1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Строение множества Р определяется значением а, как это было описано в и. 1л1 главы 3. В каждой точке х е Р, отличной от точки О, имеем: г"'(х) = ах; ~о(х) = а(а — 1)х" и т. д. Индукцией по и легко устанавливается, что функция х ~ х принадлежит классу Р" на множестве Р~, (0 1 при любом и. При этом имеет место равенство: у~"!(х) = а(а — 1)... (а — и + 1)х (3.1) Если а Е Я, то Р = К, и в этом случае функция х = х" является т-кратно дифференцируемой также и в точке О, каково бы ни было т Е М. Если и Е М, то Р" (х") = п(и — 1)... 1 = и! и Р~ (х") = 0 при т > и. Таким образом, при и Е !ь! функция х ~-+ х" принадлежит классу С В случае, когда а есть о т р и ц а т е л ь н о е целое число, а = — т, где т Е М, область определения х = х есть множество !й ~ (0).
Функция х ™ в этом случае принадлежит классу С 1 В частности, функция х — принадлежит классу С . Для т Е Я х при каждом п Е 1Ч имеем: Р"(х ) = (-1)"т(т+ 1)...т(т+ п — 1)х ". (3.2) Вв ем е е некото ые обозначения. х" Для произвольного целого г > 0 положим: е,(х) = —,. Имеем, очевидно: гх"-' х -г Р[е,(х)] = = = е, г(х). г! (г — 1)! Отсюда вытекает, что справедливы следующие соотношения: 2. Показательная . Пусть дано число а > О, о зЕ 1. Функция х ~ а* дифференцируема в !й всюду, причем Р(а*) = а*1па для всех х Е !й. 308 Гл. 4.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Отсюда, очевидно, следует, что функция х ) а* является и-кратно дифференцируемой в К при любом )з. При этом Р" (а*) = а*(1па) (3.4) для всех х Е Ж при любом и. В частности, Р" (е*) ив в е* (3.5) при любом и Е М.
Из сказанного следует, что у)уикиия х )-+ а* принадлежит клас- суС 1 Ь лмлнк)ь Фу ц * ь*: Р) )= х 1 СО х > О. Функция х — принадлежит классу С в промежутке (О, оо). Отсюда следует, что функция х )-+ 1п х принадлежит классу С Применяя формулу (3.1) для вычисления производных степенной функции, получим равенство: Р" (1пх) = ( — 1)" х" (3.6) 4. Комплексная показательны нк ия и т игономет ические ехр(а+1Ь)х = е *(совЬх+ЬвшЬх). Отсюда получаем, что Р[ехр(а+ЬЬ)х) = ае *(совЬх+звшЬх)+Ье' (-вшЬх+ЬсовЬх).
Заметим,что — вш Ьх + 1 сов Ьх = 1(сов Ьх + 1 яд Ьх). Это позволяет переписать предыдущее равенство следующим образом: Р [ехр(а + 1Ь) х[ = ае *(сов Ьх + з вш Ьх) + зЬе'*(сов Ьх + з вш Ьх), фунц1ии. Пусть с = а+ зЬ вЂ” произвольное комплексное число. Рассмо- трим комплексную показательную функцию х )-+ ехр(а + ЬЬ)х. Согласно определению (см.
главу 3, п. 2.4), имеем: 3О9 З 3. Произвопные высших порядков то есть Р(ехр(а+ гЬ)х) = (а+ зЬ) ехр(а+ зЬ)х. Из этого соотношения пидукцпеб ио и, очевидным образом, выводится, что функция х ~-+ ехр(а + зЬ)х принадлежит классу Р" при любом и. При этом Р" (ехр(а + зЬ)х] = (а + зЬ) ехр(а + зЬ)х (3.7) для всех и. В частности, справедливо соотношение: е** = соз х + з вш х. Отсюда следует, что Р" (сов х+ г зшх) = Р" (е'*) = з"е'* при каждом и. зх Имеем: з' = ехр — и, значит, 2 Р" (соз х + з зш х) = е'(*+ зз ) = сов (х + — 1 + г вш (х + — 1 .
(3.8) При каждом и Р" (соз х + з зш х) = Р" (соз х) + зР" (вш х), откуда получаем следующие равенства: Р"(совх) = соз (х+ — 1; Р" (вшх) = вш ~х+ — 1 . (3.9) 2 /' 2/ 3.3. ТеОРемА О НРОизВВ ении ФУнк ий клАОООВ Р" и С". ФОРМУЛА ЛЕЙБНИ А Зададим произвольно плотное в себе множество А С И. Из определения производной и-го порядка непосредственно вытекает, что если функции /д: А — + И, у = 1,2,...,т, принадлежат классу Р", то их сумма также принадлежит данному классу. При этом имеет место равенство: 310 Гл. 4.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Формальное доказательство (индукцией по и), ввиду его очевидности, может быть опущено. Р Цд) ="> С.'(Р™Д(Р'д), в=о (3.10) где Р для т > 1 означает производную порядка т функции и Р~ г" = ~, аР див е д.
Коэффициенты С~ в равенстве (3.10) выражаются формулами: и! п(п — 1)...(и — й + 1) й!(и — й) ! для любых целых й и и таких, что 0 < й < п. 3 а м е ч а н и е. Числа С„" называются бииомиальными коэффициеиюами. Доказательство теоремы. Для и = 1 утверждение теоремы о принадлежности произведения классу Р" следует из доказанного ранее. Согласно правилу ди4фереицирования произведения (теорема 1.2), Р(Ю = (Рйд+ 1Рд, и равенство (3.10) для п = 1 верно с коэффициентами С~г = С1 = 1. Предположим, что для некоторого и произведение функций !' и д, принадлежащих классу Р", есть функция класса Р, и существует такая конечная система натуральных чисел С„, й = О, 1,..., п, что для ь любых двух функций у и д класса З" выполняется равенство (3.10).
Пусть ( и д — это функции класса Р"~~. Тогда ( и д также принадлежат классу Р" и, стало быть, для них выполняется (3.10). Для всякого целою й такою, что 0 < й < и, функция Р" ~) принадлежит классу Р, где пз = и + 1 — (и — й) = й + 1 > 1, а Р д— классу Р" при г = п + 1 — й > 1. ° Теорема 8.1 (о формуле Лейбница для произведения функций). Если функции У: А — И и д: А — + К принадлежат классу Р" (классу, С ), то их произведение !'д также является функцией класса Р" (соответственно, С ). При каждом п = 1, 2,... существует система из и+ 1 натуральных чисел Св, С,'„..., С„такая, что для любых двух функций 1", д класса Р" выполняется равенство, называемое формулой Лейбница: 311 З 3.
Производные высших порядков и"+ (уд) =~~ с„((п + у)(п д) + (п™у)(п + д)1 = в=о = '> с„(п" уИп д+,>~,с Ип у)(п д) = = с„'(Р"+'у)д+ ~(с„"+ с„" ')(Р"+' у)(и"д) + с„"уи"+'д. (3.П) в=1 Отсюда: и""(Уд) = ,'1 с„"„,(и""-'У)(и"д), (3.12) где Таким образом, существует такая конечная последовательность из п+ 2 чисел С„"+ы й = О, 1,..., п, п+ 1, что для любых двух функций У и д класса и"+ производная Р"+~(Уд) выражается через производные функций У и д равенством, которое получается, если в (3.10) заменить и на и + 1. По предположению индукции, коэффициенты С„" — это натуральные числа. В силу равенств (3.13), отсюда следует, что числа С~+1 также являются натурвльнымв.
Если функции у и д принадлежат классу С, то, как нетрудно видеть, в этом случае каждое слагаемое в правой части формулы (3.10) представляет собой непрерывную функцию. Таким образом, мы получаем, что если 0 < к < и, то функции Р" ~У и Р~д о д н о в р е м е н н о дифференцируемы.
Отсюда следует, что каждое слагаемое С~п" ~уп~д в правой части равенства (3.10) в данном случае дифференцируемо и, значит, вся с у м м а представляет собой функцию, дифференцируемую на множестве А, то есть пя производная п р о и з в е д е н и я Уд дифференцируема на множестве А. Следовательно, функция уд принадлежит классу и +~. Дифференцируя равенство (3.10) почленно, получим: 312 Гл. 4. Лифференпиальнае исчисление фунипий одной переменной Отсюда следует, что производная порядка и функции уд непрерывна,тоесть|д также принадлежит классуС".
Для завершения доказательства осталось указать явные значения для коэффициентов С~ в равенстве (3.10). Мы сделаем это надлежащим выбором функций У и д Пусть О < гл < п. Положим у(х) = е (х) и д(х) = е (х). Тогда Вайдам значение производной Р" (У(х)д(х)! Имеем: и! п! е„(х) = ',. (3.14) При каждом й ) 0 будет: Р е„=О при и-и й<гпиР" е„=1, Р е ив в 0 при й ) оз и.Р е = 1. Отсюда видно, что произведение Р" ~е„Р" е отлично от нуля для единственного значения й, а именно, для й = щ. В этом случае Р" ~е„~Р е = 1. Таким образом, мы получаем, что в сумме (3.10) слагаемое, соответствующее значению й = т, равно С„'", а остальные равны нулю. Отсюда заключаем, что для данных функций у и д имеет место равенство: Следовательно, ввиду (3.14), .
что и требовалось доказать. ° Иной вывод формулы Лейбница (3.10) см. в З 6, и. 6.4. 3.4. Ткоркмы ов опкрл иях нл еьнк иями кллссов Р" и С" и Теорема 3.2. Пусть А н  — плотные е себе подмножества К и функции у': А-+ И, д:  — + К таковы, что У(А) С В. Тогда если у ид принадлежат классу Р" (классу С"), то нх суперпозиция д о !' является функцией класса 'Р" (соответственно, класса С"). 313 З 3. Производные высших порядков Доказательство.
Пусть у и д — функции класса В~. По определению, это означает, что каждая из функций )' и д дифференцируема во всех точках своей области определения. Отсюда, на основании теоремы о дифферепаируемости суперпозпппп (теорема 1.4), вытекает, что функция д о У дифференцируема в каждой точке к Е А и, значит, Ь = д о у принадлежит классу Э~. При этом для всех к Е А выполняется равенство: Ь'(*) = д'й*)У'( ). Если ) и д принадлежат классу С1, то функпии )', )' и д' непрерывны. Отсюда, в силу равенства Ь =(д оу)у, следует, что функция Ь' также непрерывна на множестве А, то есть в этом случае Ь=доУЕС. Лля и = 1 требуемое утверждение д о к а з а н о.
Предположим, что для некоторого п справедливость утверждения теоремы установлена, и пусть | и д суть функпии класса Р"+ (С"+ ). Положим Ь = д о у. Тогда Ь =(д о~)) . Функпии д', у, у' принадлежат классу Ю" (классу С"). Так как для данною и, согласно предположению, утверждение теоремы верно, то д' о у принадлежит классу З" (соответственно, классу С").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
