1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В силу теоремы 3.1, отсюда следует, что произведение (д' о у)у' есть функция класса Р" (С"). Таким образом, производная функции Ь = до)' принадлежит классу Р" (С") и, значит, функция Ь принадлежит классу Р"+ (С"+ ). По индукпии теорема доказана. ° Следствие. Для всякой функции г: А — + С класса З" (класса 1 С") такой, что ~(я) ~ О для всех я Е А, функция и ~ — принадлежит У(*) классу Р" (соответственно, классу С").
Дохазательство. Сначала рассмотрим случай, когда функция ) — вещественная. Функция у: у ~-~ 1/у, как было показано выше (см. п. 3.2), принадлежит классу С на множестве К ~ (0). 314 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Предположим, что функция 1: А — Ж такова, что для всех я Е А 1 справедливо Х(я) ф О. Функция у о 1 = — определена для всех х Е А и как суперпозиция функций у и Х, согласно теореме 3.2, принадлежит тому же классу гладкости, что и функция Х. Пусть Х = и+ 4е есть произвольнал комплексная дууннния, причем 1(я) ~ О для всех и Е А. Тогда ни+оз нз+уу2 Функция и~ + о~ принадлежит классу Ю" (С") в силу теоремы 3.1, и и~ + о~ ~ О для всех и Е А.
Значит, функция 1/(и~ + о~) принадлежит классу ь" (С"). Применяя теорему 3.1 егце раз, получаем, что функции и 1 нз + ез = В,е —, е 1 = 1пз— нз+ууз принадлежат классу ьЗ" (С"), что и требовалось доказать. Лоиазательстно. Рассмотрим сначала случай п = 1. Предположим, что функция Х дифференпируема во всех точках интервала 1, причем Х'(и) э4 О для всех и Е 1. Тогда, как было доказано ранее (теорема 1.3), функция д = 1 ~ дифференцируема в каждой точке д Е,Х, то есть если Х Е ТУ~, то также и д Е Ю~. При этом у 1 9 (У) = ХУ~ ( )) (3.15) для всех д Е Х.
Функция д — непрерывна, и если производная Х' является непрерывной функцией, то из представления (3.15) производной функции д вытекает, что фувжция д' непрерывна. Таким образом, мы получаем, что если 1 принадлежит классу С, то также и функция д = Х ~ принадлежит этому классу.
° Теорема З.З. Пусть 1 = (а, о) есть произвольный открытый отрезок в множестве И и функция Х: Х вЂ” + К строго монотонна и отображает Х на интервал .7 = (р, д). Если Х принадлежит классу ТУ" (классу С") н для всех х Е 1 производная,Х'(и) отлична от нуля, то обратная функция д = 1 ~ принадлежит классу Ю" (соответственно, классу С"). 315 3 4. Теоремы о среднем значении Предположим, что для некоторого и утверждение теоремы доказано, и функция у принадлежит классу Р"~ .
Для всех у Е Х выполняется равенство: 1 У'(д(дН' Функция у' принадлежит классу Р". Так как у Е С", то, по предположения индукции, д Е С". В силу теоремы 3.2, у' о д Е Р". Так как у'(х) ~ 0 для всех х Е 1, то, согласно следствию теоремы 3.2, можно заключить, что функция принадлежит классу З". Стало быть, д Е Р"+г. Если 1 Е С"+~, то у' Е С" и, значит, согласно теореме 3.2, в этом случае у о д е С, и, следовательно, 1 Г од принадлежит классу С", а потому д Е С"+1. В силу принципа математическое индукции, теорема доказана. ° Выражения для производных высших порядков суперпозипии и обратной функции известны.
Мы не приводим их, ввиду громоздкости. Отметим о н ост о м кото ая часто оказывается полезной. Пусть д(х) = у(ах+ Ь), где а Е и и Ь Е К вЂ” постоянные. Если функция 1 принадлежит классу Т>", то д принадлежит тому же классу и для всех х выполняется равенство: дбй(х) = а"У~"~(ах+ Ь). Доказательство этого равенства — индукцией по п, ввиду очевидности, опускается. 34. Теоремы о среднем значении В настояшем параграфе доказываются теоремы, позволяюшие получать определенную информацию о поведении функции, заданной на некотором отрезке, по свойствам ее производной. 316 Гл.
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Основными результатами этого раздела являются гпеоремы Коши и Лагранжа о среднем значении (последняя доказывается здесь как следствие теоремы Коши). Наименование — «теорема о среднем значении» связано с тем, что каждая из этих теорем утверждает, что в промежутке, на котором заданы рассматриваемые в теореме функции, существует число («среднее значение») С, для которого верны определенные соотношения. Применение теорем о среднем значении позволяет получать некоторые оценки приращении функции по границам, между которыми лежит ее производная. Доказывается нригперий моиотпоииосгпи функции. Мы приводим здесь две теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия монотонности функции на отрезке.
Доказательство первой теоремы опирается на теорему Лагранжа о среднем значении. Вторая устанавливает достаточное условие монотонности функции, более общее, чем то, которое дается теоремой о среднем значении. Этот результат потребуется позднее в главе б «Интегральное исчисление функций одной переменной». 4.1. ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ФУНК ИИ. ТЕОРЕМА ФЕРМА Введем понятие то оси экстпремума 4уикции. В полном объеме оно будет рассмотрено в З 7.
В этом разделе мы докажем одно простое утверждение о точках экстиремума, на которое опираются доказательства некоторых теорем о днфференцнруемых функциях на отрезке. Пусть даны множество А С Ж и функция )': А — Ж. Пусть хе Е А есть предельная точка множества А. Точка хе называется точкой максимума функции .(, если точка ха имеет такую окрестность Н = (ха — б,хе + б), что для всех х е Н П А выполняется неравенство У(х) < Пхо). Говорят, что хе есть точка минимума функции (, если существует окрестность Н точки хе такая, что для всех х Е П П А выполняется неравенство ((х) > ~(хе). Точка хе называется тпочкой экстпремума фуикиии ), если хе есть либо точка минимума, либо точка максимума функции д. Для обозначения понятий «точка максимума», «точка минимума» или «точка экстремума» функции иногда применяются термины: «точка локадбного максимума», соответственно, «точка локального минимумаз и «точка локального экстремума» функции.
Пусть х(4) есть координата в момент времени 4 Е [а, Ь] точки, движущейся по прямой. Точки экстремума функции х — это те значения г, в которых направление движения точки меняется. 317 З 4. Теоремы о среднем значении к кк Рис. 17 На рис. 17 хз есть точка максимума, хз — точка минимума функции, график которой представлен на этом рисунке. Если хе Е А есть точна минимума функции У [ А — Ж, то хо является томкой максимума функции д = — Х, и точно так же, если хо — тпочиа максимума функции [, то хе есть точна нинимума функции д.
Действительно, пусть хо есть точка минимума функции [".. Тогда, согласно определению, найдется окрестность У точки хе такая, что для всех х е У П А выполняется неравенство: у(х) > У(хе). Для всех х Е У П А, очевидно, имеем: д(х) = -У(х) < -У(хо) = д(хо). По определению, это означает, что хе есть точна максимума функции д=-У Аналогично рассуждаем в случае, когда хе есть точка максимума функции У.
Если функция ~ [ А — + К принимает в точке хо е А, предельной для множества А, свое наименьшее (наибольшее) значение на множестве А, то хе, очевидно, является точкой максимума (к4нни ндма) функции ~. Обратное, вообще говоря, н е в е р н о, то есть если хе есть точна максимума (или квочка минимума) функции ), то у(хе) м о ж е т н е б ы т ь наибольшим или наименьшим значением функции г на множестве А. ла ец,пу [,б[=[ — 25,25] д [= — 3*[, р . 18[.
Имеем: у(х) + 2 = хз — Зх + 2 = (х — 1)~(х + 2). Отсюда вытекает, что у(х) + 2 > 0 для всякою х > — 2. Имеем: у(1) + 2 = О. Мы получаем, таким образом, что для всех х Е ( — 2, оо) выполняется неравенство: у(х) > Д1). Отсюда следует, что х1 = 1 есть точка минимума функции у. Из равенства: у(х) + 2 = (х — 1)з(х + 2) вытекает, что для всякого 319 з 4.
Теоремы о среднем значении а при х > хо выполняется неравенство: У(х) У(хо) < О (4.2) По условию, функпия У имеет в точке хо производную. Переходя в неравенствах (4.1) и (4.2) к пределу при х -+ хо слева и справа, соответственно, получим,что 1'(хо) > О, и одновременно У'(хо) < О.
Отсюда У'(хо) = О, что н требовалось доказать. Выше предполагалось, что хо есть точка максимума функции у. Если же хо есть точна минимума функции 1, то хо есть точна максимума функции д = — 1. Функция д имеет в точке хо производную, так как У имеет производную в этой точке. При этом д (хо) = -У (хо). Из доказанного следует, что д'(хо) = О и, значит, У'(хо) = О.
Теорема доказана. ° 4.2. Ткоркмы Коши и Ллгрлнжл о сркднкм знлчкнии функ ии 4.2.1. Предварительно докажем теорему, принадлежащую М. Роллю, которая понадобится нам в дальнейшем. ° Теорема 4.2 (теорема Ролля). Предположим, что вещественная функция у определена и непрерывна на сегменте (а, Ь] С И и в каждой точке х интервала (а, Ь) имеет производную 1~(х). Тогда если имеет место равенство 1(а) = ДЬ), то существует с такое, что а < с < Ь, и производная функции у в точке с обращается в нуль. 320 Гд. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Локазательстно. Пусть т = ш1' у(х); М = зцр 1(х); Ь = ~(а) = ДЬ). а<а<Ь « Ь В силу теоремы Вейерштрасса о непрерывной функции, величины т и М вЂ” конечны.
Имеем: т < Ь < М. Если т = М, то функция У на промежутке [а, Ь] и о с т о я н н а, и в качестве с можно взять произвольную точку интервала (а, Ь). Предположим, что т < М. По теореме о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной функции найдутся точки с1 Е [а, Ь] и сз Е [а, Ь] такие, что у(сь) = т, У(сэ) = М. Очевидно, что с1 и сэ — зто точки экстремума функции ~.
Так как т ф М, то, по крайней мере, одна из величин т и М отлична от Т. Пусть с есть та из точек сь и сз, для которой У(с) отлично от В. Очевидно, с ~ а, с ф Ь и, следовательно, а < с < Ь. Из условий теоремы вытекает, что функция У имеет в точке с производную. Так как с есть точка экстремума функции У, то, по теореме Ферма (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
