1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(1.4) 1.2. ПРАВИЛА ЛИФФЕРЕН ИРОВАНИЯ Зададим произвольно плотное в себе множество А С И и точку а Е А. ° Тоорема 7.2. Пусть У: А — Ж и д: А -+ Ж суть функции, дифференцируемые в точке а, Л н р — вегцествелные числа. Тогда функции о' = ЛУ + рд н Р = Уд также днфференцируемы в этой точке. При этом выполняются равенства: о~(а) = ЛУ (а) + рд (а); Р'(а) = У'(а)д(а) + У(а)д'(а). (1.6) — дифферен- У д Если для всех х Е А выполнено д(х) ~ О, то функция В = цируема в точке а.
При этом У'(а)д(а) — У(а)д'(а) [д(а))г (1.7) В проделанных рассуждениях предполагалось, что х ф а. Полученное равенство, очевидно, выполняется также и при х = а. Равенство (1.4) и есть то представление функции У, которое требуется по определению дифференцируемой функции. Мы получаем, таким образом, что функция У дифференцируема в точке а и достаточность условия теоремы установлена. Теорема доказана. ° 268 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Доказательство. Требуется доказать, что каждая из функций Я = Лу'+ рд, Р = уу и (в случае, если д(х) 4 0 для всех х Е А) В = — имеет конечную производную в точке а, причем эти производные У у выражаются равенствами (1.5) — (1.7). Пля любого х Е А, отличного от а, выполняется равенство: [ЛДх) + рд(х)] — [ЛЯа) + рд(а)] Дх) — у(а) д(х) — у(а) — Л +Ц х — а х — а х — а При х — а правая часть этого равенства стремится к конечному пределу, равному Лу'(а) + рд'(а).
Отсюда вытекает, что функция Я в точке а дифференцируема, причем ее производная равна Лу'(а) + рд'(а). Далее имеем: у(х)у(х) — Яа)д(а) [У(х) — у(а)]д(х) + 7(а)[д(х) — д(а)] Дх) — У(а) д(х) — д(а) х — а х — а (1.8) Так как функция д, согласно условию теоремы 1.2, дифференпируема в точке а, то она н е и р е р ы в н а в этой точке и, значит, д(х) -+ д(а) при х-+ а. При х — + а Дх) — Да) х — а д(х) — д(а) д (а).
Отсюда следует, что при х — а по множеству А и р а в а я часть равенства (1.8) стремится к пределу, равному у (а)д(а) + у(а)у (а). ~(х) ~(а) У(х)д(а) — Да)д(х) д(х) д(а) д(х)д(а) [У(х) — У(а)]д(а) — Да)[д(х) — д(а)] д(х)у(а) Таким образом, дифференпируемость Функции Р = Уд в точке а установлена. Одновременно доказано и неравенство (1.6).
Наконец, имеем: 269 З 1. Определение производной Отсюда В(х) — В(а) 1 ~1(х) — 1(а) д(х) — д(а) х — а д(х)д(а) ~ х — а х — а Функция д дифференцируема и, значит, непрерывна в точке а. Следовательно, д(х) -+ д(а) при х — ~ а по множеству А. Так как при х — + а 1(х) — 1(а), д(х) — д(а) х — а х — а то из равенства (1.9) следует, что отношение В(х) — В(а) при х -+ а стремится к пределу, равному 1'(а) д(а) — 1(а) д'(а) (д(а)Р Теорема доказана.
° %' Следствие. Если функция 1": А — К дифференцируема в точке а Е А, то для любого Л Е К функция Л~ дифференцируема в точке а Е А и ее производны в этой точке равна Л1'(а). Для доказательства достаточно воспользоваться утверждением теоремы о дифференцируемости функции Я = Л1+ пд, полагая д = 1 и д = О. ° Теорема Х.З (о производной обратной функции). Пусть 1 есть промежуток и множестве К и 1: 1 — + К вЂ” непрерывны строю монотонная функция.
Пусть | = 1(1), д = 1 ~ и Ь вЂ” произвольная точка 1. Если функпия 1" имеет в точке а = д(Ь) конечную или бесконечную производную, то функдия д = 1 ~ имеет производную в точке Ь. При этом если производная 1'(а) конечна и отлична от нуля, то производная д'(Ь) также конечна, причем / 1 д (ь) 270 рл. 4. Лифференпиальное исчисление функций одной переменной если 1'(а) = О, то д'(Ь) = хоо, где знак «+» следует брать в случае, когда функция 1 — возрастающая, а знак «-» — в случае, когда функция 1 является убывающей; если 1'(а) = ~ос, то д'(Ь) = О.
Иоилзателъстио. Пусть у ~ Ь есть произвольная точка множества,1. Имеем: д(у) — д(ь) д(у) — д(ь) у — ь У(д(у)] — 1[д(ь)] где При у у6 Ь будет д(у) ~ д(Ь) = а, в силу того, что отображение д взаимно однозначно. При у — Ь выполнено д(у) — д(Ь) = а. Если 1'(а) ф О, 1'(а) ф ~ос, то при х — + а по 1 1 Н(х)— Пусть 1'(а) = О. Если функция 1 — в о з р а с т а ю щ а я, то Н(х) >Одлявсеххб1,хна. Если функция 1 является у б ы в а ю щ е й, то Н(х) (0 для всех х6 1,хна. Отсюда следует, что 11ш Н(х) = со х х в случае, когда функция у является в о з р а с т ею щ е й, и 1пп Н(х) = — оо, х-~х еслибы — убывающая функция. Наконец, если У'(а) = ~со, то 11ш Н(х) = О. х-~а Мы получаем, что Н(х) имеет конечный или бесконечнътй предел при х- а.
271 'З 1. Определение произвадиой В силу теоремы о замене переменной нод знаком предела, отсюда вытекает, что существует предел: Иш ( ) ( ) = ИшН[д(д)] = ИшН(х). и ь д — Ь э-ь и-~а ° Хеорема 1А (о производной суперпозиции). Пусть А и В суть плотные в себе множества и функции ~: А — К и д:  — ~ К таковы, что Дх) Е В при каждом х Е А.
Предположим, что фувкция у является дифференцируемой в точке о Е А, а д днфференцируема и точке Ь = У(а). Тогда суперпозиция д о 1 дифференцируема в точке а. При этом имеет место равенство: (д о у)'(а) = д'(Ь)1'(а) = д'[Да)],1'(а). Доказательство. Так как, по условию, функция д дифференцируема в точке Ь = Да), то фунхция д допускает представление: д(р) = д(Ь) + д'(Ь)(у — Ь) + Яу)[у — Ь[, (1.10) где ~9(Ь) = 0 и ~3(д) — 0 при д — Ь по множеству В.
Отсюда получаем: И(х)] И(о)] (Ь) У(х) У(о) ~ ( ) л[ь( )] У(х) По) (1 1ц х — и х — а х — а где п(х) = — 1 при х < а, о (х) = 1 при х ) а и о (а) = О. При х — а имеем Дх) -+ Ь. Отсюда вытекает, что Щ(х)] -+ 0 при х -+ а. Выражение, стоящее в равенстве (1.11) с и р а в а, при х — + а стремится к пределу, равному д'(Ь)у'(а). Тем самым дифференцируемость фунхции до ~ в точке а установлена и доказано, что производная функции выражается формулой (1.10), указанной в теореме. Теорема доказана. ° 1.3. ИФФЕРЕН ИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК ИЙ Иссл ем во ос о и е емости основных элемента ных " и на" ем в ажения ля их оизво ных всю г е эти и оизв ные с еств ют.
Ввиду сказанного выше о пределе функции Н при х — а, теорема доказана. в 272 Гл. 4. Днфференпнальноенсчнсленне функпнй одной переменной 1, функция 1(х) = С, которая определена и является постоянной на множестве К, дифференцируема в каждой точке х Е К, и ее производная тождественно равна нулю. 2. Пусть фф — произвольное целое число. Покажем, что функция х у-р х" дифференцируема в каждой точке своей области определения, причем имеет место равенство: Р(х") = ффх" (1.12) уВ =1.В р у ОЕ.П Д(=— *. Тогда получим: Л~) — У(х) е — х Ф вЂ” х для любого Ф Е К.
Отсюда, очевидно, следует, что функпия х р-+ х дифференпируема для всех х Е К, причем Р(х) = 1 для всех х Е К. Предположим, что для некоторого п Е Я дифференцируемость функпии х р-+ х" в каждой точке х Е К и равенство (1.12) доказаны. Имеем: х"+ = х" х х и, значит, согласно теореме 1.2, функция х 1 х + дифференцируема для всех х Е К. При этом имеет место равенство: Р(х"+ ) = Р(х")х + х"Р(х) = ффх" ~х+ х" = (и+ 1)х". П х х Отсюда следует, что функция х р-р х" для всякого х ф 0 — дифференцируема иаи частное двух ди44ереицируемых функций — функции х р~ 1 и функции х 1-+ х™.
Это есть равенство, получаемое из (1.12), если заменить в нем и на и+1. В силу принципа математической индукции, из доказанного следуют дифференцируемость функции х у-у х" для любого и Е е'( при каждом х Е К и равенство (1.12). Пу щм~ю, <О. Е =О ° 1.В у В( (=О ВЕ.В,фр (1.12) в этом случае в е р н а. Р а с с м о т и м чай и < О. Областью определения функции х р-р х" в этом случае является множество К 1 (0), получаемое из К исключением точки О. Пусть фф = — т, где т Е г(. Лля любого х ф 0 273 З 1.
Определение производной Применяя правика ди4ференцирования частноео (см. теорему 1'.2), получим: Р(1)х™ — глх .0(х") =.0 ~ — пзх = цх" Р1 1 —.0 ~ хя"' Мы видим, что формула (1.12) в е р н а и в этом случае. 3. Покажем, что функция ехр: х ~-+ е* для всех х Е К дифференцируема, причем для всех х Е К выполняется равенство: Р(е*) = е . (1.13) Возьмем произвольно точку х Е К. Лля всякого Ф Е К имеем: е — е* хе * — 1 = е* Ф вЂ” х Ф вЂ” х При Ь вЂ” + О е — 1 ь Ь вЂ” + 1.
Отсюда следует, что отношение ев ее Ф вЂ” х при Ф вЂ” + х стремится к пределу, равному е*, что и требовалось доказать. 4. Покажем, что функция х ~ 1пх дифференцируема в каждой точке х Е (О, оо), причем для любого х > О выполняется равенство Р(1пх) = —. 1 х (1.14) Р( ) = (У )'(х) = — = 1 1 1 Ду) ехр(1пх) х ' что и требовалось доказать. Воспользуемся теоремой о производной обратпной пункции (теорема 1.3). Полагал в этой теореме 1 = К, Х = (О,оо), у = ехр, у = 1п, х = 1(р) = е", получим, что функция 1п дифференцируема в каждой точке х Е (О, оо), причем 274 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
