1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1 Рис. 2 Лример 2. Положим: ( 1/т при тфО; П*) =~ О прин=О. Лля данной функции 1 имеем: 1пц Дт) = — оо, и -О 11ш Дт) = оо. и +о Точка О является, в соответствии с данным здесь определением, точкой разрыва второго рода функции ~ (см. рис. 2). зш~ — 1 притфО; О при я=О. В точке О у данной функции у пределы слева и справа не существуют. Чтобы доказать, что данная функция ~ не имеет в точке О предела справа, рассмотрим последовательности (т„)„ен и (у„)„еи, где 2 2 т = и у„= при каждом п.
4л+ 1 4п — 1 Тогда ~(т ) = 1 и У(у„) = — 1 при всех и Е 1Ч и, значит, 1пп ~(тч) =1, 1пп ) (у„) = — 1. Так как эти пределы р а з л и ч н ы, то предел 1пц Дт) н е и +О с у щ е с т в у е т, что и требовалось доказать. Иример 3. Пусть |: й — К есть функция, определенная следующим образом: 142 Гл. 2. 'Геория предела Аналогично доказывается, что у функции Х данного примера предел слева в точке 0 также не существует (см. рис. 3).
° Теорема 3.6. Пусть 1 = (а, Ь) есть произвольный открытый промежуток в К. Если функция Х: 1 — К монотонна, то она может иметь только точки разрыва первого рода. При этом если функция Х— возрастающая, то в каждой точке р й 1 выполняются неравенства: (З.З) Х(р — 0) < Х(р) < Х(р + 0). Если Х есть убывающая функция, то в каждой точке р й (а, Ь) (3.4) 1(р — 0) > Х(р) > 1(р+ 0).
Лоназнтельство. Пусть Х есть возрастающая функция. Возьмем произвольно точку р Е (а, Ь) и положим 1 = (а,р), Х+ = (р, Ь). Предел Х(х) при х — ~ р по промежутку 1, согласно определению, данному выше, есть предел слева функции Х в точке р. Аналогично, предел 1(х) при х — р по промежутку Х+ есть предел этой функции справа в точке р. Из теоремы 3.1 следует, что функция Х имеет в точке р пределы слева и справа. При этом, так как Х есть в о з р а с т а ю щ а я функция, то Х(р) является верхне й границей функции Х на промежутке Х и ее н и ж н е й гранипей на промежутке 1+. В силу теоремы 3.5, отсюда, очевидно, вытекают неравенства (3.3).
3 4. Теорема о разрешимости уравнения Дх) = Ь 143 Функция У,по условию, всюду конечна. Тогда 1(р — О) = вир Дх) > — со, ~(р+ О) = !п1 )'(х) < оо. яеУ яегэ Принимая во внимание неравенства (3.3), заключаем, что величины )'(р — О) и Др+ О) — конечны. Таким образом, функция У имеет в точке р к о н е ч н ы е пределы слева и справа, что, по определению, и означает, что р есть точка разрыва первого рода функции У.
В проделанных рассуждениях предполагалось, что функция 1' в о з р а с т а ю щ а я. Случай, когда 1' есть у б ы в а ю щ а я функция, сводится к этому заменой 1' на — У. Теорема доказана. И 34. Теорема о разрешимости уравнения у( ) = Ь и ее следствия Предположим, чхо функция [ определена и непрерывна на некотором промежутке [а, 6) с Й. Если существует число Ь е К такое, чхо Да) < Ь, а Д6) > Ь, то в промежутке [а, 6] обязательно найдется точка х такая, что Дх) = Ь (см. рис.
4). Наглядно этот результат может быть исхолкован хак: Графин непрерывной функции есть некотории непрерывная линия на плоскости. Если один ее конел лежит вьппе прямой, заданной уравнением у = Ь, а другой располагается ниже этой прямой, то данная линия, в силу своей непрерывности, пересекает эту прямую. Эхи наглядные соображения, однако, не имеют доказательной силы и, требуется хочное доказательство. Таковое и приводится здесь. В качестве приложения полученного результаха доказывается некоторая теорема о существовании непрерывной обратной функции. 144 Гл.
2. Теория предела 4.1. ТеоРемА Коши о промежуточных знАчениЯх Теорема, устанавливаемая здесь, показывает, что понятие непрерывной функции отвечает наглядному представлению о непрерывности, как о сплошной протяженности, не имеющей скачков. Предварительно докажем следующее вспомогательное предложение, полезное и само по себе. ° Лемма 4.1. Пусть М есть непустое подмножество множества К и р есть либо точная верхняя, либо точная нижняя граница множества М.
Тогда найдется последовательность (х„)„ен точек множества М такая, что р= 11ш х„. са Доказательство. Пусть М вЂ” непустое множество вещественных чисел и р есть или его точная нижняя, или его точная верхняя граница. Если р не принадлежит множеству М,то, согласно теореме 1.1, р есть предельная точка множества М, и существование требуемой последовательности непосредственно вытекает из характеристики предельных точек множества, которая дается леммой 1.10.
Если же р является элементом множества М, то последовательность (х„)„ен, в которой х„= р для всех и, и будет требуемой. Лемма доказана. ° ° Теорема 4.1 (теорема Коши о промежуточных значениях). Пусть даны промежуток [а, Ь] С К и непрерывная функция 1., определенная на этом промежутке.
Если Да) > О, а ~(Ь) < О, то найдется число с Е (а, Ь] такое, что г"(с) = 0 и для всех х Е [а, с) имеет место неравенство: 1(х) > О. Если функция 1. такова, что г(а) < О, а г(Ь) > О, то найдется точка С Е [а, Ь) такая, что 1(с) = 0 и 1(х) > 0 для всех х Е (с, Ь!. Первое доказательства теоремы 4.1.
Рассмотрим сначала случай, когда г(а) > 0 и У(Ь) < О. Обозначим через Е множество всех точек х Е (а, Ь] таких, что г(х) < О. Множество Е непусто, так как, по условию, Ь Е Е. Пусть с = и'йЕ. Поскольку Е С (а, Ь], то число а является нижней границей Е и, следовательно, ~ > а. Согласно лемме 4.1, существует последовательность (х„)„ен точек множества Е такая, что С = йш х„. Так как функция 1' непрерывна, то у(С) = 1пп 1(х„). При каждом и Е Ь1 выполняется неравенство Г(х„) < О, и, стало быть, согласно гпеореме о предельном переходе е з 4. Теорема о разрешимости уравнения )'(х) = Ь 145 неравенстве, имеем: 1(() < О. Так как 1(а) > О, то из доказанного следует, что а ~ С и, значит, а < С.
Пусть х е [а,с). Тогда х < с. Так как С = 'пйЕ, то х ф Е. По определению, Š— множество всех х е [а, 6] таких, что г(х) < О, и, значит, если х е [а, 6) не принадлежит Е, то 1'(х) > О. Отсюда вытекает, что для всех х е [а, с) выполняется неравенство: 1'(х) > О. В силу непрерывности г", получаем, что Д~) = 1пи 1(х). таким образом, имеем Я) < О и Е е(ве одновременно,Я) > О, то есть |(С) = О.
Первое утверждение теоремы доказано. Второе доказывается аналогичным образом. Необходимо только в проделанных рассуждениях надлежащим образом изменить знаки неравенств и вместо 1п1Е рассмотреть вирЕ. (Множество Е определяется так же, как и в предыдущем случае.) Рассмотрение всех деталей доказательства в этом случае предоставляется читателю.
Теорема доказана. ° Приведем здесь еще одно доказательство теоремы 4.1. Оно представляет интерес в том отношении, что в нем содержится процедура для вычисления корня с уравнения 1'(х) = О, которая может быть использована для практических целей. Второе доказательство теоремы 4.1, Пусть даны промежуток [а,Ь] с К и непрерывная функция г, определенная на этом промежутке. Предположим, что 1'(а) > О, а ДЬ) < О. Докажем сначала, что при этом условии найдется С е (а, 6) такое, что Дб) = О.
Утверждение теоремы, относящееся к случаю 1(а) > О, 1(6) < О, доказывается аналогичным образом. Определим по индукции некоторую последовательность отрезков ([а„, Ь„])„ен,. Положим ао = а, Ьо = Ь Предположим, что для некоторого целого и > О определен отрезок [а„, 6„) с [а, 6), причем 1'(а„) > О, ДЬ„) < О. Положим с„= 2 В случае 1:(с„) > О пусть а„~1 = с„, а Ь„+, — — Ь„.
Если же У(с„) < О, то пусть а„~1 = а„, Ь„+, — — с„. В обоих случаях имеем: Да„.~1) > О, 1(6„.~1) < О [а„эм6„.~1) с [а„,Ь„) с [а,Ь). В силу принципа математической индукции последовательность отрезков ([а„, 6„])„ен, определена. 146 Гл. 2. Теория предела Из построения последовательности ([а„, 6„) ) „ен, следует, что при каж- 6„— а„ дом п я ЕЕв имеем [а„.ьп 6„+ь) с [а„, Ь„] и Ь„+г — а„.ь~ = 2 Ь вЂ” а Отсюда вытекает, что [а„,Ь„] с [а, Ь) и 6„— а„= — при каждом и. Для всех и я Ыв, по построению, имеем: Е(а„) > О и Е(6„) < О.
По гпеореме о вложенных отрезках (следствие 3 теоремы 3.1), существует точка Е е [а, Ь], принадлежащая всем отрезкам данной последовательности. При и- со будет а„- с и 6„- Е. По условию, функция Е непрерывна и, значит, Е(а„) — Е(Е) и ЯЬ„) — Х(() при и — со. Применяя тпеораму о предельном переходе в неравенстве (теорема 1.3), получим: Е(Е) > О и Е(Е) < О, откуда Е(Е) = О. Имеем: Е(а) > О и, значит, Е ~ а. Следовательно, а < с < Ь.
Таким образом, установлено, что в промежутке [а, Ь] существуют точки, в которых функция Е обращается в нуль. Теорема 4.1 утверждает, однако, нечто большее, а именно, — что существует точка Е е (а, 6] такая, что Е(х) > О для всех х е (а,Ь]. Чтобы доказать это, рассмотрим множество ЬХ всех х е [а, Ь] таких, что Е(х) = О. По доказанному, множество Ж непусто. Пусть С = шЕМ. Тогда точка Е и будет искомой.
Доказательство этого предоставляется читателю. Теорема доказана. ° ч Следствие. Пусть дана непрерывнвл функция Е: [а, 6] — й. Предположим, что число 6 е И таково, что Е(а) < Ь н Ь < Е(6). Тогда найдется точка с такац что а < Е < Ь, Х(~) = 6, н для всех х е [а, Е) выполняется неравенство: Ь < У(х). Для доказательства следствия достаточно применить теорему 4.1 к функции Е~(х) = Е(х) — 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
