1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 24
Текст из файла (страница 24)
у(х) Таким образом, точка р имеет окрестность У такую, что на мно- 1 жестве У П М 1 (р) функция — совпадает с некоторой функцией, у(х) имеющей предел, равный нулю. Согласно следствию 3 теоремы 1.5, отсюда следует, что Предположим, что у" (х) ф О для всех х и 1пп У(х) = — оо. Тогда х р,хЕМ 1пп [ — у(х)] = оо и, значит, по доказанному, 11 1пп — — = О. х р,хЕМ 1 .Г(х)1 1 Отсюда также следует, что Бщ — = О. х р,хЕМ 1(х) Д о к а ж е м утверждение теоремы, относящееся к случаю, когда функция 1 при х -+ р имеет предел, равный нулю.
1 Предположим, что у(х) ф О для всех х Е М. Пусть д(х) = —. У(х)' Найдем окрестность Уе точки р такую, что для всех х Е Уе Г1М ~ (р) выполняется неравенство У(х) > О. Так как 11ш у(х) = О, то найдется окрестность У1 точки р такая, х — ~р что для всех х Е У П М, отличных от р, выполняется неравенство: у'(х) < 1. Найдем окрестность У точки р, содержащуюся в каждой из окрестностей Уе и У1.
Возьмем произвольно точку х е М, принадлежащую окрестности У и отличную от точки р. Тогда х Е Уе и одновременно х Е У1. Отсюда следует, что для данного х выполняются неравенства: О < у(х) < 1 125 3 3. Признаки существования предела и, значит, 1 д(х) = — > 1. У(х) Это позволяет заключить, что для всех х Е У П М ~ (р) В+[д(х)] = — = у(х). 1 д(х) Таким образом, мы получаем, что для некоторой окрестности У точки р функция В+ [д(х)] на множестве У П М ~ (р) совпадает с функцией, имеющей предел, равный нулю. На основании теоремы о локальности предела (следствие 3 теоремы 1.5), отсюда следует, что 1пп В+[д(х)] = О х р,хем и, следовательно, 1 1пп д(х) = 1пп — = оо. х р,хЕМ х р,хам у(Х) Случай, когда у(х) ( О для всех х Е Ув П М, отличных от р, где Ув — некоторая окрестность точки р, сводится к рассмотренному заменой у на — у.
Теорема доказана. ° 33. Признаки существования предела В этом параграфе рассматриваются функции, определенные на подмножествах множества вещественных чисел К. Прежде всего, здесь будет доказана теорема о существовании предела у произвольной монотонной функции, заданной на некотором подмножестве зя. Из этой теоремы, в частности, следует, что всякая монотонная числоввл последовательность имеет предел. Следствие теоремы — так называемая теорема о вложенных отрезках.
Последняя часто применяется при доказательстве различных теорем о свойствах множества вещественных чисел, которые далее неоднократно применяются. С помощью теоремы о вложенных отрезках доказывается критерий сходимости Коши — Больцано, дающий необходимое и достаточное условии существования конечного предела. 126 Гл. 2. Теория предела С помощью теоремы о вложенных отрезках доказывается существование бесконечных несчетных множеств. Оказывается, что всякий отрезок, например, отрезок [О, 1] множества вещественных чисел К, является несчетным множеством.
В заключительной части параграфа изучаются понятия пределов слева и справа для функции, определенной на отрезке. Это позволяет указать некоторую классификацию точек разрыва функции, определенной на отрезке. 3.1. ТеОРемА О сУ естВОВАнии НРе елА мОнОтОннОЙ ФУнк ии Пусть даны множество А с Й и функция 1: А — К. Напомним, что функция ~ называется возрастающей, если для любых х,, хз е А таких, что х1 < хз, выполняется неравенство Дх1) < Дхз).
Если для любых хы хз е А таких, что х1 < хз, справедливо неравенство 1(х1) > Дхз), то функция ~ называется убывающей. Пусть х1 и хз — два произвольных элемента множества А. Если г"(х1) < Дхз), то — Дх1) > — У(хз), а если г"(х1) > Дхг), то — Дх1) < — Дхз). Отсюда следует, что если функция ~ является возрастающей, то функция — ~ — убывающая, а если У есть убывающая функция, то — у, напротив, представляет собой возрастающую функцию. Для того чтобы установить, что числовая последовательность монотонна, нет необходимости сравнивать значения ее членов с произвольными номерами им из б Иы как показывает следующее утверждение: в Предложение 3.1. Пусть (х„)„ен„есть произвольная последовательность вещественных чисел.
Если для всякого и е Иь выполняется неравенство х„< х„+ы то последовательность (х„)„ен„— возрастающая. Если для всякого и е Иь имеет место неравенство х„> х„+ы то данная последовательность является убывающей. В самом деле, пусть последовательность (х„)„ен„такова, что при каждом и справедливо неравенство: х„ < х„+,.
Зададим произвольно и1 е Иь и из е Иь такие, что и1 < из, и положим: т = из — и,. Очевидно, т е И. Подставляя в неравенство х„< х„+1 индексы и = иы и = и, + 1, и = и, + 2 и т. д., наконец, и = и, + т — 1, получим цепочку неравенств: х„, < х„,+г < хтее « ... хтв 1 < хп,+ = х„„ из которой, очевидно, следует,что х„, < х„,. 127 З 3. Признаки существовании предела Так как пы пз Е Мь такие, что пг ( пз, были выбраны произвольно, то тем самым доказано, что п ~-+ х„есть возрастающая функция на множестве Мю Если для всякого и Е г1ь имеет место неравенство: х„) х„еы то — х„< — х +з для любого и Е Иь.
По доказанному, отсюда вытекает, что последовательность ( — х„)„еи„является возрастающей и, значит, последовательность х„— убывающая. Предложение доказано. Ф ° 2'еорема 3.1 (о пределе монотонной функции). Пусть даны множество М С 1к и вещественная функция 1: М -+ И, которая определена и является монотонной на множестве М.
Предположим, что о = Бпр М есть предельная точка множества М, и пусть М = М 1 (д). Тогда функция 1 имеет предел при х — о по множеству М. При этом 1пп У(х) = Бпр У(х), х х,х ЕМ Емю если 1 — возрастающая функция, и 1пп у(х) = шГ у(х), х д,хЕМ хЕМ~ если функпия у — убывающая. Аналогично, если р = шХМ есть предельная точка множества М, то функция у имеет предел при х -+ р по множеству М.
При этом если М" = М ~ (р), то 1пп у(х) = шГ у'(х) в случае, когда функция у является возрастающей, и йш у(х) = Бпр у(х), х Р,хем хемх если 1 — убывающая функция. Доказательство. Пусть д = Бпр М является предельной точкой множества М. Предположим, что функпия у — возрастающая. Положим Ь = Бпр 1(х). х ЕМ' Покажем, что Ь = 11ш у(х). х д,хЕМ 128 Гл. 2.
Теория предела Очевидно, Х > — оо. Рассмотрим сначала случай, когда Х, конечно. Зададим произвольно в > О. Тогда Х' = Х вЂ” в < Х и, значит, в силу признака точной верхней границы функции (см. теорему 4.1 гл. 1), найдется х Е М такое, что Х вЂ” г < Х(х') < Х. (3.1) 1пп Х(х) = Х' = со. и д,ивм Если функция Х вЂ” убывающая, то фуикция — Х вЂ” возрастающая, и, значит, по доказанному, имеет предел. При этом Бпз[ — Х(х)] = впр [ — Дх)].
нем' Отсюда следует, что функция У имеет предел при х -+ о, причем 11ш Дх) = — впр [ — Х(х)] = шХ Дх). и ем' ием' Так как х е М ,то х ~ о,и, зиачит,х < о. Построим некоторую окрестность ХХ точки о. Если о = оо, то полагаем У = (х',оо]. Если же о — колечко, то пусть У = (о — б, о+ б), где б = о — х' > О. Очевидно, как в случае д = оо, так и в случае конечного о окрестность У есть промежуток, левым коицом которого является точка х'. Возьмем произвольно точку х Е У й М, отличную от о.
Имеем: х < х < о и, значит, для данного х выполняются неравенства Х вЂ” г < < Дх') < Х(х) < Х. Отсюда следует, что для всякого х Е У П (М 1 (о)) справедливо соотношение: [Х(х) — Х,] < г. Итак, мы установили, что каково бы ии было в > О, по нему иайдется окрестность У точки о такая, что для любого х й У П (М 1 (о)) имеет место неравенство: [У(х) — Х ] < г. Согласно определению предела это означает, что Х = 1ш1,Х(х). и ихем Рассмотрим случай, когда Х = оо.
(Рассуждения для этого случая аналогичны проделанным выше.) Зададим произвольно К Е И. По нему найдется точка х' 6 М такая, что К < Дх'). По точке х' строим окрестность У точки д такую, что точка х' является ее левым коицом. (Если о конечно, то ХХ = (о — б,о+ б), где б = о — х' > О, а в случае д = со полагаем ХХ = (х',оо].) Лля всех х Е У П (М ~ (о)) имеет место неравенство: Дх) > К. В силу произвольности К б К отсюда следует, что 129 3 3. Признаки существования предела Утверждение теоремы 3.1 относительно предела при х — о = зпр М доказано.
Утверждение теоремы, касающееся предела при х — > р = АМ, доказывается аналогичными рассуждениями. Необходимо только надлежащим образом изменить знаки неравенств. Мы предоставляем читателю разобраться в этом самостоятельно. Теорема доказана. И Числовая последовательность (х„)„ен„называется возрастающей (дбыеаюп1еб), если она представляет собой возрастающую (соответственно, убывающую) функдию на множестве Иь. Числовая последовательность называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.
Применяя теорему 3.1 к случаю, когда область определения функции есть множество г1ь, получаем следующий результат. Т Следствие 1. Если числовая последовательность (х„)„ен„является монотонной, то она имеет предел. При этом если данная лослецовательность возрастающая, то 1пп х„= эпрх„, П СО пен а если она является убывающей, то 1пп х„= шГ х„.
а оо пои Доказательство — очевидно. Т' Следствие 2. Всякая ограниченная монотонная числовая последовательность является сходящейся, то есть имеет конечный предел. Данное утверждение очевидным образом следует из предыдущего, если заметить, что ограниченность последовательности означает, что ее точная верхняя и точная нижняя гранины суть конечные числа. Т Следствие 3 (теорема о вложенных отрезках). Пусть дана последовательность замкнутых отрезков ([а„, Ь„]) „ен множества К. Если при каждом и отрезок [а„, Ь„] содержит в себе отрезок [а„+д, Ь„+д], [а„, Ь ] З [а„+д, Ь„+д], то сугцествует точка р Е К, принадлежащая всем отрезкам последовательности. Если при этом длина ܄— а„промежутка [а„, Ь„] стремится к нулю при и -+ оо, то такая точка р единственна, причем р = 11ш а„= 1пп Ь„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
