1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Гл. 2. Теория предела .11оказателъстно. Предположим, что ([а„, Ь„])„ен есть последовательность отрезков, удовлетворяющая всем условиям следствия. Из включения [а„,Ь„] Э [а„+1,Ь„+1] вытекает, что а„ < а„+1 и Ь.+, < Ь„. Таким образом,мы получаем,что последовательность (а„)„ен является возрастающей, а последовательность (Ь„)„ен — убывающей. Стало быть, в силу следствия 1, существуют пределы: В= 1щ1Ь„. А= 1ппа, и оо Так как последовательность (а„) ен — возрастающая, то о„< А при любом и, а в силу того, что (Ь„)„ен есть убывающая последовательность, В < Ь„при всех п. Далее, при каждом п Е 1Ч имеет место неравенство а„< Ь .
Отсюда, в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (слелствие 1 теоремы 1.3), вытекает, что А < В. Итак, для данной последовательности отрезков ([а„, Ь„])„еи существуют такие числа А и В, что при каждом и выполняются неравенства: а„< А < В < Ь„. Б частности, отсюда видно, что числа А и  — конечны. Любое число р такое, что А < р < В, очевидно, принадлежит всем отрезкам [а„, Ь„]. Если Ь„ — а„ -+ О при п — оо, то А = В и р = А = В является обпгим пределом последовательностей (аи)оен и (Ьо)пею Следствие доказано.
Т 3.2. Критерий Коши — БольцАно су ествовАния конечного ПРЕЛЕЛА Зададим произвольно множество М С Й, имеющее предельную точку р. ° Теорема 3.2 (признак сходимости Коши — Больпано). Для того чтобы числовая функция 1(х), определенная на множестве М С Й, имела конечный предел при я, стремящемся к р Е Йтъ(М) по множеству М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О можно было указать окрестность У точки р такую, что для любых х1 й М и яз й М, принадлежащих окрестности У и отличных от р, выполняется неравенство: [Пх1) У(жз)[ < е З 3. Признаки существования предела Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция у(х) имеет конечный предел при х, стремящемся к р по множеству М, причем в случае, когда у — вещественная функция, этот предел конечен. (Напомним, что для комплексных функций понятие бесконечного предела вообще не определено.) Пусть Ь = оп У(х). Зададим произвольно е > О. Положим х р,хСМ е1 = е/2. Очевидно, е1 > О. Согласно определению предела, найдется окрестность У точки р такая, что для любого х Е М, отличного от р и принадлежащего окрестности У, имеет место неравенство: )1'(х) — Ь( < е/2.
Пусть х1 и хз — два произвольных элемента множества УПМ Цр1. Имеем: !~(х1) — 1(хз)! < /Дх1) — Ц + /Ь вЂ” У(хз)/ < — + — = е. е 2 2 Так как е > О было взято произвольно, то необходимость условия теоремы доказана. Л о с т а т о ч н о с т ь. Рассмотрим сначала случай, когда функция 1 является вещественной. Предположим, что для всякого е > О можно указать окрестность У точки р такую, что для любых х1, хз Е М, отличных от р и принадлежащих окрестности У, выполняется неравенство: ~У(х1) У(х2)~ < е.
Требуется доказать, что данная функция имеет конечный предел при х, стремящемся к р по множеству М. Сначала построим число Х, которое могло бы считаться возможным «претендентом на должность пределы. После этого наша задача будет состоять в том, чтобы показать, что этот «претендент» соответствует указанной «должности». Построим некоторую специальную последовательность (У„) си окрестностей точки р. 1 Пусть Ъ'„есть окрестность точки р, отвечающая значению е = —, 2п' то есть такая, что для любых х1,хз б р' П М, отличных от р, выполняется неравенство: (~(Х1) — х (Х2)~ < 1 2п Полагаем: р1 = Чг.
Если для некоторого п Е 1з' окрестность р"„ определена, то пусть У„+1 есть окрестность точки р, содержащаяся в каждой из окрестностей р'„и Р„+1. 132 Гл. 2. Теория предела Последовательность (7' )„еи является убывающей, то есть при каждом и Е И выполняется включение 7 Э 7'+1. При каждом о имеем: Уе С К. Положим С„= Ъ'„П М '1 (р), и пусть а„= ш1 Г(х), Ь„= зир 1(х).
хек хеоп При каждом и будет С Э С +г. В силу известных свойств точной верхней и точной нижней границ функции, отсюда следует, что при каждом и имеем а < а +г и 6 > Ь„+г. Возьмем произвольно точку х„е С . Лля всякого х Е С„выполняется неравенство: ~У(х) — У(х )~ < †. 1 2п Заключаем, что 1 1 1(х„) — — < У(х) < У(х„) +— 2о 2п для всякого х Е С . Отсюда следует, что а„> 1(х„) — —, Ь„< Дх„) + —.
1 1 В частности, мы получаем, что а„и ܄— конечны. Имеем неравенства: — а„< — 1(х„) + —, 6„< 1(х„) + —, 1 1 складывая которые почленно, получим: Отсюда, в частности, следует, что разность ܄— а стремится к нулю при п — + оо. На основании теоремы о вложенных отрезках (следствие 3 теоремы 3.1), существует вещественное число Ь такое, что Ь Е [о„, 6„] при всяком а, причем а„-+ Ь и Ь„- Ь при л — ~ оо. Таким образом, построено некоторое число Ь Е К.
З 3. Признаки существования предела Покажем, что Ь = 1пп У(х). Зададим произвольно е > О. Пусть и р,иЕМ 1 по е Ы таково, что — < е. Положим У = р'„а. Возьмем произвольно по точку х Е У П М, отличную от р. Тогда х Е С„а и, следовательно, Имеем также: а„, < Ь < о„,. Отсюда следует, что (У(х) — Х ( < Ь„, — на « — Е. 1 по В силу произвольности е > О, тем самым установлено, что Ь = Вш Дх). и р,рЕМ " достаточность Таким образом, ля сл чая ве ественных условия теоремы установлена. П положим что есть комплексная нк ия. Лля любых двух точек х' и х" множества М имеют место неравенства: )Веу(х') — ВеДх )! < )У(х') — У(х")~, /1шДх') — 1шу(х")/ < /У(х') — У(х")~. Отсюда вытекает, что если функция У удовлетворяет условию теоремы, то и каждая из вещественных функций Ке 1 и 1ш у удовлетворяет этому условию.
В силу доказанного, это позволяет заключить, что пределы 1пп В.е У(х), Бш 1ш У(х) и р,хЕМ р,*ем существуют и конечны, и, значит, функция 1' имеет предел: 1пп у(х). х р,хЕМ Таким образом, достаточность условия теоремы установлена и для случая, когда функция У комплексная. Теорема доказана. ° Следствие 1. Для того чтобы числовая последовательность (х„) „ен была сходюлейся, необходимо и достаточно, чтобы для всякого 134 Гл. 2. Теория предела е > О существовал номер й такой, что для любых пг > й и пг > й выполняется неравенство: ~х„, — х„, ~ < е. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь.
Пусть последовательность (х„)„ев является сходящейся. Зададим произвольно е > О. Согласно теореме, по данному е > О найдется окрестность У = (Х,оо) точки р = оо такая, что для любых номеров выпг й У выполняется неравенство: ~х„, — х„,~ < е. Выберем произвольно й > Х, й Е Мю Если пг > й и пг > й, то пг й У и пг Е У, и, значит, ~х„, — х„, ~ < е. Необходимость установлена. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что для всякого е > О можно указать номер й такой, что для любых п1 > й и пг > й выполняется неравенство: ~х„, — х, ~ < е. Зададим произвольно е > О и найдем соответствующее ему значение й.
Положим У = (й,оо]. Множество У есть окрестность точки р = оо. Из условия и Е У вытекает, что п > й, и, следовательно, в силу выбора й, для любых номеров пг Е У и иг Е У выполняется неравенство: ~х, — х„, ~ < е. Таким образом, для последовательности, как функпии на множестве й)ь, выполнены условия теоремы 3.2 и, значит, эта последовательность имеет конечный предел при и — оо, то есть является сходящейся. Следствие 1 доказано.
другое доказательство достаточности критерия сходимости Коши — Больцано для последовательности (следствие 1 теоремы 3.2) приводится в п. 6.2.2 этой главы. Заметим, что в части, касающейся достаточности, условие следствия может быть несколько ослаблено. Справедливо следующее пред, ложение.
Следствие 2. Если числовая последовательность (х„)„ев„удовлетворяет условию: для всякого е > О можно указать номер й такой, что для любого и > й выполняется неравенство ~х„— х-„~ < е, то она является сходящейся. Доказательство. Действительно, предположим, что последовательность (х„) ен„ удовлетворяет условию следствия.
Зададим произвольно е > О. Положим ег = е/2. Тогда, в силу предположения, найдется й такое, что если п > й, то ~х — х-„~ < ег. Пусть пг > й и пг > й. Тогда ~х~ъ хаг~ < ~ха1 х ~+~х ха. ! <ег+ег =е. 135 З 3. Признаки существования предела Таким образом, для любых иг > й и пг > й выполняется неравенство: ~хя, — Хяг~ ( Е Так как е > 0 — произвольно, то для данной последовательности выполняется условие следствия 1, и тем самым доказано, что эта последовательность является сходящейся. Следствие 2 доказано. 3.3. КРитеРий Гейне су естВОВАниЯ пРеделА Докажем теорему, из которой следует, что понятие предела функции в общем случае может быть сведено к понятию предела последовательности.
° Теорема З.З (критерий Гейне существования предела). Пусть даны множество М С гя' и его предельная точка р. Предположим, что числовая функция 1', определенная на множестве М, такова, что для всякой последовательности (х ) ен точек множества М такой, что р = 1пп х„ н р ~ х„для всех п, последовательность Щх„)) „еи имеет предел. Тогда существует предел: 1пп 1 (х).
х реем 3 а м е ч а н и е. В условиях теоремы областью значений функции у' может быть как множество В, так и множество всех комплексных чисел С. В случае, когда функция у — вещественная, допускаются бесконечные значения предела: 11щ у(х„). и го Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Последующие рассуждения состоят из двух частей. В пе вой части мы докажем что значение предела 1пп у(х„) не зависит от выбора последовательности (х„)„еи, удовлетворяющей всем требуемым условиям. Пусть (х„)„еи есть последовательность точек множества М такая, что Х„Р~ р и р = 1пп х„при каждом п. Согласно условию теоремы, в со существует предел: Вт у(х„) = Х. Пусть ($ ) „еи — какая-либо другая последовательность точек множества М, удовлетворяющая тем же условиям: 1пп Ф„= р и Ф„~ р для всех п.
В силу условия теоремы, существует предел: 1пп у($ ) = Ь . Покажем, что Ь = Ь'. Для этой цели построим новую последовательность (я„)„еи, полагая и„= х„, если и — четно, и х„= Ф„для нечетного и. 136 Гл. 2. Теория предела При каждом п точка г„лежит между х и Фп, з Е М и з ф. р. Применяя гпеорему о зажатой переменной (теорема 1.5), заключаем, что г„стремится к р при п — оо. В силу условия теоремы, существует предел: 1пп Х(г„) = Х". Имеем: Х" = Иш Х(зги) = 1пп У(хз„) = Иш Х(х ) = Х и точно так же заключаем, что Х" = Иш Х(ззп г) = 1пп Х(Фз„~) = 1пп У(Ф„) = Х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
