Е К такое, что а = сову, 8 = вшу. Для этого у, очевидно, имеем: (2.8) х = рсозу, у = рз1пф, то есть Х = Цр, у) для данных р и у. Отображение ~ мы будем называть полярной системой координат на плоскости. Числа р и у будем называть полярными координатами точки Х = = ~(р, р), причем р называется полярным радиусом, а р — амплитудой точки Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
