1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Это свойство находит применение при изучении разных вопросов, касающихся непрерывных функций. 5.3.1. Пусть дано множество А С К. Вещественная функция у, определенная на множестве А, называется равномерно непрерывной на А, если она удовлетворяет следующему условию: каково бы ни было в > О, по нему найдется б > О такое, что для любых двух точек хь, хз множества А, для которых ]хе — хь( < б, справедливо: ]У(хз) — ~(хь)[ < в. 157 З б.
Основные теоремы о непрерывных функциях П ив ем некото ю г ю ха акте истин понятия а в н о м е ной неп е ывности. П ва ительно вв ем о но вспомогательное понятие. Пусть даны множество А С К и функция у: А -+ К. Функция ад: (О, Ь) — ~ К, где 0 < Ь < оо, называется модулем непрерывности функции у на множестве А, если она удовлетворяет следующим условиям: МС 1) ад есть неотрицательная возрастающая функция; МС 2) имеет место равенство: 1ддпод(8) = 0; о МС 3) для любых ад, хз Е А таких, что ~хд — хз ~ < й, выполняется неравенство: (Дхд) — Дхз)~ < ьд()хд — хз)).
Говорят, что функция )': А -+ Ж удовлетворяет условию Липидииа, если функция $ Е К СФ, где С > 0 — постоянная, является ее модулем непрерывности. Если функция Ф Е [0,6) ~ С1, где С и а — постоянные, причем С > 0 и 0 < а < 1, есть модуль непрерывности функции ~, то говорят, что у удовлетворяет условию Гальдера с показателем а. Существование модуля непрерывности функции есть необходимое и достаточное условие равномерной непрерывности функции.
Доказательство этого использует конструкцию, которая применяется также и при доказательстве основного результата о равномерной непрерывности (теорема 5.3). Пусть дано множество А С К. Тогда определено множество Аз = = А х А — совокупность всех пар чисел (х, у) таких, что х Е А и у Е А. Для произвольного 8 > 0 символом РдА обозначим множество всех пар (х, у) Е А таких, что ~х — у~ < и Пусть дана функция У, определенная на множестве А. Точную верхнюю границу величины ~~(х) — )'(у)~ на множестве РдА обозначим символом Йу($), так что Йу(ь) = зпр )~(х) — У(у) (.
(х,кдепдл Для всякого й > 0 имеем: Йу(Ф) > О. Очевидно, также Йу(0) = О. 158 Гл. 2. Теория предела Определением допускаются значения йу(Ф) = оо. Если йд > 0 и $з > 0 таковы, что 0 < йг < йю то РОА С Р~,А. Отсюда, в силу известных нам свойств точной верхней границы, вытекает, что в этом случае выполняется неравенство Й~ (~1) < Й~ (~2 ), так что функция йу(Ф) — неубывающая.
Пля любых х, у Е А имеет место неравенство: ~У(х) — У(у)) < Й~((х — у0. Пействительно, положим ~х — у~ = ~. Очевидно, пара (х, у) принадлежит множеству РсА, отвечающему данному значению М, и, значит, ° Лемма 5.1. Пусть А С 2 и вещественная фуыкпия 1' определена на мыожестве А. Для того чтобы функция г" была равномерио непрерывной на множестве А, необходимо и достаточно, чтобы она имела на А модуль непрерывности. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция г равномерно непрерывна.
Зададим произвольно е > О. Положим ео = —. 2 Согласно определению равномерной непрерывности, найдется б > 0 такое, что для любых х,у Е А, для которых ~х — у~ < б, выполняется неравеыство: ~Дх) — у(у)~ < ео. Пусть 0 < ~ < б.
Если (х, у) Е Р~А, то ~х — у~ < ~ < б, и, значит, в силу выбора б > О, имеет место неравенство: ~~(х) — 1(у) ~ < еы Пара (х,у) Е РсА была выбрана произвольно и, следовательно, имеет место соотношение: Йу($) = Впр ~~(х) — у(у)~ < ео < е. (х,я)еысА Отсюда, в частности, вытекает, что найдется бо > 0 такое, что йу($) < оо для всех Ф Е [О, бо) (чтобы найти такое бо, достаточно взять б > О, отвечающее какому-либо конкретному значению е, например 1о1о е = 10, и положить бо = б).
Палее, в силу произвольности е > О, из доказанного, очевидно, вытекает, что 1ппйу(Ф) = О. о З 5. Основные теоремы о непрерывных функциях 159 Функция Йу(8), как отмечено выше, — неубывающая и для любых х, у Е А выполняется неравенство; [у(х) — 1(у) [ < Йу([х — у[). Мы видим, что функдия Йу($) удовлетворяет всем условиям определения модуля непрерывности функции у, и необходимость условия леммы тем самым установлена.
Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что функция 1, определенная на множестве А С К, имеет модуль непрерывности на множестве А. Пусть функция м: [О, Ь) — К удовлетворяет указанным выше условиям МС 1 — МС 3 определения модуля непрерывности. Зададим произвольно е > О. Так как а(т) -+ О при Ф вЂ” О, то найдется б Е [О, Ь) такое, что д > О, и ю(М) < е при О < ~ < б. Возьмем произвольно точки хм хе Е А, для которых [хд — хз[ < 6.
Тогда [1(хг) — у(хз)[ < м([хд — хз[) < е. Так как е > Π— произвольно, то тем самым равномерная непрерывность функции 1 установлена. Лемма доказана. й Если функция 1: А — К равномерно непрерывна, то она, очевидно, является непрерывной. Обратное, вообще говоря, неверно. Рассмот им п и м е ы. Пример 1. Пусть А = [О, оо) и 1(х) = х~ для всех х Е А. Предположим, что данная функция равномерно непрерывна. Зададим произвольно е > О. Тогда, в силу сделанного предположения, найдется б > О такое,что если [хз — хе[ < б,то [У(хз) — у(х~)[ < е. Положим Ф = 6/2.
Для всякого х > О, в силу сделанного предположения, Щх+1) — 1(х)[ < е. Но, как очевидно, у(х+ $) — у(х) = 21х+ $~ — оо при х — оо, и тем самым мы получаем п р о т и в о р е ч и е. Следовательно, данная функция 1 н е я в л я е т с я равномерно непрерывной. 1 Пример 2. Пусть А = (О, 1] и 1(х) = — для всех х Е А. Зададим произвольно е > О.
.Покажем, что, каково бы ни было б > О, найдутся точки х, у Е (О, 1) такие, что [х — у[ < 6, а [)'(х) — у(у)[ > е. Этим будет доказано, что функция у н е я в л я е т с я равномерно непрерывной. Положим: 1 1 х„= —; у„= п и+с Имеем, очевидно: [Х(х„) — 1(у„)[ = е, а [х„— у„[ — О при п — + оо. 160 Гл. 2. Теория предела Это означает, что для любого Ь > О найдется значение и такое, что ]х„— у„~ < б, что и требовалось доказать.
5.3.2. Теперь мы можем доказать основной результат етого раздела— теорему о равномерной непрерывности непрерывной функции на оераниченном замкнутом промежутке. ° Теорема 5.3 (теорема Гейне о равномерной непрерывности). Всякая непрерывная вещественная функция, определенная на замкнутом промежутке множества К, является равномерно непрерывной.
Доказательство. Пусть / есть непрерывная функция, определенная на промежутке [а,Ь] с й. Полагая А = [а,Ь], как было описано выше, определим по /" функцию Й/(Ь). Имеем: Й/(Ь) = вар [ /(х) — /(у) [. )л-в!<й Функция Й/(Ь) неотрицательна и является неубывающей. Для любых х,у е[а,Ь] выполняется неравенство: ~/(х) — /(у)[ < Й/([х — у]).
Теорема будет доказана, если мы покажем, что величина Й/(Ь) конечна для всех Ь и стремится к нулю при Ь вЂ” О. Так как функция /, по условию, непрерывна, то, в силу теоремы 5.2 (теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях), она ограничена, то есть найдется такое конечное число 5, что ]/(х)[ < 1, для всех х е [а, Ь]. Для любых х, у я [а, Ь] имеем: ~~(х) — /(у)] < [/(х)[+ +[/(у)) < 21. Отсюда, очевидно, следует, что Й/(ь) < 2/, для всех а таким образом, мы получаем, что величина Й/(Ь) конечна для любого ь' > О. Так как функция Й/(ь) — неубывающая, то существует предел: 1пп Й/(Ь) = о.
Для всякого и ~ 1Ц Й/ [ — ) = вир ]/(х) — /(у)[ /1~ 1ж — ь(<1/и и, значит, согласно признаку точной верхней границьь функции (см. главу 1, предложение 5.3), найдется пара х„, у„точек промежутка [а, Ь] такая,что 1 [х„— у„) <— и 161 З 5. Основные теоремы о непрерывных функциях ]У(*") У("")] ~ ЙУ ( ) 1 1 При каждом п имеем: При и — с со разность х„— у„стремится к нулю. В силу теоремы выбора Веберпстрасса (теорема 5.1), из последовательности (х ) ен можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Пусть (х„„)ьеи — эта подпоследовательиость и хо е [а,Ь] — ее предел. По условию, функция у непрерывна в каждой точке промежутка [а, Ь]. В частности, оиа непрерывна и в точке хе. При й — + со имеем х„„- хо, и так как разность х„— у стремится к нулю при Й вЂ” оо, то также и у„с - хо при Й вЂ” + со. В силу непрерывности у, отсюда вытекает, что У(х ) — + Дхо) и у(у„с) — + у(хо) при й — со, и, значит, ]У(х„„) — У(у„„) ] -+ О при й -+ оо. Имеем: /11 1пп Йс(1) = Вщ Йс ( — ] . с о — ~,) При каждом й Е И выполняется неравенство: Йу ~ — „,~ < [У(* .) — У( .)]+ — „„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
