1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 49
Текст из файла (страница 49)
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5. Функция х ~-+ х, где а Е И, дифференцируема в каждой точке х > О, причем Р(х ) = ах ~ для всех х е (О, оо). Действительно, для всех х > 0 имеем: х = ехр(а 1пх). Применим теорему 1.4, полагая в ней д = ехр и у = а1ц. Тогда получим, что функция х ~ х дифференцируема для всех х > О. При этом Р(х") = у'[1(х)]~'(х) = ехр(а 1пх)аР(1цх) = ах — = ах х что и требовалось доказать. В случае а > 0 функция Р: х ~ х определена на замкнутом слева промежутке [О,оо). Иссл ем воп ос о и е емости этой нк ии в точке О. Имеекс Р(х) — Р(0) х — 0 Отсюда следует, что для функции Р: х ~-~ х, где а > О, выполнены соотношения: 0 при а>1; Р(0)= 1 ирна=1; оо приО<а<1. Полагая а = 1/2, получим, в частности, что функция х ~ ~/х дифференцируема в каждой точке х > О.
При этом имеет место равенство: Р(~Гх) = —. 1 2~/х 6 Для а = р((2д+ 1), где р и д — пелые числа, р, д > О, функпия Р: х ~ х определена также для отрицательных значений х. П о к а ж е м, что и в этом случае функция Р является дифференцируемой для всех х ф О, причем имеет место равенство: Р'(х) = ах Итак, пусть похазатель а является рациональным числом указанного здесь вида и Р есть функция х ~-+ х . Д о к а ж е м, что для всякого х ф 0 функция Р в точке х дифференцируема, причем Р'(х) = ах Для случая х > 0 это следует из доказанного ранее (см. 5).
275 З 1. Определение производной Рассмот им с чай х<0. Имеем: Р(х) = ( — 1) (-х) . Если х < О, то у = — х > 0 и функция х ~ х дифференцируема в точке у. Отсюда следует, что функция Р дифференцируема во всякой точке х < О. Имеем: [г(х)) е+ = х~.
дифференцируя обе части этого равенства, получим: (2д+ 1)[Р(х)] ~Р'(х) = рх~ Отсюда н-г ч + хз~~ Р'(х) = д'[У(х)[У'(х) = дух))1па = а*'ша, то есть мы приходим к тому, что Ю(а*) = а*1па для всех х Е И. Полученный результат может служить своего рода свидетельством «естественности» натуральных логарифмов. Они с неизбежностью возникают в связи с задачей о дифференцировании произвольной показательной функции. 8. Найдем производные основных тригонометрических функций. Зададим произвольно точку х Е И. Зля всякого Ф ф х имеем: х — й зш1 — з1пх х+ Ф 2 = соз Ф вЂ” х 2 2 х — Ф созг — созх .
х+й 2 = — 2 з1п Ф вЂ” х 2 2 (1.15) что и требовалось доказать. Мы предоставляем читателю рассмотрение вопроса о дифференцируемости функции х" для данного а в точке О. Т. Рассмотрим показательную функцию х»-» а*, где а > О, а ~ 1. Имеем: а* = ехр(х1па). Таким образом, функция Р: х»-» а* является суперпозиппеб функций д = ехр и ~: х ~-» х1па. Каждая из этих функций определена и дифференцируема для всех х Е И.
Имеем: д (у) = д(у) для всех у Е И и У~(х) = 1п а для всех х Е И. Отсюда получаем, что для всякого х е И имеет место равенство: 276 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Функции соз и Бш, как было похазано вьппе, непрерывны. Имеет место равенство: вшх 1пп — = 1. е х При Б — ~ х х — г 2зш -+ 1. х — г х+Б . х+Б СОЗ вЂ” + Совхоз ЗШ вЂ” + ЗШХ; 2 2 БШХ Фй х = соз х Применяя правило ди44еренцирования частного (см. теорему 1.2, ра- венство (1.7)), получаем: Р(зшх) соах — зшхР(совх) соз х+ зш х Р(Бй х)— созз х созз х Окончательно Р(Бк х) = 1 (1.16) 9. Применяя теорему о производной обратной 4уннции (теорема 1.3), найдем производные обратных тригонометрических функций.
Сначала рассмотрим функции х ~-+ агсзшх и х ~-+ агссов х. Функция у ~-+ вшу отображает промежуток [ — х/2, я/2] на промежуток [ — 1, 1], и если -я/2 < у < т/2, то производная функции у ~-+ зш у в данной точке у отлична от нуля. Пусть х Е ( — 1, 1), у = атеях. Тогда — т/2 < у < х/2 и х = Бшу. Из теоремгя о производной обратной ~уннции следует, что производная Р(агсвшх) определена и конечна для всех х Е (-1, 1), причем 1 1 1 1 Р(агсзш х)— о( ьо Р ~Г~ Отсюда следует, что каждое из отношений, стоящих в равенствах (1.15), стремится к некоторому хонечному пределу при Б — + х. В результате получаем, что функции зш и сов дифференцируемы для всякого х Е К. При атом Р(зшх) = созх; Р(созх) = — вшх для любого х Е Й.
Рассмотрим функцию 277 З 1. Определение производной то есть 1 Р(агсв1пх) = ~/à — хз Аналогичным образом, для х Е ( — 1, 1), полагая у = агссов х, получим, что для всякого х Е ( — 1, 1) функция х ~ атосов х дифференцируема, причем 1 1 1 1 Р (агссоз х)— л( ей юо,,/Г: р Л: Р' то есть 1 Р(атосов х) =— Я вЂ” х~ Последнее равенство может быть получено также из тождества и агссозх = — — агсвшх, 2 Мы получаем результат, который нельзя не считать удивительным: производные функций агсвшх и атосов х, определенных чисто геометрически, есть функции, которые могут быть определены средствами алгебры без привлечения каких-либо соображений! Лля всех х Е И имеем: у = атеей х Е ( — я/2, 1г/2). Возьмем произвольно х Е И.
Пусть у = атеей х. Тогда х = гй у. Теорема 1.3 о вроизеодвог1 обратпной функции позволяет заключить, что функция атеей дифференцируема для всех х Е 2. При этом Р(агсГй х) = 1, 1 1 1+1 гу 1+ з =Сов у= Окончательно получаем: Р(атеей х) = 1 1+ хз (1. 17) доказательство которого мы предоставляем читателю. функции х ~-~ агсвшх и х ~-~ атосов х имеют производные также и в точках — 1 и 1. При этом производные функции агсвш в этих точках равны оо, производные функции агссов равны — оо.
Выв ем о м л ля оизво ной к х ~-+ агой х. 278 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ~2. Некоторые приложения понятия производной В этом параграфе рассматриваются примеры, в которых находит применение понятие производной. Определяется понятие касательной для кривой, заданной уравнением у = 1(х). Вводится понятие параметризованной кривой, и определяется понятие касательной в точке параметризованной кривой. Устанавливается некоторое достаточное условие существования хасательной в точхе параметризованной кривой. Рассматриваются различные примеры параметризованных хривых. Определяется понятие полярной системы координат на плоскости. Приводятся примеры кривых в полярной системе координат, устанавливается достаточное условие существования касательной для кривой, рассматриваемой в полярной системе координат.
Приводятся также примеры физического происхождения, в хоторых возникает понятие производной. 2.1. КАСАТЕЛЬНАЯ ГРАФИКА ФУНК ИИ Пусть дана функция (': М вЂ” й. На плоскости введем декартову ортогональную систему координат. Координаты произвольной точки Р на плоскости будем обозначать буквами с и ц. и ~+Дар) Роа 1 Построим график функции 1 (см. рис.
1). Зададим произвольно хо е М, и пусть х — любая другая точка множества М. Рассмотрим точки Ро = (хо,1(хо)) и Р = (х,1(х)). Прямая (, = Рор*, проходящая через эти точки, называется секущей графика функции 1. Эта прямая не параллельна оси Оу системы координат и не совпадает с ней. Как известно из аналитической геометрии, прямая 1 определяется уравнением вида ц = к(х)(С вЂ” хо)+Дхо), где й(х) есть нехоторое число— угловой коэффициент прямой ( .
279 З 2. Некоторые приложения понятия производной Прямая 1 есть множество всех точек Р = (С,П), координаты которых удовлетворяют данному уравнению. В частности, ему удовлетворяют координаты точки Р = (х, У(х)). Отсюда, после простых вычислений, получаем: у(х) — Дхо) х — хо Предположим, что функция у имеет в точке хо конечную производную, и пусть 1 есть проходящая через точку Ро прямая, определяемая уравнением: л = У'(хо)(( — хо) + У(хо) Пусть Л(1,1) означает наименьший угол между прямыми 1 и 1. Тогда при х -+ хо угол ~(1, 1) стремится к нулю. Пействительно, применяя известные формулы аналитической геометрии, получаем: к(х) — ~'(хо) г.(1,1) = агсЦЙ „( ),( ) При х -+ хо имеем к(х) — ~'(хо), откуда следует, что ~(1„1) — + О при х — хо.
Прямая 1 называется касаглеаьной гра4ика 4ункции У в точке Ро = = (хо,~(хо)). Она представляет собой предеаыяое положение секущей 1 графика функции ~, когда х -+ хо. Точный смысл етого таков: угол между прямыми 1 и 1 стремится к нулю при х — + хо. 2.2. ПОНЯТИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ КРИВОЙ. КАСАТЕЛЬНАЯ К ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ КРИВОЙ 2.2.1.
Напомним некоторые сведения из аналитической геометрии. На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. Пусть Х вЂ” точка на плоскости, имеющая координаты х и у. Будем писать: Х = (х, у). Буква О далее означает начало системы координат, символы Ох и Оу означают оси системы координат, Ох есть множество всех точек Х, у которых вторая координата у равна нулю, и аналогично Оу есть совокупность всех точек вида (О, у). Напомним, что вектором на плоскости или в пространстве называется всякая упорядоченная пара точек (Х, У).
Точка Х, первая компонента пары, называется началом векглора, а точка У, вторая компонента 280 Гл. 4. Днфференцнаньнов исчисление функций одной переменной пары, называется концом вектора. Вектор, начало которого есть точка Х, а южец — точка У, обозначается символом ХУ. Для векторов определяются понятие равенства и операции сложения векторов и умножения вектора на число. Мы не приводим этих определений, отсылал читателя к руководствам по аналитической геометрии. Для произвольной точки Х на плоскости вектор х = 02 называется радиус-вектором точки Х относительно точки О. Пусть х есть произвольный вектор на плоскости, х и у — координаты этого вектора в данной системе координат. В этом случае мы будем писать: х = (х, у). 2.2.2. Далее рассматриваются также и некоторые пространственные объекты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
