1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 31
Текст из файла (страница 31)
с' 1 1 1 Правая часть последнего неравенства, по доказанному, стремится к нулю при Й вЂ” оо, а левал — иеотрипательна и, стало быть, Й (1) О при й — со. Отсюда следует, что 1пп Йу(Ф) = О. с о Теорема доказана. ° Из доказанной теоремы вытекает условие, выполнение которого гарантирует равномерную непрерывность непрерывной функции. А именно, для этого достаточно, чтобы ее область определения была замкнутым промежутком множества И. 5.4. ТОПОЛОГИЧЕОКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОТРЕЗКОВ В МНОЖЕСТВО К Здесь мы докажем, что утверждение теоремы 4.3 может быть обращено, а именно, — справедливо следующее предложение. 162 Гл. 2. Теория предела ° Теорема 5.4.
Пусть Х = (а, б) — произвольный промежуток в множестве К и У: 1 — + К вЂ” непрерывная функция. Если У представляет собой взаимно однозначное отображение, то У есть строю монотонная функция. Доказательство. Предположим, что функдия У: 1 — К удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть Х1,хг,хз — три произвольные точки промежутка Х такие, Что Х1 < Х2 < Хз. В силу взаимной однозначности отображения У, числа У(Х1), У(хг) и У(хз) попарно различны. Докажем,чтоУ(Х1)иУ(хз)лежат по разные стороны от У(хг), то есть или У(х1) < У(хг) < У(хз), или У(Х1) > У(хг) > У(хз). Допустим, что это не так.
Тогда либо У(Х1) < У(хг) и У(хз) < < У(Х2)> либо У(х1) > У(хг) и У(хз) > У(х2). Пусть д есть в первом случае — наименьшее, а во втором — наибольшее из чисел У(Х1) и У(хз). Тогда в первом случае: У(х1) < у < У(хг) и У(хз) < У < У(хг) втором: У(Х1) > у > У(хг) и У(хз) > 9 > У(хг).
В силу теоремы 4.1, отсюда вытекает, что найдутся такие точки е [х1,х2] и 1~ б [х2,хз], что У(() = У(ц) = р. Гак как у ~ У(х2), то с ф хг и ц ф хг, откуда, в частности, следует, что с < хг < т~. Итак, предположив, что У(Х1) и У(хз) лежат по одну сторону от хг, мынаходим две различные точкис 6 [хг,хз) нцси [хг,хз) такие, что У(с) = У(ц).
Последнее и р о т и в о р е ч и т тому, что, по условию, У вЂ” взаимно однозначно. таким образом, допущение, что значения У(Х1) и У(хз) лежат по одну сторону от У(хг), приводит к противоречию. Из доказанного вытекает, что функция У вЂ” монотонна на всяком множестве У С 1, состоящем из т р е х точек.
Докажем,что У вЂ” монотонна на всяком множестве 1' С 1, состоюцем из четырех точек. Действительно, пусть 1' = (хг,хг,хз,х4), где х1 < хг < хз < х4. Пусть У(Х1) < У(хг) < У(хз). В силу доказанного, тогда также и У(хг) < У(хз) < У(х4). Если же У(Х1) > У(хг) > У(хз), то У(хг) > > У(хз) > У(Х4),что и требовалось доказать. Выберем произвольно точки а,,9 из 1 такие,что а < ~9. Возможны ва сл чая: 1) У(а) < У(9) и 2) У(а) > Уф). Докажем, что в случае 1) функция У является возрастаюп1ей, а в случае 2) — убывающей. З 6. Верхний и нижний пределы последовательности Возьмем произвольно хы хг Е 1 такие, что х1 < хг.
Рассмотрим множество У = (а,)3,хм хг). Множество У имеет не более четырех элементов и, значит, по доказанному, функция 1 является монотонной на множестве У. В случае 1) функция 1 будет, очевидно, возрастающей на множестве У и, значит, в этом случае имеет место неравенство: 1(х1) < 1(хг). Так как хы хг Е 1 взяты произвольно, то тем самым доказано, что в этом случае функция 1 является возрастающей.
В случае 2) функция 1 является убывающей на множестве У и потому ~(х1) > У(хг). В силу того, что хм хг Е 1 взяты произвольно, мы получаем, что в этом случае функция 1 является убывающей. Теорема доказана. ° 16. Верхний и нижний пределы последовательности Произвольнал последовательность вещественных чисел, вообще говоря, может не иметь предела. В этом параграфе будут рассмотрены понятия верхнего и нижнего пределов последовательности вещественных чисел (х„)„ен В отличие от обычного предела, верхний и нижний пределы последовательности существуют всегда. Некоторые теоремы, в которых используется понятие предела, можно представить в более обшей форме, заменяя в их формулировках обычный предел либо верхним, либо нижним пределом. Соответствующие примеры будут приведены позднее.
6.1. ОПРЕПЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО И НИЖНЕГО ПРЕЛЕЛОВ 6.1.1. Приведем определение верхнего и нижнего пределов последовательности. Пусть дана последовательность вещественных чисел (х„) еи Число К Е Й называется нижним числом данной последовательности, если выполнено следующее условие: существует номер В такой, что для любого п > В выполняется неравенство: х„> К. Будем говорить, что .К Е К есть верхнее число последоватпельноснги (х„) ен, если существует номер В Е Я такой, что для всякого и > и выполняется неравенство: х„< К. 164 Гл.
2. Теория предела Множество всех нижних чисел последовательности (х„) ен обозначим символом Ф(х). Совокупность всех верхних чисел последовательности (х ) ен обозначается символом Ъ'(х). Число -со является нижним числом любой последовательности (х„ Е К)„ен . В качестве номера й, существование которого требуется определением, можно взять любое число и Е И, например, и = т. Аналогично, оо является верхним числом для любой последовательности вещественных чисел (х„) ен Мы видим, в частности, что множества 111(х) и 1~(х) непусты. ° Лемма 6.я. Пусть дана последовательность (х„)„ен, К~ есть произвольное нижнее, Кз — произвольное верхнее число этой последовательности.
Тогда найдется номер й Е 1Ч такой, что для любого и > й выполняются неравенства: Кз < х„< .Кз. Доказательство. Пусть Кг Е Ф(х), Кз Е Ъ"(х). Согласно определению нижнего числа, найдется номер йз > О такой, что если и > йг, тох >Кз. Далее, согласно определению верхнего числа, найдется йз > О такое, что если п > йз, то выполняется неравенство: х < Кз. Пусть й есть большее из чисел йг и йз. Возьмем произвольно и > й. Тогда и > йз и в то же время и > йз.
Отсюда следует, что для данного и выполняются неравенства: Кз < < х„< Кз, и, значит, данный номер й и есть требуемый. Лемма доказана. ° я Следствие. Всякое нижнее число последовательности (х ) ен является нижней границей множества $'(х) всех ее верхних чисел и любое ее верхнее число является верхней границей множества А1(х). Действительно, возьмем произвольно К е И(х) и .К' Е Ъ'(х). Тогда, согласно лемме 6.1, найдется й Е 1Ч такое, что если н > й, то выполняются неравенства: К < х„< К'. Отсюда, в частности, следует, что для любых К Е 1я(х) и К' Е Ъ'(х) имеет место неравенство К < К'.
Это означает, что К вЂ” это н и ж н я я г р а н и ц а множества У(х), а К' — верхняя граница Х(х). Следствие доказано. Точная верхняя граница множества всех нижних чисел последовательности (х„)„ен называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом: 1пп х„. 165 З 6. Верхний и нижний пределы последовательности Точная нижняя граница множества всех верхних чисел последовательности (х„)„ен называется ее верхним пределом и обозначается символом: 11ш х„. Согласно определению верхнего и нижнего пределов, имеем: 1пп х = ш11:(х). 1пп х = епрФ(х); 6,1.2. Отметим с в о й с т в а ве хнего и нижнего п елов непос отвеине вытекаю е из о еленин.
° Лемма 6.2. Справедливы следующие утверждения. 1. Для всякой последовательности вещественных чисел (х„)„ен верны неравенства: 11ш х„< 1пп х„. П. Для любой последовательности (х„Е й) ен имеют место равенства: 1пп х„= — 1пп ( — х ). 1пп х„= — 1пп ( — х„); И СО П1. Если К< 1пп х, то К есть нижнее число последовательности (х ) ен и любое число К ) Бтп х„является верхним числом этой последовательности. Доказательство.
Пусть дана последовательность вещественных чисел (х„), ен Возьмем произвольно К Е Х(х). Положим: Ь= 1пп х. 1= 1цп х„; Согласно следствию леммы 6.1, К есть нижняя граница множества T(х), и, значит, К < ш1Ъ'(х) = Ь. Так как К Е М(х) взято произвольно, то мы получаем тем самым, чтоЬесть верхняя граница множестваИ(х). Следовательно, епр М(х) = 1 < Ь, и справедливость утве2нспени~ 1, таким образом, установлена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
