1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 28
Текст из файла (страница 28)
° Теорема 4.2. Пусть лавы промежуток 1 = (а, 6) с Й и функция Е: Х вЂ” К. Ясли функция Е непрерывна, то множество Е(1) является либо промежутком, либо состоит из единственной точки. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Положим: р = !пЕ Е(х) = шЕ Е(1), д = вар Е(х) = кар Е(1). хег кег Тогда р < д. Для всех х б1 имеем: р < Е(х) < Х. Если р= д, то отсюда следует, что функция Е п о с т о я н н а на множестве Х ив этом случае Е(1) есть оды от о ч е ч н о е множество.
Предположим, что р < д. Очевидно, что Е(1) с [р, д]. 147 з 4. Теорема о разрешимости уравнения Х(х) = Ь Теорема будет доказана, если мы покажем, что 1(1) Э (р, а). Возьмем произвольно у Е Й такое, что р < у < а. В силу признаков точной верхней и точной нижнеи границ множества (см. теорему 4.1 главы 1), найдутся точки х1 Е 1 и хз Е 1 такие, что Х(х1) ) у, а Х(х2) < у. Точки х1 и хз — р а з л и ч и ы. Пусть [а, В] есть отрезок с концами х1 и хз, то есть либо а = хы В = хз, либо а = хз, 9 = х1. Очевидно, [а,~3] С 1.
Функция Р: х ~-~ 1(х) — у иа концах промежутка [а, р] принимает отличные от нуля значения р а з н ы х знаков. Следовательно, найдется х Е (а„о) такое, что г(х) = О, то есть Х(х) = у. Очевидно, х Е Х и, стало быть, у Е Х(1). Точка у такая, что р < у < а, была взята произвольно. Тогда из доказанного вытекает, что Х(1) Э (р, о). Теорема доказана. ° Говорят, что вещественная функция Х, определеыивл иа некотором промежутке 1 = (а,6), обладает свойством Дарбу, если для любых у1 = Х(х1) и уг = У(хз), где х1 и хз суть произвольные точки промежутка Х, функция Х в промежутке с концами в точках х1 и хз принимает любое значение, лежащее между у1 и уз. Теорема 4.2, таким образом, утверждает, что всякая непрерывная функция обладает свойствви Дарбу. Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает следующий Пример.
Функция зш — при х ф О; Х(х) = О при х = О не является непрерывной в промежутке [-1,1]. В то же время оиа, как нетрудно показать, обладает свойством Дарбу. 4.2. '1'ЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНК ИИ ° Лемма 4.2. Пусть Х = (а, в) — произвольный промежуток в Й и Х: 1 — К есть монотонная функция. Если множество 1(1) является промежутком, то функция Х вЂ” непрерывна. Доказательство. Пусть функция 1 удовлетворяет условию леммы. Ограничимся случаем, когда 1 есть возрастающая функция.
(В случае убывающей функции рассуждения проводятся аналогично.) 148 Гл. 2. Теория предела Возьмем произвольно точку хо Е 1, Предположим, что а < хо. Тогда имеем: 1(хо — О) < Х(хо). Локажем, что Х(хо — О) = Х(хо). Риа 5 Лопустим, напротив, что 1(хо — О) < Х(хо). Пусть р = Х(хо — О), д = Х(хо) Положим Хд = [ — оо,хо) П1. По теореме о пределе монотонной удуннции (теорема 3.1), 1(хо — О) есть точная верхняя граница функции Х на множестве Хд.
Отсюда следует, что при х Е 1д имеем Х(х) < Х(хо — О). Возьмем произвольно значение х Е 1. Если х > хо, то 1(х) > > 1(хо) = д и, значит, Х(х) ф (р, д). Если х < хо, то х Е Хд и, следовательно, Х(х) < Х(хо — О) = р. Мы получаем, таким образом, что для любого х Е 1 точка Х(х) лежит в н е интервала (р,д). Множество Х(1) имеет как точки, лежащие с л е в а от этого интервала (таковой будет любы точка у = Х(х), где х < хо), так и точки, лежащие с п р а в а от него (например, точка уо = Дхо) лежит справа от данного интервала). Интервал (Х(хо — О), Х(хо)) образует своего рода «дыру» в множестве Х(1).
Отсюда следует, что множество 1(1) не является промежутком (см. рис. 5). Итак, допущение, что Х(хо — О) < Х(хо), приводит к противоречию. Аналогичным образом, в случае хо < б, приводится к противоречию допущение, что 1(хо) < 1(хо+ О). Следовательно, если функция Х удовлетворяет условиям леммы, то в каждой точке хо Е 1 левый и правый пределы функции р а в н ы Дхо) и, значит, функция 1 н е п р е р ы в н а в каждой точке промежутка 1, что и требовалось доказать.
° 3 а м е ч а н и е. Условие монотонности в формулировке леммы 4.2 существенно, как видно из указанного в конде предыдущего раздела 149 з 4. Теорема о разрешимости уравнения Х(х) = Ь примера разрывной функции, обладающей свойством Дарбу. Приведем другой, более простой Пример (см. рис. 6). Пусть Х = [ — 1,1], У(х) = х + 1 при — 1 < < х < О, Х(0) = 0 и Х(х) = х — 1 при 0 < х < 1.
Здесь функпия Х имеет в точке 0 разрыв первого рода. В то же время Х(1) = ( — 1,1), так что множество Х (1) является и р о м е ж у т к о м. Рис б Функция, построенная в данном примере, не обладает свойством Ларбу. Пусть 1 и,Х вЂ” два произвольных невырожденных промежутка в К. Вудем говорить, что Х и Х суть промежутки одного и того же тополоеическоео типа, если они либо оба открытые, либо оба замкнутые, либо, наконец, оба являются полуоткрытыми. алее использ ется понятие ст ого м о н о т о н н о й нкции.
П ив ем оп е еление. Пусть дано множество А с Й. Функция Х: А — Й называется строго монотонной, если она монотонна и для любых хы хз Е А таких, что хз ~ хз, всегда Х(хз) ~ Х(хг) Иначе говоря, функция Х: А — + Й строго монотонна, если она монотонна и отображает А в Й взаимно однозначно. ° Теорема 4.3 (теорема о непрерывной обратной функции). Пусть Х есть произвольный невырожденный отрезок в К, а У: 1 — Й вЂ” непрерывная строго монотоннал функция. Тогда множество Х = Х (1) есть отрезок в К того же толологического типа, что и отрезок 1.
Отображение Х вЂ” взаимно однозначно, и обратное отображение Х ~ является непрерывной функцией, строго монотонной в том же смысле, что и исходнвл функция Х. 150 Гл. 2. Теория предела Доказательство. Пусть функция 1: 1 — ~ И удовлетворяет всем условиям теоремы. Из теоремы 4.2 следует, что множество 1 = Х(1) естьлибо отрезок, либо одноточечное множество. В силу строгой монотонности, функция 1 не является тождественно постоянной, поэтому множество 1 не может быть одноточечным и, значит,,1 есть отрезок.
Так как функция 1 строго монотонна, то при х1 ~ хз также и Дх1) ~ Дхз), и, значит, 1 есть взаимно однозначное отображение. Следовательно, определено о б р а т н о е отображение: Х ': 1 — ~ 1. Покажем, что функция 1 ' монотонна. Предположим, что 1 есть возрастающая функция. Возьмем произвольно точки у1 и уз промежутка 1 такие, что у1 < уз. Пусть х1 = Х '(у1), хг = У ~(дз). Тогда х1 < хз. Лействительно, допустим, напротив, что х1 > хз.
Так как 1— возрастающая функция,то отсюда следует неравенство у1 = У(х1) > > 1(хз) = уг, что противоречит условию д1 < уз. Это означает, что х1 < хэ. Таким образом, 1 1 — это возрастающая функция. В случае, если 1 есть убывающая функция, точно так же устанавливается, что функция 1 1 является убывающей. Функция д = 1 1 отображает промежуток 1 в Х и множество д(1), очевидно, совпадает с 1. Таким образом, функция д — монотонна и множество д(1) есть промежуток 1.
В силу леммы 4.2, отсюда следует, что функция д— непрерывна. Лля завершения доказательства осталось показать, что 1 и Х суть промежутки одного и того же топологического типа. Пусть 1 = (а, о), 1 = (с, д). Предположим, что функция У возрастающая. Пусть а Е Х. Тогда, очевидно, 1(а) Е 1. Для всякого х Е 1 выполняется неравенство 1(а) < у = Дх) Е 1. Отсюда следует, что 1(а) есть л е в ы й конец промежутка Х, то есть |(а) = с. Таким образом, в этом случае с Е Х Следовательно, мы получаем, что если отрезок 1 з а м кнут слева,тоиотрезокХявляется замкнутым слева.
Применяя то же самое рассуждение к функции д = 1 1, получим, что если отрезок 1 замкнут с л е в а, то и отрезок 1 является замкнутым слева. Таким образом, если один из данных отрезков 1 и 1 замкнут слева, то и другой будет замкнутым слева. Отсюда следует, что если один из промежутков 1 и Х является открытым слева, то и другой будет открытым слева. 151 З 5. Основные теоремы о непрерывных функциях Аналогично устанавливается, что если один из отрезков 1 и Х замкнут справа, то замкнут справа и другой, и, следовательно, если один из них является открытым справа, то открытььм справа будет и другой. Из доказанного, очевидно, следует, что в рассматриваемом случае 1 и д суть отрезки одного и того же топологического типа.
В случае, когда функция 1 — убывающая, аналогичными рассуждениями устанавливается, что если один из данных отрезхов 1 и д содержит свой л е в ы й (п р а в ы й) конец, то другой содержит свой правый (соответственно, левый) конел. Отсюданетрудно захлючить, что и в этом случае 1 и Х вЂ” отрезки одного и того же топологического типа. Теорема доказана. ° В связи с оказанной тео емой вв ем сле ю ее об ее понятие. Пусть дано множество А С К. Отображение 1: А — Ж называется топологическим, если 1 — взаимно однозначно и хаждое из отображений 1 и у ь — непрерывно. Множества А, В С К называются гомеоморфнььми, если существует топологическое отображение 1: А — К такое, что 1(А) = В. Вместо термина <топологическое отображение» часто употребляется термин «гомеоморфизм».
Теорема 4.3 устанавливает, что непрерывная, строго возрастающая функция, определенная на отрезке 1 множества И, представляет собой пьопологическое отображение этого отрезка в множество К. Из этой теоремы вытекает также, что если промежутки 1 и Х гомеоморуьньь, то они принадлежат одному и тому же топологичгскому типу. Верно и обратное: если промежутки 1 и 1 принадлежат одному и тому же топологическому типу, то они гомеомор$ньь. Последнее утверждение доказывается построением какой-либо хонкретной непрерывной, строго возрастающей функции, отображающей один из данных промежутков на другой. ~5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
