1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Из доказанного вытекает, что Х' = Х. Последовательность (й„) точек множества М 1 (р), сходятцаяся к точке р, была выбрана произвольно. Мы получаем, таким образом, что если функпия Х удовлетворяет всем условиям теоремы, то существует число Х такое, что для любой последовательности ($ ), и = 1,2,..., точек множества М ~ (р), имеющей пределом точку р, ДФ„) стремится к Х при и — + оо. Вто ая часть оказательства те мы к которой мы переходим, состоит в том, чтобы доказать, что полученное число Х есть предел функции Дх) при х — + р по множеству М.
Будем предполагать, что в случае, когда функция Х является вещественной, Х вЂ” конечно. Зададим произвольно е > О. Покажем, что найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е М ~ (р), принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство: (3.2) Предположим, напротив, что окрестность У точки р, удовлетворяющая данному условию, не существует. Это означает, что, какова бы ни была окрестность У точки р, обязательно найдется точка х Е М, принадлежащая окрестности У и отличная от точки р, для которой неравенство (3.2) не выполняется, то есть такая, что ~У(х) — Х ~ > е. Пусть (У ) ен есть последовательность окрестностей точки р, которая является ее канонической базой Зля всякого и Е И, в силу сделанного предположения, найдется точка х„ Е У„ П М, отличная от р, для которой )У(х„) — Ц > е.
Полагая п = 1,2,..., получим последовательность (х ) ен точек множества М такую, что при каждом и Е Я справедливо х Е К„ х„ф р, и имеет место неравенство: ~ Х(х ) — Ц > е. 137 3 3. Признаки существования предела При и — + оо, согласно лемме 1.10, х„- р и, значит, по доказанному, Дх„) — Х . Переходя в неравенстве [У(х ) — Х [ > е к пределу при тз — т оо, получим, что 0 > е. Это, однако, противоречит тому, что по условию е > О. Итак, допущение, что у точки р нет окрестности такой, что для всех точек х Е М, принадлежащих этой окрестности и отличных от р, выполняется неравенство (3.2), приводит к противоречию. Таким образом, доказано существование окрестности У, обладающей тем свойством, что для любого х Е У П (М ~ (р)) выполняется неравенство: ]Х(х) — Х] < е. Согласно определению предела, этим установлено, что Х, = Бш Х(х).
и р,иЕМ Рассмотрим случай, когда функция Х вЂ” вещественная и Х = ~ос. Положим г (х) = В+[Х(х)] в случае Х = оо и г (х) = В+[-Дх)], если Х = — оо. Тогда для всякой последовательности (х„)„ен точек множества М ~ (р), имеющей пределом точку р, г'(х„) + 0 при тз — т оо. По доказанному, отсюда вытекает, что 0 = 1пп р (х). Тем самым в р,рЕМ установлено, что Х = 1пп Х(х) и в данном случае. х-~р,иЕМ Теорема доказана. ° 3.4.
НЕСЧЕТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ВЕ ЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ К В качестве приложения тпеоретлы о вложенных отпрезнах (следствие 3 теоремы 3.1), установим некоторое важное свойство множества всех вещественных чисел К. Всякий промежуток (а, б), где а < Ь, множества вещественных чисел представляет собой бесконечное множество. Оказывается, что всякий промежуток в й имеет существенно больше элементов, чем множество натуральных чисел Я. Говорят, что промежуток является несчетпнытл множеством. Этот факт может показаться неожиданным, если вспомнить, что множество всех рациональных чисел Я, как было показано ранее (см.
главу 1, 37), — с ч е т н о. Между тем рациональные числа достаточно густо располагаются в множестве всех вещественных чисел и, казалось бы, это множество не должно быть существенно богаче множества всех рациональных чисел. ° Теорема 8.4 (теорема о несчетности отрезка в множестве вещественных чисел). Для любых а, б Е К таких, что а < б, отрезок «а, б] не является счетным множеством. 138 Гл. 2. Теория предела Доказательство.
Пусть а, Ь Е 2, причем а < Ь. Предположим, вопреки доказываемому, что множество [а, Ь] — счетно. Промежуток [а,Ь] представляет собой бесконечное множество и, значит, на основании следствия 1 теоремы 7.1 главы 1, существует взаимно однозначное отображение множества [а, 6] на множество всех натуральных чисел И. Точку отрезка [а, 6] с номером и обозначим через х„. Построим, по индукции, некоторую последовательность отрезков ([а„,6„]). ею Счет отрезков удобнее начинать с и = О. Полагаем [ао, Ьо] = [а, Ь]. Предположим, что для некоторого целого и ) О отрезок [а„,Ь„] определен.
Разделим его на три равные части точками с„и д„такими, чтоа„<с„<А,<Ь . Заметим, что хотя бы один из этих трех отрезков [а„, с„], [с„, д„] и ф, Ь„] не содержит точку х +з. Тот из них, для которого это имеет место (то есть который не содержит точку х„+з), обозначим символом: [а +г, Ь +г] Таким образом, по индукции определена последовательность отрезков ([а„,Ь„])„>о. Из построения следует, что при любом целом и ) О х„ф [а„, 6„] и при каждом и будет [а„, Ьп] Э [а„+д,6 +з]. В силу следствия 3 теоремы 3.1, найдется число у й К такое, что у с [а„, Ь„] для всех и Е Ы.
В частности, у Е [а, 6] и, значит, в нумерации элементов промежутка [а, 6], существование которой мы предполагаем, у имеет некоторый номер. Пусть у = х„,. Но тогда, как следует из определения промежутка [а„, 6„,], точка у = хоо этому отрезку не принадлежит, то есть справедливо соотношение: у ф [а„, 6„]. В то же время у Е [а, 6„] для всех и и, в частности, для и = ио. Мы получаем, таким образом, противоречие: с одной стороны, уЕ[ао Ьо] асдругой — у1[ао Ьо]. Попущение, что промежуток [а, 6] представляет собой счетное множество, привело нас к противоречию.
Следовательно, [а, Ь] не может быть счетным множеством, и теорема тем самым доказана. ° 3.5. ПОнЯтие ОднОстОРОннегО НРе елА и клАссиФикА иЯ тОчек РАЗРЫВА ФУНК ИИ НА ОТРЕЗКЕ Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) С И и функция 1: 1 — о К. 139 З 3. Признаки существования предела Возьмем произвольно внутреннюю точку хо промежутка 1. Эта точка разбивает 1 на д в а ч а с т и ч н ы х промежутка: 1 =1П( — оо,хо) и 1+ =1П(хо,оо1 и является предельной для каждого из них. Предел функции 1 по промежутку 1 при х — хо называется пределом слева функции 1 в точке хо и обозначается формулой: 1пп ~(х) = ~(хо — 0).
Предел У(х) при х, стремящемся к хо по промежутку 1+, называется пределом справа функции 1 в точке хо и обозначается формулой: 1пп 1(х) = 1(хо + 0). *-*о+о Пределы с лев а и с п р ав а функции 1: 1- К в произвольной внутренней точке хо промежутка 1 называются односторонними пределами функции 1" в точке хо. Для величин 1(хо+ 0) и 1(хо — 0) в литературе используются также обозначения: 1((хо) и Щхо), соответственно. Если фУнкциЯ 1 имеет пРедел пРи х, стРемкщемск к точке хо, то, в силу установленных ранее свойств предела (см.
следствие 2 теоремы 2.6), ее пределы слева и справа также существуют и равны 1пп 1(х). ° Теорема 3.5. Пусть дан промежуток 1 = (а, Ь) С Ж. Пусть хо— это произвольная внутренняя точка промежутка 1. Если пределы слева и справа функции 1" в точке хо существуют и равны между собой, то функция 1" имеет предел при х — ~ хо по множеству 1, равный общему значению пределов слева и справа функции 1.
Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Положим 1 = 1Г1 [ — оо,хо), 1+ = 1Г1(хо,оо1. Пусть 1 есть общее значение пределов слева и справа функции 1 в точке хо. Предположим сначала, что 1 — конечно. Зададим произвольно в > О. Пусть Ьз > 0 таково, что если х Е 1 причем )х — хо) < Ьд, то выполняется неравенство ~Дх) — 1) < в. Далее, пусть Ьз > 0 таково, что если х Е 1+, причем ~х — хо( < бз, то ),1'(х) — Ь) < в. Н а и м е н ь ш е е из чисел бз и бз обозначим через 6. ПУсть х Е 1 1(хо) таково, что (х — хо! < 6. 140 Гл. 2.
Теория предела Если х < хо, то х Е Х . Так как б < бд, то [х — хв[ < бы и, значит, [Х( ) — Х,[ < Если же точка х расположена с п р а в а от хв, то х Е 1+. Так как [х — хв[ < б < бз, то и в этом случае [Х(х) — Х [ < е. Так как е > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено, что Х = 1пп У(х). ив Пусть Х: М вЂ” ~ И есть функция, область определения которой содержит интервал Хг = (а, ~3). Пусть р есть произвольная точка промежутка Ь.
Если функция Х не является непрерывной в точке р, то говорят, что р есть точка разрыва функции Х. При этом если пределы слева и справа функции Х в точке р существуют и оба к о н е ч н ы, то говорят, что р есть точка разрыва первого рода. Во всех остальных случаях, то есть если хотя бы один изэтихпределов не существует или существует и р а в е н хоо, — точкой разрыва второго рода функции Х. П ив емнекото ые п уме ы. Пример 2. Лля произвольного х Е Й положим: — 1 прих<0; вр1 х = прих=О; при х > О. Как нетрудно видеть, Отсюда ясно, что 0 есть точка разрыва первого рода функции вяп (см. рис.
1). Мы предполагали, что число Х вЂ” конечно. Случай, в котором Х = хоо, сводится к этому стандартным приемом. Он состоит в том, чтобы вместо Х рассмотреть функцию Р: 1 — + й, определенную следующим образом: г'(х) = Л+[Х(х)) при Х = оо и Г(х) = А [Дх)[ при Х, = — со. Рассмотрение всех деталей, относящихся к случаю Х = хоо, мы предоставляем читателю. Теорема доказана. ° 141 З 3. Признаки существования предела Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
