1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Зададим произвольно в > О и положим Б = шгп(е, х1. Пля всякого х Е И такого, что ~х — ха~ < Ь, будем иметь: ) гйп х — вгп ха! < 1х — хо! < а < г; ) сов х — сов ха! < (х — хо! < б < в. В силу произвольности г > О, тем самым н е и р е р ы в н о с т ь функцийвгп исоа вточкехо установлена. Ранее 1см.

и. 5.3.1 главы 2) было определено понятие равномерно непрерывной функции. Из доказанного следует, что функции вшх и сов х равномерно непрерывны на множестве Й. По определению гиаигенса, имеем: в!п х Фк х = —. сов х Величина $к х о п р е д е л е н а для всех х Е Й, для которых сов х ~ О. В каждой точке х Е И, для которой величина Фб х и м е е т )вгпх — вгпхо~ = 2 (совх — совха( = 2 х+ ха сов х+ хо Б1п 222 Гл.

3. Элементарные функции с м ы с л, функция Фй н е п р е р ы в н а как отношение двух непрерывных функций. Следствие 2 доказано. Неравенства, установленные в лемме 2.1, позволяют найти предел: з1п х Бш —. з о х н х~ Д о к а ж е м что для всех х Е ~-- -) отличных от точки 0 1 2' 2)' ! выполняются неравенства: зшх 1» — сок х. х 12.2) Действительно, пусть х > О.

Согласно лемме 2.1, имеем: зшх пп х < х < 1й х = соз х' откуда, после очевидных преобразований, получаем, что в этом случае неравенства 12.2) в ы п о л н я ю т с я. Пусть х Е ( — —,О). Тогда 0 < — х < к/2, зшх = — з1п( — х), и в 2' этом случае зш х зш1 — х) — соз1 — х) = сок х. х 1 — х) Отсюда заключаем, что если х < О, то 81п1 — х) з1п х 1 ) = — ) соз1 — х) = сок х, 1 — х) х что и было нашей целью, сформулированной в начале раздела. так что неравенство 12.1) в е р н о для всех х Е (-- — отличных 2' 2/' от нуля. Функция соз н е п р е р ы в н а в точке О. При этом сок О = 1. Отсюда следует, что соз х — 1 при х -+ О. Левая часть неравенства12.1) есть функция, тождественно р а в н а я 1, и, следовательно, она имеет равный 1 предел при х — ~ О.

Применяя пзсорему о зажатой переззенноб 1теорвма 1.5 главы 2), отзшх сюда получаем, что отношение — имеет равный 1 предел при х — О, то есть зшх 1пп — = 1, о х З 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 223 2.3. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНК ИИ Косинус, синус и тангенс не являются м о н о т о н н ы м и функциями в их областях определений. Поэтому понятие о бр а т н о й функции длякаждойизних лишено смысла. В то же время оказывается весьма желательным иметь для тригонометрических функций хотя бы некоторый «суррогат» понятия обратной функции.

Необходимость в этом возникает, например, при решении уравнений вида: зшх = у; созх = у; 1Е х = у. В связи с этим поступают следующим образом. Зля каждой из тригонометрических функций выделяется промежуток, в котором данная функция строго монотонна. Этот промежуток называется о с н о в н ы м. Зля ограничения тригонометрической функции на о с н о в н о м промежутке о п р е д е л е н а обратная функция. В результате возникают три функции, которые называются обратными тригонометрическимии функциями.

Зля функции х»-» гшх, в качестве основного промежутка, выбирается отрезок ~ — —, — 1. На этом отрезке синус есть строго воз- 2' 21 к~ . к растаюи4ая функция, гш ( — — ~ = — 1, гш — = 1. 2~ ' 2 По теореме о непрерывной обратной функции 1теорема 4.3, глава 2), отсюда следует, что ограничение функции х» гшх на отрезке ~ .'.1 — — взаимно однозначно отображает этот отрезок на ~ — 1 Ц и имеет 2'2> » непрерыеную обратную функцию, которая называется арксинусом.

Ее значение в точке х б [ — 1, Ц обозначается символом агсзш х. Согласно определению обратной функции, агсг1пх — это число у к ~ — —, — ~ такое, что сйп у = х. Следовательно, имеют место равенства: агсгш1гш у) = у для любого у к ~ — —, — и 2' 2~ зш(агсзш х) = х для всех х Е ~ — 1, Ц. Функция х»-» агсгш х непрерывна и с т р о г о в о з р а с т а е т на отрезке ~ — 1, Ц 1см. рис.

9). 224 Гл. 3. Элементарные функции Рис. 9 Лля функции х «-«сов х в качестве о с н о в н о г о промежутка выбирается отрезок [О,т]. Кос7777ус является с т р о г о убывающей функцией на этом отрезке, причем сов 0 = 1; сов 7г = — 1. Функция, о бр ат н ая к ограничению«гос777«уса на отрезке [0,7г], обозначается символом агссов х. Она определена на отрезке [ — 1, 1]. Лля всякого х Е [-1, Ц имеем: сов1агссов х) = х и агссов1сов у) = у для у Е [О, л]. Функция х «-«агссов х непрерывна и с т р о г о у б ы в а е т на отрезке [ — 1, 1].

М вв енными з есь нк иями имеется п остал связь. Пусть х Е [ — 1,1], у = агссов х. Тогда у Е [0,7г] и, следовательно, 7Г т л1 г'т — — у Е [--« -~ . Имеем: гйп ( — — у) = сов у = х. 2 [ 2'2]' ' ~2 Согласно определению функции агсвш, отсюда вытекает, что 7à — — у = агсвш х, 2 то есть 7à — — агссов х = агсвш х 2 и, значит, 7Г агсвш х + агссов х =— 2 для всех х Е [ — 1, 1].

Лля функции х «-« ~й х, в качестве о с н о в н о г о, выбирается промежуток ( — — «-~. В этом промежутке данная функция непрерыв- 2'2/ на и является строго возрастающей. Заметим, что ~й х — — оо при з 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 225 7Г Л' х — ~ — — и 1б х — оо при х — ~ —. Отсюда ясно, что функция х ~-~ 1й х 2 2 о т о б р аж а е т промежуток ( — —, — 11 на множество й. 2' 2/ На основании теоремы о непрерывной обратной фуннции (теорема 4.3 главы 2), для всякого х Е й с у ш е с т в у е т, и притом единственное уЕ ~ — — — ~ такое что1йу=х. Этозначениеу 2'2/ обозначается символом агой х 1читается: «арктангенс х»). По той же теореме о непрерывной обрагпной фуннции, функция х ~-~ агссб х, определенная в промежутке 1 — со, оо) = Й, н е п р е р ы в н а и является строго возрастаюшей.

При этом я я 1цп агс~б х = --; 1пп агап х = —. Ж вЂ” СЮ 2' 2 График функции у = агап х приведен на рис. 10. Риа 10 Выбор основного промежутка, который производится при построении обратных тригонометрических функций, в какой-то мере, условен. Кроме требования строгой монотонности функции в этом промежутке, он определяется соображениями удобства, а также тем условием, что множество значений функции в основном промежутке должно совпадать с множеством всех значений рассматриваемой тригонометрической функции.

В качестве примера применения обратных тригонометрических функций приведем формулы, дающие общий вид решения уравнений вида /1х) = Й, где /' — тригонометрическая функция. Уравнение вшх = 1г не имеет решений, если ~Ц > 1. В случае ~Ц < 1 совокупность всех решений этого уравнения есть множество 1х Е К~ х = пя+ 1-1)" агсз1п Й, где и Е Ж).

226 Гл. 3. Элементарные функнии Совокупность всех решений уравнения сов х = и есть пустое множество в случае ~Ц > 1 и представляет собой множество (х б вь ~ х = 2дддг ~ агссоз Й, где и б Ж), если ~Ц < 1. Уравнение Гй х = й разрешимо при всяком й Е вь, и совокупность всех его решений есть множество (х Е Ж~ х = ддя + агс1ц Й, где дд б Ж). 2.4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНК ИЯ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА Целесообразно придать определенное значение величине ехр в для случая, когда в есть произвольное комплексное число.

Пусть в = х + ду, где х, у б й. Тогда мы полагаем е* = ехрв = е*(сову+ дзшу). Если в б й, то у = 0 и это определение величины ехр в, очевидно, приводит к тому же значению, что и определение, данное в п. 1.1. ° Теорема 2.1. Для любых вд, яз б С имеет место равенство: (ехряд)(ехряв) = ехр(вд + вв). Доказательство. Пусть вд = хд+дуд, хв = хе+дуг. Тогда ехр вд = е '(сов уд + д вш уд); ехр яв = е '(сов ув + д вш ув). Перемножая эти выражения почленно, получим: (ехр вд )(ехр яв ) = = е ' '((сов уд соз ув — вш уд вш ув) + д(вш уд сов ув + вдп ув сов уд)) = = е*д+ (сов(уд + ув) + д зш(уд + ув)).

П р а в а я часть этого равенства, по определению, равна ехр(вд + вв), и теорема тем самым доказана. ° я 2. Тригонометрические функции. Понятие элементарной функции 227 яшх В качестве с лед с та и я леммы 2.1 о пределе отношення— х при х, стремящемся н нулю, получим следующий результат. е'* — 1 ° Теорема 2.2. Функция х Е й при х, стремящемся к О, имеет предел, равный я1 Доказательство. Имеем: е'* = соя х+ я' я1п х.

Отсюда получаем: е'* — 1 = соя х — 1 + я яш х и, значит, е'* — 1 соя х — 1 лйп т + 1 —. х х х (2.3) ° г х Заметим, что соя х — 1 = — 2 яш — и, следовательно, 2 2 х яш 2— 2 х я1п— 2 яш — . 2 соя х — 1 В т о р о й множитель справа при х — ~ О стремится к 1, а п е рв ы й стремится к О. Отсюда вытекает, что при х -+ О: соя х — 1 О. х Переходя в равенстве (2.3) к пределу при х — ~ О, в результате по- лучим: е'* — 1 .. я1п х 1цп =1!пп — =г, о х о х что и требовалось доказать. ° Отметим что комплексная нкция х м ~-~ е" = соях гяшх оп с- кает п остое геомет ическое истолкование.

Именно, воспользуемся описанной в конце главы 1 геометрической интерпретацией множества комплексных чисел. На плоскости введем декартову ортояоналъную систеяяу координат. Комплексное число я = х+ гу отождествим с точкой М(х, у) плоскости, первая координата которой х, вторая — у. В п. 2.1 определено отображение ~ множества И в плоскость. При каждом х Е Й значение ~(х) есть точка М(соях,яшх).

Отсюда ясно, что комплексная функция х ~+ е'* с о в п а д а е т с этим отображением ~. 228 Гл. 3. Элементарные функции 2.5. ОБ ЕЕ ПОНЯТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФУНК ИИ Все функции, определенные в этом параграфе, а также любые функции, которые могут быть получены из них выполнением конечного числа арифметических действий и образованием суперпозиции, мы будем называть элемеюпарными. П ив ем т о ч н о е оп еделение понятия элемента ной нк ии.

Характеристики

Список файлов книги