1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть ф: (О,а) — ~ Ж вЂ” непрерывнвл строго возрастающая функция, причем ~р(х) — ~ 0 при х -+ О. Доказать, что если существует предел 1цп й~~*-) = 1 ф О, то существует в о и предел 1пп, который равен 1/1. р '(у) у о у 2.84. Пусть /: [а, Ь) — ~ Ж вЂ” непрерывнвл функция. Доказать, что если /([а, Ь)) С [а, Ь], то существует точка х Е [а, Ь] такая, что /(х) = х (теорема Шаудвра о неподвижной точке в одномерном случае).
2.85. Пусть /: [а, Ь) — ~ К вЂ” непрерывнвл функция. Доказать, что если / принимает всякое свое значение не более двух раз, то отрезок [а, Ь) можно разбить на конечное (не превосходящее трех) число отрезков, в каждом из которых функция строго монотонна. 2.86. Функция /: [а, Ь] — ~ Ж имеет только точки разрыва первого рода, то есть такова, что в каждой точке х Е [а, Ь) существует конечный предел /(х + 0), а в каждой точке х Е (а, Ь] существует конечный предел /(х — 0). Доказать, что множество точек разрыва функции не более чем счетно. (Указание: сначала установить, что множество точек х 6 (в,Ь), в которых ]/(х+ 0) /(х — 0)[ > 1/т, где т — фиксированное натуральное число, конечно при всяком т.) Доказать,что функция / ограничена. 2.87. Функция /: [а, Ь] — ~ К обладает следующим свойством: существует число К > 0 такое, что для любых хы хз Е [а, Ь) /(хг) — ф(хз) > — К]хг — хз[.
Доказать, что функция / имеет только точки разрыва первого рода. Глава 3 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ° Понятия показательной, логарифмической и степенной функций и ик свойства ° 'Тригонометрические функции ° Понятие обратной тригонометрической функции ° Общее понятие элементарной функции ° Сравнение поведения показательной, логарифмической и степенной функций вблизи концов области определения ° Понятие асимптотического соотношения ° Существование и конечность предела: еХр Х = х~ о ехр х — 1 1пп ~1 + — ~ ° Пределы: Бп1 в ос~ я 0 1п(1+ х) . (1+ х)'" — 1 . вшх 1ш1; 1ш1 1ип —.
я-~0 Х а-~0 х а-~0 х Показательная функция комплексного аргумента есв — 1 Предел: 11Ш вЂ” ° Гиперболические с — ~0 х функции ° 188 Гл. 3. Элементарные функции 11. Показательная, логарифмическая и степенная функции. Некоторые замечательные пределы .Панные ниже определения степенной, показательной и логарифмической функций и доказательства их основных свойств существенно опираются на то свойство множества вещественных чисел Й, которое выражается аксиомой непрерывности множества Гс (см.
14 главы 1). При этом используется не сама аксиома непрерывности, а некоторые предложения, доказанные в главе 2 с ее помощью, а именно, теорема о сугдествовании предела у монотонной последовательности и критерий сходимости Коши — Больцано. В соответствии со школьным курсом математики, г р а ф и к и показательной, степенной н логарифмической функций — это некоторые плавно идущие или, как говорят, гладкие кривые.
Гладкость подразумевает, что малый участок кривой почти неотличим от прямолинейного отрезка. Степень отличия тем меньше, чем меньше взятая дуга. График функции х — ~ а проходит через точку (0,1) на плоскости. Всякал прямал, проходяшэл через эту точку и не совпадающая с осью Оу, задается уравнением у = 1+ кт. Неогиаичимость или почпзи неогаличизсосгаь малой дуги графика цоказапзельвоц фуницци ош ошреэка примой в данном случае означает, что при я, малом по абсолютной величине, можно считать п р и бл и же и но, что а и 1+Йх, причем о ш и б к а бесконечно мала по сравнению с ~х~ (см. рнс. 1). Пусть и Е й — произвольно.
Если и Е Х достаточно велико, так Ж что — мало, то можно считать, что Ю кт а в1+ —, п 189 ~ 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции н, значит, а* ю (1+ — ) Эти соображения наводят на мысль, что а может быть определено как предел 1пп (1 + — ) соответствуюгдий некоторому конкретному значению Й. Йх" Здесь будет показано, что предел 1пп (1+ — ( действительно существует и функция переменной т, получаемая таким образом, есть функция а .
Будет показано также, как определять коэффициент и, чтобы получить показательную фунхцию именно с данным основанием а. Но предварительно будет рассмотрен предел 1ип (1 + — ) где и й Й. Сначала мы докажем, что этот предел существует и хонечен для всяхого х Е Й. Панный предел обозначается символом ехр и. Тем самым на множестве Й определяется некоторая функция ехр.
Исследуются свойства ехр. В частности, похазывается, что ехр есть непрерывная строго возрастающая функция, отображающая промежуток ( — оо, оо) на интервал (О, со). Функция, обратнвл к ехр, называется натуральным логарифмом и обозначается символом 1п. Существование обратной функции следует из теоремы об обратной функции, доказанной в главе 2 (теорема 4.3). С помощью фунхцнй ехр и 1п определяется операция возведения в степень (к,у) ~-~ у . После этого определяются степенная функция и показательная функция с произвольным основанием а > О.
як в 1.1. СУ ЕСТВОВАНИЕ И КОНЕЧНОСТЬ НРЕЛЕЛА 1пп (1+ — ) в со( и В главе 1, и. 4.4.11 было доказано следующее утверждение. Если и Е й таково, что 1+и > О, то для любого тп й М выполняется неравенство: (1+ и) > 1+ ти (неравенстпво Бернулли). Знак равенства здесь имеет место только в том случае, когда либо и =О, либо та =1. 1ОО Гл. 3.
Элементарные функции ° Теорема 1.1. Для всякого х Е И существует конечный предел 1пп (1+ — ) Доказательство. Зададим произвольно х Е И, и пусть х Е Ы таково, что х > -Й. Докажем сначала, что последовательность (1.1) является в о з р а с т а ю щ е й. Для всякого и > х имеем: х и+х и+к 1+ — = » О. и и и Возьмем произвольно и > х и рассмотрим отношение: я+1 я+1 ( и'- х х Имеем: 1+ — > О, 1+ — > О н, значит, и+1 и 1+— +1 >О.
1+— и Далее, х х х и+1 и+1 и х (и+ 1)(и+ х) и и Применим неравеисгиво Бернулли, полагая в нем ги = и + 1 и (и+ 1)(и+ х) 191 З 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции Получим: с х +1 по+ 1 (и+ 1)х х и >1— (п + 1)(п + х) и + х и + х и Отсюда и, значит, при каждом и > Й. Тем самым д о к а з а н о, что последовательность (1.1) является возрастающей, и, следовательно, она имеет предел. При этом — оо < (1+ — ) < 1пп (1+ — ) (1.2) Лля завершения доказательства мы должны установить, дел (1.2) конечен.
Пусть | Е М таково, что х < 1. Тогда -х > -1. Заменяя в проделанных рассуждениях х на — х и и на 1, что последовательность что пре- получим, является возрастающей. В частности, при любом и > 1 имеет место неравенство: (1.3) Пусть т = шах1х, Ц. х 1 — — > О. Палее, х При каждом и > ти имеем: 1+ — > О, 192 Гл. 3. Элементарные функции Отсюда следует, что для всех и > гл н, ста)зо быть, в силу (1.3), для всех п > т > и (1+-*)" « ', ('-~)' (1.4) Это позволяет заключить, что ( -т)' 1пп (1 + — ) «, оо, (1.5) и тем самым теорема полностью доказана. ° Предел 1пп (1 + — ) обозначается символом ехр х.
(Лля величины ехр х мы будем применять также и другие обозначения, которые будут введены позднее.) 3 а м е ч а н и е. Из неравенств (1.3) и (1.4), полученных при доказательстве теоремы 1.1, вытекает следующая о ц е н к а для ехрх: если и Е г(, 1 Е (З) таковы, что — /с < х < 1, то величина ехр х удовлетворяет неравенствам: ( —.~- .~ ь 1 1+ — ~ < ехрх < ('-~)' (1.б) В силу свойств предела, установленных ранее, для всякого числа и Е й и любой бесконечно малой последовательности (1„)„сн величина (1+1„)" при о, стремяшемся к бесконечности, стремится к пределу, равному 1.
В связи с этим может возникнуть вопрос, а не будет ли предел, о котором идет речь в теореме 1.1, равен единице, каково бы ни было х Е В? На это можно возразить, что в нашем случае показатель степени не является постоянной величиной и неограниченно растет вместе с номером о. (Мы знаем, что для любого 1 > — 1 предел !пп (1+ 1)" равен оо, если 8 > О, и равен нулю, если 1 < О.) В случае, который мы рассматриваем, речь идет о пределе величины х (1 + Ф„)", ГдЕ то = — — ~ О Прн Π— ~ О. 193 З 1.
Показательная, логарифмическая н степенная функции Но только неравенства 11.6) и (1.6) позволяют заключить, что предел, существование которого установлено теоремой 1.1, н е р а в е н т о ж д е с тв е н н о 1, а для х > 0 — конечен и полученная нами функция х ~-~ ехрх нетривиальна. Так как х > — х, то 1 + — > 0 и, стало быть, в силу неравенсзпва Бернулли, (1+ -„)" >1+и, откуда заключаем, что для всех х Е Й 11.7) ехр х > 1+ х.
Полагая в неравенстве (1.6) 1 = 1, получим, что для всякого х < 1 1 ехрх < 1 — х 11.8) При х = 0 (1+ -')" =1 ( 1~з 1 1 45656 1+ -~ = 2- < е < е = — <3, 21 4 ( 1~е 15625 6( откуда 2 < е < 3. Приближенное значение числа е с о ш и б к о й, меньшей 10 следующее: е = 2,718281828459045.... Зля всякого х Е 1е определено некоторое число ехрх. Тем самым на множестве Й о п р е д е л е н а функция ехр: х Е К ~-+ ехрх. Палее будут установлены некоторые с в о й с т в а функции ехр, из которых, в частности, можно будет усмотреть, что функция ехр есть не что иное, как показательная функция, имеющая основанием число е.
для всех п, откуда вытекает равенство: ехр(0) = 1. Величина ехр11) обозначается символом е. Полагая в неравенстве 11.5) х = 1, 1 = 2, находим следующие г р а н и ц ы, между которыми лежит е: 2 < е < 4. Более у з к и й промежуток, содержащий число е, можно установить, выбирая в неравенстве 11.5) при х = 1 достаточно б о л ь ш и е значения Й и 1.
Полагая, например, х = 2, 1 = 6, найдем, что Гл. 3. Элементарные функции 1.2. СВОЙСТВА ФУНК ИИ ех ° Лемма 1.1. Пусть дана числовая последовательность (я„)„еи. Если 1пп г„= О, то 1пп ~1+ — ) = 1. Доказательство. Так как 1пп г„= О, то найдется ! б Я такое, что при любом и > 1 выполняется неравенство ~г„~ < 1. Пля таких и гп очевидно также, что ~ — ~ < 1. При и > 1 имеем: г гп яд~ / г,~~ гд 1+ — >О; 1 — — >О; ~1+ — ) ~~1 — — ) =1 — —, <1, г откуда 1 1+ — < и и (1.9) )- ги гп у за~" 1+ — ) > 1+и — = 1+я„; ~1 — — ) > 1 — и — =1 — гв. и и и Из этих неравенств и (1.9) следует, что при любом и > ! 1+'" <(1+'") ' „« и и (1 г ) 1 — гв Так как при и -~ оо имеем г„— ~ О, то, применяя теорему о заясаигоб иеременноб (теорема 1.5 и ее следствия из главы 2), получаем !пп ~1+ — ") = 1, что и требовалось доказать.
° ° Лемма 1.2. Пусть (х„)„еи есть схадягцаяся числовая последовательность и а = 1пп х„. Применяя неравенство Бернулли, отсюда заключаем, что при и > ! будем иметь: 195 З 1. Показательная, логарифмическая и степенная функции Тогда !пп (1+ — ") = ехр а. а сюх и Доказательство. Пусть й Е М таково, что а > — Е Зля и > й имеем: и + х„х„— а и(х„— а) 1 "=1+ " =1+ и+а и+а и+а и и и1х„— а) Пля и > !с полагаем г„= . Лля всех и > !с выполняется и+а равенство: (" —:) =(" ) (" — ':) При и — ~ оо будет з„— ~ 0 н, значит, по лемме 1.1, (1+ — ") — ~ 1 и а~" при и — ~ оо. Палее, 1пп 1+ — ) = ехра и, следовательно, я оа( и 1пп (1+ — ") = 1пп (1+ — ) 1пп (1+ — ") = ехра, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
