1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Таким образом, для данного р существует окрестность У Е О(р), не содержащая точек множества М, и, значит, р не является предельной точкой множества М. Аналогичным образом устанавливается, что никакое число р > Ь не может быть предельной точкой множества М = (а, Ь). Следствие доказано. 1.2. ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ПРЕЛЕЛА ФУНК ИИ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОЛМНОЖЕСТВЕ Й 1.2.1. Зададим произвольным образом множество М С Й и функцию у: М вЂ” 2.
Пусть р есть предельная точка множества М. Число Ь Е й называется пределом функции у(х) при х, стремящемся к точке р по множеству М, если выполняется следующее условие: каково бы ни было число е > О, найдется окрестность У точки р такал, что для всякой точки х Е М, принадлежащей данной окрестности и отличной от р, имеет место неравенство [,Г (х) — х [ < е.
В этом случае говорят также, что у(х) стремится к 1, когда х стремится к р по множеству М, в обозначениях: у(х) -+ Ь при х — р, х Е М. Коли Ь Е К есть предел функции у(х) при х, стремящемся к точке р по множеству М, то мы будем писать: Ь = 1пп у(х). х р,хЕМ Панное определение символически может быть записано следующим образом: Х = йт ~(х),~ х Р,хЕМ ~Ф (Ч е > 0) (х-' и О(Р)) (х х): (х Е У П (М ~ (р)) ~ У(х) — Г, [ < е) 88 Гл. 2. Теория предела Нагл ый смысл иве енного оп е еленик таков. Число Х, Е К есть предел функции Х(х) при х, стремящемся к точке р по множеству М, если при приближении х к точке р по множеству М значение Х(х) неограниченно приближается к Х.
Каково бы ни было в > О, разность Х(х) — Х по модулю будет меньше этого в для всех х Е М, достаточно близких к точке р и отличных от р. Точный смысл высказывания «для всех х Е М, достаточно близких к точке р и отличных от р» таков: существует окрестность У точки р такая, что условие, о котором идет речь, выполняется для всех х Е М, принадлежащих У и отличных от р.
В нашем случае это условие )Х(х) — Х! < в. Предположим, что р — конечно. Тогда всякая окрестность У точки р представляет собой интервал вида (р — 6,р + 6), и условие х Е У равносильно условию: точка х удовлетворяет неравенству ~х — р~ < 6. В силу сказанного, определение того, что значит, что Х, Е яг является пределом Х(х) при х — ~ р по М для случая, когда р конечно, может быть представлено в следующей эквивалентной форме.
Каково бы ни было в > О, найдется число 6 > О такое, что для любого х Е М, отличного от р и удовлетворяющего условию ~х — р~ < 6, выполняется неравенство: ~Х(х) — Ц < в. Функция Х: М вЂ” И называется бесконечно малой при х, сгпремящемся к р Е Сага(М) по множеству М, если Ит Х(х) = О. Тот х р,хЕМ факт, что функция У(х) бесконечно мала при х — + р по М, символически записывается следующим образом: Х(х) = о(1) при х -+ р по М.
Переформулируя определение предела применительно к данному частному случаю, получаем,что функция Х является бесконечно малой при х, стремящемся к р по множеству М, если для всякого в > О существует окрестность У точки р такая, что для любого х Е У П (М ~ (р)) выполняется неравенство: ~Х(х) ~ < в.
В определении бесконечно малой функции налагается некоторое условие на абсолютные величины значений функции Х. Отсюда ясно, что Х(х) = о(1) при х — р по множеству М в том и только в том случае, когда ~Х(х) ~ = о(1) при х — ~ р по М. ° Лемма ХА. Пусть дана вещественная функция Х(х), определенная на множестве М С Й, и пусть р Е Езт(М). Число Х Е 1й является пределом Х(х) при х, стремящемся к р ло множеству М в том и только в том случае, если разность |(х) — Х есть функция, бесконечно малая при х, стремюдемся к р по множеству М. Доказательство. Пусть Х = йш Х(х).
Рассмотрим разх р,хЕМ ность: и(х) = Х(х) — Х . Зададим произвольно в > О. З 1. Определение н простейшие свойства предела 89 Согласно определению предела, найдется окрестность У точки р такая, что для любого х е У п (М 1 (р)) выполняется неравенство: то есть |и(х) ~ < с для всех х, принадлежащих У й М и отличных от р. В силу произвольности е > О, это означает, что 1пп и(х) = О, х р,хеМ то есть функция и(х) является бесконечно малой при х — р по М. Обратно, предноложим, что и(х) = о(1) при х — р по М.
Зададим произвольно е > О. По нему найдется У е 0(р) такое, что для всякого х ~ У П М, отличного от р, выполняется неравенство: ~и(х)~ < е, то есть если х е УП(М ~(р)), то (Дх) — Ц < с. В силу произвольности е > О, тем самым установлено, что Х = 1пп Дх). х р,хеМ Лемма доказана. ° 1.2.2. злее нам пот еб ется понятие бесконечного п е ела. Пусть даны множество М с К и его предельная точка р е К.
Будем говорить, что функция (': М вЂ” К имеет равный оо предел при х — р по множеству М, если для всякого конечного К е К можно указать У е О(р) такое, что для любой точки х е Уп(М~(р)) выполняется неравенство: 1(х) > К. Будем говорить, что функция 1: М вЂ” К имеет равный — со предел при х — р по множеству М, если функция х ( — Дх)] имеет предел, равный оо при х — р. Обозначения, введенные для случая конечных пределов, автоматически распространяются на случай предела, равного хсо. окажем п е ожение кото ое позволяет в альнейшем сво ть сл- чай бесконечных п е елов к сл чаю ког а п е ел конечен. Введем некоторые вспомогательные функции К+ и К, полагая для хеК 1 — при х > 1; 1 прих<1 и К (х) = Кх( — х).
Очевидно, функция К+ убывает, функция К возрастает и для всех х н К выполнены неравенства О < К+(х) < 1, О < К (х) < 1. 90 Гл. 2. Теория предела ° Лемма 1.5. Пусть даны множество М С Й и его предельная точка р. Для того чтобы функция у, определенная на множестве М, имела предел, равный оо, при х, стремящемся к р по множеству М, необходимо и достаточно, чтобы функция В+ [1 (х)] имела предел, равный нулю, при х — ~ р по М.
Функция 1: М -+ 2 имеет предел, равный — оо при х — р в том и только в том случае, если 1пп В [г(х)] = О. х р,хЕМ Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Ь = 1пп у(х) = со. х р,х ЕМ 1 Задад~м произвольно е > О и ~о~о~~~ К = —. е Согласно определению предела, равного со, найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е М, отличного от р и принадлежащего окрестности У, выполняется неравенство: У(х) > К. Отсюда следует, что для всех таких х имеет место неравенство: О < В+ [,г" (х)] < е.
Действительно, если е > 1, то это верно для всех х, а значит, и для любого х Е (УС1 М 1(р)). 1 Если е < 1, то из условия у(х) > К = — следует, что у(х) > 1, и, е 1 стало быть, В+ [У(х)] = —. Тогда из условия у(х) > К вытекает, что у(х) В-[У(х)1 < . Так как В+[у(х)] — неотрицательно, то для всякого е > 0 существует окрестность У точки р такая, что для любого х Е М ~ (р), принадлежащего окрестности У, выполняется неравенство: [В+[у(х)]] < е. Согласно определению предела, это и означает, что 1цп В+[У(х)] = О. Предположим, что 1пп у(х) = — оо. Согласно определению, х р,хЕМ 1пп [ — у(х)] = оо и, значит, по доказанному, х р,хЕМ О = 1цп В+[ — Ях)] = 1пп В [У(х)]. Необходимость условия леммы доказана. Докажем его д о с т а т о ч н о с т ь.
З 1. Определение и простейшие свойства предела Предположим, что имеет место равенство: 11ш В+[Дх)] = О. р,, ем Требуется доказать, что йш Дх) = со. х р,хЕМ Зададим произвольно число К Е К, и пусть е = 1 при К < 1 и 1 е = — при К > 1. К 1 Очевидно, во всех случаях — > К. Согласно определению предела, равного нулю, по данному е найдется окрестность У точки р такая, что для любого х Е У О (М 1 (р)) выполняется неравенство: В+ [у(х)] < е. Возьмем произвольно х Е У й (М 1 (р1).
Имеем: В+[Дх)] < е. Так как е < 1, то из определения функции Ве следует, что в этом 1 случае г" (х) > 1, и, значит, Ве[,1(х)] = —. Отсюда получаем, что для Пх) 1 данного х выполняется неравенство: у(х) » — К. е Таким образом, для всех х Е УП М 1 (р) выполняется неравенство: у(х) > К. В силу произвольности К Е 1к, доказано, что функция Д(х) имеет предел, равный оо при х — р по М. Итак, йш В+[Х(х)] = О =р Ыш Дх) = оо. Если Нгп В [~(х)] = О, то так как В [Дх)] = Ве[ — у(х)], из х р,хЕМ доказанного следует, что йш [ — Дх)] = оо и, значит, согласно опрех р,хЕМ делению предела, равного -оо, 11ш У(х) = — оо.
х р,хЕМ Лостаточность условия леммы также установлена. Лемма доказана. ° 1.2.3. Пусть (х„)„еи, есть числовая последовательность, то есть функция, областью определения которой является множество г1ь. Это множество Ыь имеет предельную точку оо. Предел функции х: п Е 1~1ь ~-+ х при и — ~ оо по множеству Мь называется пределом последовательности (х„)„еи„, и обозначается символом 1пц х . Если Ь Е Й есть предел последовательности (х„)„еи ,то мы будем также говорить, что х„стремится к Ь при и — ~ оо. 92 Гл.
2. Теория предела Последовательность вещественных чисел (х„) „ел„называется сходящейся„если она имеет конечный предел. П е ставим оп еление п ела посл овательности в о ме кото ая является об еп инятой. Справедливо следующее предложение. ° Лемма 1.6. Пусть дана числовая последовательность (х„)„ен„. Число Ь Е К является пределом этой последовательности в том н только в том случае, если для всякого е > О можно указать номер Й Е Нь такой, что прн каждом и > Й выполняется неравенство: ~х„— Ц < е. Последовательность (х„)„ен„имеет предел, равный оо, в том и только в том случае, если для всякого .К < оо существует Й Е Иь такое, что при каждом и > й выполняется неравенство х„> К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
