1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 45
Текст из файла (страница 45)
4.2. ФУНК ИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК ИЙ Докажем, что базисные элементарные функции полностью характеризуются тем, что эти функции непрерывны и для них выполняются соотношения, позволяющие выразить значения 1(х+ у) или 1(ху) через ~(х) и Ду). Эти соотношения мы будем называть фуннннональнььни уравнениями базисных элементарных фуннций.
Далее Й~ означает совокупность всех положительных вещественных чисел, то есть зс~ = (О, оо). Символом Б' обозначается множество всех комплексных чисел я таких, что ~я) = 1. ° Теорема 4.4 (функциональное уравнение Коши). Пусть 1" есть числовая функция, которвл определена и непрерывна в отрезке 1 = (а, Ь) множества й, содержащем точку О. Предположим, что для любых х, у б 1 таких, что х + у Е 1, выполняется равенство: У( + У) = У( ) + 1(У). Тогда существует число Ь б й такое, что для всех х б И выполняется равенство 1(х) = йх.
Доказательство. Пусть функция 1 удовлетворяет условиям теоремы, 1 = (а, Ь). Тогда а < О < Ь. Если х Е 1 и п Е 1И таковы, что пх Е 1, то 1(их) = иДх). При п = 1 это утверждение тривиальным образом верно. 252 Гл. 3. Элементарные функции Предположим, что для некоторого п Е М оно доказано. Пусть х 6 1 таково, что (и + 1)х Е 1. Тогда также пх Е 1. Имеем: ~[(п + 1)х) = ~(пх + х) = Япх) + Дх).
Согласно предположению, 1(пх) = п1(х). Тогда Д(п+1)х] = (п+1)1(х). В силу принципа матпемагпичеспой икдуппип, данное утверждение д о к а з а н о. Лля всякого х Е 1 имеем: 1(х) = 1(х + 0) = 1(х) + 1(0), откуда заключаем, что Д(0) = О. Если х Е 1 таково, что -х Е 1, то 0 = 1(0) = 1(х + ( — х)) = 1(х) + 1( — х), откуда Возьмем произвольно 6 Е 1 такое, что 0 ф 6.
Пусть х Е 1. Предположим сначала, что х = — 6, где п Е М, а гп — целое число. и Покажем в этом случае, что (4.7) 6 Р *р щ~ред~1,0 р, — еХ. И ,Палее, откуда Мы получаем,что 1(. ~) = ™1(Ь), так что в случае пз ) 0 равенство (4.7) д о к а з а н о. 253 З 4. дополнительные сведения об элементарных функциях Ь х по* < ю. т„, = -~ ~, т п )т! очевидно, принадлежит 1. Имеем: 1(х) = 1" ( — !т$-) = ~тЦ (- — ) = — $т!1(-) = — 1(Ь), так что равенство (4.7) д о к а з а н о и в этом случае.
ца ~фΠ— р й * р ьц. Положим э = —, и пусть (ка), п = 1,2,..., — последовательность Ь' рациональных чисел такая, что О < (к„~ < (я! для всех п и к„- э при и -+ 00. При каждом и точка я„Ь лежит на отрезке, концы которого есть точки О и х (это следует из неравенств О < (э„~ < (эО и, значит, к„Ь Е 1 для всех и. При п — ~ оо имеем к„Ь -+ х и, стало быть, в силу непрерывности 1, при и -+ оо будет 1(к„Ь) - 1(х). При каждом и, по доказанному, 1(к„Ь) = к„ДЬ) -+ к1(Ь) = — 1(Ь) при и -+ оо. Таким образом, для всех э Е 1 выполнено Дя) = Ьх, где Ь = —. ДЬ) Ь Теорема доказана.
° 3 а м е ч а н и е. Условие непрерывности функции 1 в доказанной теореме 4.4 может быть существенно ослаблено. Однако без каких-либо дополнительных ограничений обойтись нельзя. В о п р о с: существуют ли функции ~: 1 ~ й, где 1 — промежуток в кк, содержащий точку О, удовлетворяющие функциональному уравнению 1(х+ у) = 1(х) + 1(д) и отличные от функции 1: х ~-+ йл, оказывается связанным с некоторыми вопросами оснований математики. В рамках той аксиоматики теории множеств, которая в настоящее время большинством математиков рассматривается как основная, можно доказать существование функций 1, удовлетворяющих условию: 1(х + у) = 1(х) + 1(у) для любых х, у Е Й и отличных от функции 1: т ~-~ йх, где й Е Й вЂ” постоянная.
Известны, однако, системы аксиом теории множеств, исходя из которых можно установить отсутствие решений фуюеционального уравнения Коши, отличных от линейной функции 1: х Ье. 254 Гл. 3. Элементарные функции Рез льтат тео емы 4.4 доп екает оп еленн ю т актовк изическо- го со е жания.
Предположим, что рассматривается какой-то физический процесс, происходящий в течение определенного времени. Это может быть электрический ток в проводнике, горение свечи, течение жидкости в канале, полет ракеты в космосе и т. д. Предположим далее, что для каждого промежутка времени [гг,1г] можно говорить о результате действия данного процесса в течение этого промежутка. Это может быть, например, количество тепла, выделившегося на определенном участке проводника, длина отрезка свечи, сгоревшего за время, прошедшее от момента 8г до момента 6г, объем воды, протекший в канале за то же время, н т.
д. Среди различных процессов могут быть выделены такие, которые протекают с постоянной интенсивностью. Что это означает, можно, однако, понимать по-разному. Во-первых, процесс, имеющий постоянную интенсивность, можно определить как такой, для которого для любых двух промежутков времени равной длины результаты действия процесса в течение этих промежутков всегда одинаковы. Во-вторых, физический процесс можно считать происходящим с постоянной интенсивностью, если результат его действия за произвольный отрезок времени [гы 1г] пропорционален длине этого отрезка, то есть равен (6г — 1г)х, где /с — некоторая постоянная. При некоторых весьма общих предположениях приведенные два определения оказываются э к в и в а л е н т н ы м н. Пусть, например, изучается виженне точки по п ямой.
На прямой введем систему координат, и пусть х(1) есть координата точки в момент времени 1, где а < 1 < 6. Возьмем произвольно значения 1г н 1г, где а < 1г < 1г < 6. Разность х(1г) — х(гг) называется перемегаеиием точпи за промехеутоп времени [Мг,1г]. Говорят, что точка движется р а в н о м е р н о, если для любых двух различных отрезков времени [гг,8г], [г„1г] таких, что 1г — 1г = 1г — 1'„всегда х(1г) — х(~г) = х(~г) — хф). Покажем, что если функция х непрерывна и движение, в смысле данного определения, р а в н о м е р н о, то существует постоянная е такая, что х(1г) — х(1г) = ($г — 1г)е для любых 1г,1г Е [а,6]. Положим 6 — а = 1.
Для и Е [О, 1] полагаем у(и) = х(а+ и) — х(а). 255 З 4. Дополнительные сведения об элементарных функциях Возьмем произвольно иг Е [0,1], иг Е [0,1] такие, что иг + иг < 1, и пусть 1г — — а, 1г = а + иг, $з = а + иг + иг. Имеем: ~р(иг + иг) = х(1з) — х(1г) = х(1з) — х(1г) + х(1г) — х(1г). Так как 1з — $г = иг, то х(1з) — х(1г) = х(а+ иг + иг) — х(а+ иг) = у(иг ).
Палее, х(1г) — х(1,) = х(а + иг) — х(а) = <р(иг), и мы получаем: у(иг + иг) = ~р(иг) + ~р(иг). Функция у, очевидно, непрерывна. На основании теоремы 4.4, из доказанного вытекает, что у(и) = еи, где е Е Й вЂ” постоянная. Пля любых 1г,1г Е [а,6] таких, что 1г < 1г, имеем х(1г) — х(1г) = = х(а +1г — 1г) — х(а) = <р(1г — 1г) и, следовательно, х(1г) — х(1г) = (1г — 1г)е, что и требовалось доказать. ° ° Хеорема 4.5.
Пусть 1": й — Ж вЂ” непрерывнал функция, не равная тождественно нулю и такая, что для любых хг, хг Е Й выполняется равенство: ,1(хг + хг) = 1(хгЩхг). Тогда существует постояннал й Е й такая, что для всех х Е й выпол- няется равенство 1(х) = е Показательство.
Пусть функция у удовлетворяет всем условиям теоремы. Покажем, что тогда у(х) ф 0 для всех х Е Й. Предположим, что нашлась точка ха Е й такая, что 1(хз) = О. Тогда для любого х Е Й будем иметь: У(х) = У(х — х. + х.) = У(х — х.)У(х.) = О, и, следовательно, в этом случае у тождественно равна нулю, вопреки предположению. Итак, 1(х) ~ 0 для всех х.
Лля любого х Е й имеем: Х(х) = Х (- + -) = У 4) Х 4) > О, так как ~ ( — ) ~ О. Таким образом, у(х) > 0 для всех х Е й. 256 Гл. 3. Элементарные функции Положим Г(х) = !п !'(х). В силу доказанного, функция Г определена и непрерывна при каждом х Е Й. Из соотношения у(х+у) = у(хну) получаем: 1п !'(х + у) = 1п Дх) + !п у(у), то есть Г(х + у) = Г(х) + Г(у). На основании теоремы 4.4, отсюда получаем, что Г(х) = 1сх при любом х Е Й и, значит, 1(х) = е" для всех х Е Й.
Теорема доказана. ° ° Теорема 4.6. Пусть у": И+ - И вЂ” непрерывная функция такая, что для любых х > О ну > О !(ху) = !(х) + !(у). Тогда существует постояннал lс Е м такал, что для всех х Е м' выпол- няется равенство !(х) = Й !п х.
Доказательство. Положим Г(х) = Яе ). Тогда для любых х,убей: Г(х+ у) = !(е ея) = !(е ) + у(ез) = Г(х) + Г(у). Функция à — непрерывна и, значит, по теореме 4.4, Г(х) = хх для всех х Е Й. Имеем далее: !"(х) = Г(1п х) для любого х Е Й~, откуда получаем г"(х) = х 1п х, что и требовалось доказать. ° ° Теорема 4.7. Пусть !': й+ — И+ — непрерывная функция такая, что У(ху) = Ях)Яу) для любых х > О и у > О. Тогда ~(х) = х~, где ЙЕЙ.
Доказательство. Пусть !': м+ -+ м+ удовлетворяет всем условиям теоремы. Тогда 1(х) > О для всех х Е м~. Положим Г(х) = !п Дх). Тогда Г непрерывна и для любых х Е И+ и у Е Й+ будем иметь: Г(ху) = Г(х) + Г(у). Отсюда, в силу теоремы 4.6, Г(х) = !с 1п х и, следовательно, !(х) = = ехр Г(х) = ехр(х1п х) = х~, что и требовалось доказать. ° Установим некоторый а н а л о г теоремы 4.5 для случал функций со значениями в С. Предварительно введем следующее обозначение: $~ =(хЕС:Ц=Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
