1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 20
Текст из файла (страница 20)
й->р,йем Ф Теорема 1.5 (теорема о зажатой переменной). Пусть функция ~ определена на множестве М. Предположим, что существуют окрестность Уе точки р и функции и: М1 -+ й, е: Мз -+ К, области определения которых содержат множество С = Уе й М, такие, что выполнены следующие условия. 1) для каждого х Е С, отличного от р, величина 1(х) лежит между и(х) и р(х) (то есть для всякого х ~ (О ~ (р)) либо и(х) < 1(х) < е(х), либо в( ) > У( ) > ( ))' 2) существует число Ь е й такое, что 1О1 з 1. Определение и простейшие свойства предела ,ХХокнзательстио. Пусть вътолнены все условия теоремы.
Рассмот им сначала сл чай ког а Х вЂ” конечно. Зададим произвольно е > О. По нему найдутся окрестности Уг и Уг точки р такие, что для любого х Е Мг, отличного от р и принадлежащего окрестности Ум выполняется [и(х) — Х] < е, а для всякого х Е Мг, отличного от р и принадлежащего Уг, справедливо соотношение: [п(х) — Х,[ < е. Согласно лемме 1.1, найдется окрестность У точки р, которая содержится в каждой из окрестностей Уе, Уг и ХХг. Пусть точка х Е М принадлежит указанной окрестности У, причем х ф р. Так как У С Уе, то х Е Уе, и, значит, х Е С.
Поскольку У С ХХг и У С Уг, то х принадлежит также каждой из окрестностей Уг и Уг. Отсюда, в силу выбора Уг и ХХг, вытекает, что для данного х выполняются неравенства: Х вЂ” е < и(х) < Х +е и Х вЂ” е < е(х) < Х + е. Так как х Е с'', то, согласно условию теоремы, Х(х) лежит между и(х) и е(х), то есть либо и(х) < Х(х) < е(х), либо и(х) > Дх) > е(х). Отсюда следует, что для всякого х Е М, удовлетворяющего условиям х Е У, х ~ р, имеют место неравенства: Х вЂ” е < Х(х) < Х + е, то есть [Х(х) — Х [ < е для каждого х Е У П (М 1 (р)).
Число е > О было выбрано произвольно. Из доказанного вытекает, согласно определению предела, что Х = 1пп Х(х). г-~р,гЕМ Для случая конечного Х теорема доказана. Рассмот им с чай ког а Х = оо. Положим сг(х) = Ве[и(х)], 13(х) = В+[в(х)], и пусть 1р(х) = В+ Д(х)]. Так как 1пп и(х) = 1пп и(х) = оо, г- р,гЕМг р гЕМг то 1пп сг(х) = 1пп 13(х) = О. г р,гЕМг х р,гЕМг Функция Ве монотонна. Отсюда следует, что при каждом х Е С, отличном от р, величина ~р(х) лежит между сг(х) и 13(х) и, значит, 1пп 1р(х) = О.
г р,гЕМ Согласно лемме 1.5 отсюда вытекает, что 1пп У(х) = оо. г р,гЕМ Рассмот им сл чай ког а Х = — оо. В этом случае имеем: 1пп [ — п(х)] = 1пп [ — е(х)] = оо. г-р,*ЕМ г р,гЕМ Гл. 2. Теория предела 1О2 При каждом х е С, отличном от р, число — !(х) лежит между — и(х) и -е(х).
По доказанному, отсюда следует, что 1пп [ —,!(х)] = со, и, значит, 1пп Дх) = — оо. х р,хем Теорема доказана. ° Следствие 1 (признак сравнения бесконечной малости функции). Предположим, что для функции у, определенной на множестве М с К, и предельной точки р множества М существуют окрестность Уе точки р и функция а(х), определенная на множестве С = М П Уе, такие, что для всех х б С выполняются неравенства: О < !(х) < а(х). Если а(х) = о(1) при х — р, то также и Ях) = о(1) при х — р по М. Данное утверждение непосредственно вытекает из теоремы, если положить в ней и(х) = — О и е(х) ж а(х). Следствие 1 доказано. Следствие 2 (признак сравнения существования бесконечного предела). Пусть функпия 1, определенная на множестве М, такова, что для нее существуют окрестность Уе точки р и функция ю, определенная на множестве С = МПУе, такие, что у(х) > ю(х) для всех х я С.
Если со = 1пп ю(х), х р,хам оо = 1пп У'(х). х р,хЕМ Аналогично, если существуют окрестность Уе точки р и функция ю, определенная на множестве С = М г! Уе, такие, что у(х) < ш(х) для всех хе Си — оо = !пп ю(х), х р,хеМ то — оо = 1пп !'(х). х р,хЕМ Доказательство. Пусть В+ есть функция, определенная равенством (1.3). При каждом х е С имеем: о(х) = В+ [ю(х)] > В„.[ !'(х)] > О. з 1. Определение н простейшие свойства предела По условию 1пп ш(х) = оо н, значит, согласно лемме 1.5, в р,в ЕМ 1пп а(х) = О.
р-~р,рем Отсюда, на основании следствия 1, вытекает, что 1пп Д+[~(х)] О р р,вем Применяя лемму 1.5 еще раз, получаем: 1пп у(х) = оо, р-+р,рем что и требовалось доказать. Докажем второе утверждение. Пусть Уе — это окрестность точки р и функция ш, определенная на множестве С = Уо й М, такова, что у(х) < ш(х) для всех х Е С, отличных от р. Если 1 п ш(х) = — оо, то 1пп [ — ш(х)] = оо, и для любого в р,вЕМ р р,рем х Е С 1 (р) выполняется неравенство: — ю(х) < — У(х). По доказанному, отсюда вытекает, что 11п1 [ — у(х)] = оо, и, стар, ем ло быть, согласно определению предела, равного — оо, 1пп ~(х) = — оо.
в р,тем Следствие 2 доказано. Следующее предложение показывает, что свойство функции иметь предел при х, стремящемся к р, и значение этого предела полностью определяются ее поведением в некоторой окрестности точки р. Следствие 3 (свойство локальности предела). Пусть даны множества Е С Й и М С Й и р б Й является предельной точкой каждого из этих множеств, причем существует окрестность Уе точки р такая, что Пе й Е = Уе й М. Предположим, что функции У и д, определенные на множествах Е и М, соответственно, таковы, что для всякого х б С = По ЙЕ= Уо ПМ, отличного отр, Дх) =д(х).
Если одна из данных функпий имеет предел при х, стремящемся к р, то и другая имеет предел при х, стремящемся к р, причем значения этих пределов совладают. 104 Гл. 2. Теория предела Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Для определенности будем считать, что существует предел 1пп д(х) = Х. и Р,иев Полагаем М1 = Мз = Е и и(х) = п(х) = д(х).
Тогда Ь = йщ и(х) = 1пп и(х) Р Р,РЕМт Р и РЕМР и для всех х Е С, отличных от р, 1(х) лежит между и(х) и о(х). Таким образом, все условия теоремы 1.5 выполняются и, следовательно, Ь = йт у(х). Следствие 3 доказано. Р Р,РЕМ Следствие 4. Пусть числовые последовательности (х„)„ен„н (у„)„ен таковы, что х„= у„, начиная с некоторого номера и = 1, 1 > й н 1 > тл. Если одна из данных последовательностей имеет предел, то также н другая последовательность имеет предел, причем значения этих пределов совпадают.
Доказательство. Пусть У = (1,оо1 Тогда Ыь П У = г1 П У. Действительно, если и Е Ж принадлежит У, то ть > 1, и, значит, и > тп и одновременно и > Й. Отсюда ясно, что если и Е У11Ыь, то одновременно и Е Ут1г1 . Это означает, что имеет место включение Уйг1ь С УПр1 Меняя в рассуждениях й и тл местами, получим включение У П 1"1 С С У Й г1ь и, значит, У П11ь = У П г1 = б. Для всякого и Е е' имеет место равенство х„= у„. На множестве е функции и ~-+ х„и и ~-+ у„совпадают. Доказываемое утверждение, в силу сказанного, есть частный случай следствия 3.
Следствие 4 доказано. П ив ем и уме ы. Пример 1. Пусть х„= 2" при всяком и Е г1. Имеем нераеенстиво Бернулли: (1+ х)" > 1+ пх (1.4) для любых х > — 1 и ть б Я. Полагая в этом неравенстве х = 1, получим, что при каждом н Е Я З 1. Определение и простейшие свойства предела 105 Отсюда 1 1 1 « (1.6) 2" и+1 и для любого и е И.
Как было показано выше, 1 1пп и = оо, 1пп — = О. и оо и Применяя следствия 1 и 2 теоремы 1.5 к последовательностям: (2и)иетб( ( — '„), получим, с учетом (1.5) и (1.6), что 1 1пп — = О. 2" 1!ш 2" = со; и оо Пример 2. Пусть (по)оен есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел, так что при каждом А и И имеем пь е И и пь < пь+т. Докажем, что при каждом й е И имеет место неравенство тц, > Й. (1.7) ф Предложение 1.1. Всякая строго возрастающая последовательность натуральных чисел имеет предел, равный оо. Доказательство очевидно.
Ф 1.7. ХАРАКТЕРИСТИКА НРЕ ЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА Для произвольной точки р е )й определим некоторую специальную последовательность ее окрестностей (5т„(Р))„ен. Если р — конечно, то полагаем У„(Р) = р — †,р+ -) при всяком и е И. Для р = — оо пусть 11„(р) = [ — оо, — п) для всех и е И. Наконец, в случае р = оо положим У„(р) = (и, оо) для любого и е И. При й = 1 неравенство (1.7) верно, так как пт е И, а 1 есть наименьшее из натуральных чисел.
Предположим, что для некоторого й е И неравенство (1.7) выполняется. По условию, пь+1 > тц:, и, значит, по+т — пь > О. Так как пьы — пь есть целое число, то пьт1 — пь > 1, и, следовательно, п~,.о1 > тц, + 1 > й + 1. Таким образом, если неравенство (1.7) верно для некоторого й, то оно остается верным, если заменить в нем й на й+ 1, и, стало быть, в силу принципа матпематпической индукции, оно верно для всех й е И. Применяя следствие 2 теоремы 1.5, получаем, что справедливо следующее утверждение. 106 Гл. 2. Теория предела Последовательность окрестностей (П (р))„ен точки р называется канонической базой точки р Е Й.
Справедливо следующее предложение. ° Лемма 7.9. Пусть р ~=. Й и (х, е 2)„еи — числовая последовательность такая, что х Е Пв(р) при каждом и. Тогда р = 1пп х„. Доказательство. Пусть последовательность (х„) „и такова, что х„Е П (р) при каждом и. 1 1~ Если р конечно, то П (р) = (р — —,р+ — ~. Следовательно, из и' и7 1 1 1 условия х„б П„(р) вытекает, что р — — < х„< р+ —, откуда ,'х — р! <— и и и при всех и. 1 Имеем: 1пп — = О, откуда 1пп (хн — р~ = 0 и, значит, согласно ~о и я ОО лемме 1.4, р = 11т х . Если р = со, то П„(р) = (и,со]. Из условия х В П„(р) вытекает, что х„) и при хаждом и. Последовательность (а„)„ен, у которой а„= и при каждом и, имеет предел, равный оо. Отсюда, в силу следствия 2 теоремы 1.5, получаем 1пп х„= со = р.
Аналогично рассматривается случай р = — со. Лемма доказана. и ° Лемма 7.70 (лемма о характеристике предельных точек числового множества через понятие предела последовательности). Пусть М есть произвольное непустое подмножество множества Й. Число р Е Й является предельной точкой множества М в том н только в том случае, если существует последовательность (х„)„ен точек множества М такая, что при каждом и число х конечно, хл трир = 1пп х„. Доказательства.
Предположим, что р Е ЕътМ. Установим, что в этом случае существует последовательность точек множества М, удовлетворяющая всем условиям теоремы. Пусть (П„(р)), и = 1, 2,..., есть каноническая база точки р. Согласно определению предельной точки, при каждом и Е г1 найдется х Е М такое, что х„Е ~Б„(р), причем х ф р. Мы получаем, таким образом, что существует последовательность (х„)„ен точек множества М такая, что х„Е П (р) и х„ф р при каждом и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
